2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量1-10-专项训练【含答案】

第一章三角基础，牢固掌握三角函数的一切问题都源于三角函数的定义，而定义的本质都在单位圆中的三角函数线上得到体现.我们把单位圆比喻为三角函数的“母亲”，当我们遇到困难时，首先想到的是“母亲”，因此，当我们在解决三角问题遇到障碍时，应首先想到单位圆中的三角函数线.一、三角线段，灵活应用（一）函数值的大小比较【例1】若为锐角,则的大小关系为【答案】【解析】令其中,因为,所以因为所以所以【规律探索】若为锐角,则如图,在单位圆中,，即所以【例2】若则A. B. C. D.【答案】【解析】当时，排除当时排除故选【变式训练】1.若则的大小关系为2.若则（）A. B. C. D.3.若则的取值范围是（）A. B. C. D.【拓展提升】满足的所有正整数的和是【例3】若则（）A.B.C.D.【答案】 【解析】因为所以因为所以故选【例4】关于的不等式的解集为【答案】【解析】解得,所以【拓展提升】如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁按逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）.【例5】如果，，那么的取值范围是【答案】【解析】不等式等价于又是上的增函数,所以,故.因为所以的取值范围是（二）函数定义域的确定【例6】函数的定义域是【答案】【解析】由题意得即如图,取公共部分,即得.【变式训练】1.函数的定义域是2.函数的定义域是3.函数的定义域是【拓展提升】1.的定义域是值域是2.的定义域是值域是（三）求值计算，符号为上【例7】已知则【答案】【解析】解法1:由得,则是方程的两根，该方程可化为解得.又所以从而.所以.解法2:由得从而得,所以【变式训练】已知则【例8】已知是三角形的内角,则的取值范围是【答案】【解析】设,则因为所以设则区为,所以【例9】已知则【答案】3或【解析】因为令则,化简得即,解得或.【例10】已知直线与直线的交点在直线线上,则【答案】0【解析】由已知条件，可设两直线的交点为，则适合关于的方程,即为方程的两根.因此,即【变式训练】1.已知则的值为.A.B.C.D.2.已知则的值为.A.B.C.或D.3.已知为第二象限角，且那么的取值范围是（）A.B.C.D.4.定义一种运算且，则的最大值是（）A.B.C.D.【例11】已知为锐角则与的函数关系为【答案】【解析】令，则原题等价于：已知为锐角,为钝角,则与的函数关系为因为所以由得,则所以又所以【例12】已知矩形的边,,为边上一动点，则当最大时，线段的长为（）A.1或3B.1.5或2.5C.2D.3【答案】C【解析】如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系,则.设则(1)当时当时,此时为锐角.(2)当时,,所以当时,此时取大,即所求线段的长为2.故选C.【评注】当过点的圆与轴相切于点时，最大.【例13】如图，在屏幕之间坐标系中，是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点,与轴交于点,记且求的最大值.【解析】解析则再令则当且仅当时等号成立.经验证等号可以取到,所以面积的最大值为.二、多角化归，求值计算当所求代数式中出现多个非特殊角时，破解思路为将非特殊角转化为特殊角，或分子、分母相消，从而得到常数.（一）切割化弦，作角化归【例14】的值为【答案】1【解析】【变式训练】求的值.【例15】的值为【答案】【解析】【变式训练】的值为【例16】的值为【答案】32【解析】【变式训练】求的值（二）多角并存，凑角化归【例17】的值为【答案】【解析】【例18】的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】故选【例19】的值为【答案】【解析】【例20】已知若求【解析】由得,从而由上例计算可知.三、两弦齐次，构造求值对于三角函数齐次整式型代数式的计算，除了可以用高次降幂、和积互化，还可以利用余弦定理的几何背景进行构造，从而快速求值.【例21】求的值.【解析】解法1：构造右图，设圆的直径,则由余弦定理得：由正弦定理得:所以即原式.解法2：【变式训练】1.求的值.2.求的值.【例22】若关于的方程组有实数解，则正实数的取值范围为【答案】【解析】将条件中的两式