2025高考数学二轮复习-排列组合+概率统计81-90-专项训练【含答案】

【例35】从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则试验结束.（1）求第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球概率；（2）记试验次数为，求的分布列及数学期望.【解析】（1）根据题意，第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率(2)， ，， 的分布列为1234【变式训练6】已知盘中有编号为A，B，C，D的4个红球，4个黄球，4个白球（这12个球，除编号与颜色外没有区别），现从中摸出4个球.（1）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；（2）设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX.【例36】一个口袋中有个白球和个黑球，从中任取1个球，如果取出白球，则把它放回袋中，如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补1个白球到袋中.在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为(1)求的数学期望(2)设其中求;(3)证明：的数学期望(2)首先.【解析】（1）当时，袋中白球的个数可能是个（即取出的是白球），概率为；也可能为个（即取出的是黑球），概率为，故（2）首先当k≥1时，第次取出来个白球的可能性有两种：①第次袋中有个白球，显然每次取球后，球的总数保持不变，即个（此时黑球有个），第次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为②第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于每次取球的总数为个，故此时黑球的个数是这种情况发生的概率为.故(3)第次取球后，白球的个数的数学期望分为两类:①若第次取出来的是白球，由于每次白球和黑球的总个数是，这种情况发生的概率是,此时白球的个数的数学期望为②若第次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是，此时白球的个数变为，故（二）网络通信问题已知A，B两地之间有六条网线并联，它们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3.现从中任取三条网线，设可通过的信息量，当可通过的信息量时，则保证信息畅通，求：（1）线路信息畅通的概率；（2）任取三条网线所通过信息量的数学期望.【解析】（1）线路信息畅通包括三种情况，且它们彼此互斥，：①；②；③.由已知得所以线路信息畅通的概率.（2）设任取三条网线所通过的信息量为随机变量，则的取值为4，5，6，7，8.它们所对应的概率分别为所以的分布列如下45678所以故任取三条网线所通过信息量的数学期望为6.为【例38】一接待中心有A，B，C，D四部热线电话，已知某一时刻电话A，B占线的概率均为0.5，电话C，D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没影响.假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的分布列和数学期望.【解析】逐步计算，得于是随机变量的概率分布列为012340.090.30.370.20.04所以（三）商品购买问题【例39】某商店搞促销活动，规则如下：木箱内放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励办法如表3所示：表3取出的白棋子/枚奖品5价值50元的商品4价值30元的商品3价值10元的商品如果取出的不是上述三种情况，则顾客需用50元购买商品.（1）求顾客获得价值50元的商品的概率；（2）求顾客获得奖品的概率；（3）如果顾客所买商品成本价为10元，假设有10000人次参加这项促销活动，商家可以获得的利润大约是多少？（精确到元）【解析】（1）依题意，基本事件总数为C%，而取到5枚白棋子的可能性只有一种，所以获得价值50元的商品的概率为（2）获得奖品有三种情况：①摸到5枚白棋子，概率为；②摸到4枚白棋子、1枚黑棋子,概率为;③摸到3枚白棋子、2枚黑棋子,概率为.所以获得奖品的概率.（3）设商家在某顾客处获得的利润为随机变量则可能的取值为它们所对应的概率分别为.所以的分布列为-50-30-1040所以.故10000人参加这项促销活动,则商家可以获得的利润大约为元.（四）事件预防问题【例40】在不采取任何措施的情况下，某事件发生的概率为0.3，一旦发生将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙两种预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采取相应措施后此事件不发生的概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种相互独立的预防措施可单独采用、联合采用、不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用十事件发生造成损失的期望值）【解析】根据题意，可分为四种情况：①不采取预防措施时，总费用即损失的期望值为400×0.3=120（万元）；②若单独采用甲，则预防措施所需的费用为45万元，损失的期望值为400×（1-0.9）=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）.③若单独采用乙，则预防措施所需的费用为30万元，损失的期望值为400×（1-0.85）=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）.④若联合采用甲、乙，则预防措施所需的费用为45+30=75（万元），损失的期望值为400×（1-0.85）×（1-0.9）=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.比较①②③④的总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施可使总费用最少.（五）道路通行问题【例41】设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（1）的分布列及数学期望；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。【解析】（1）的所有可能值为0，1，2，3，4.用表示“汽车通过第个路口时不停（遇到绿灯）”，则，且独立故从而的分布列为01234(2),故停车时最多已通过3个路口的概率为.（六）各类竞赛问题【例42】甲、乙两人参加普法知识竞赛，其中有6道选择题，4道判断题，甲、乙两人依次各抽1题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【解析】（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为.（2）设甲、乙两人中至少有一人抽到选择题为事件，则对立事件为两人均抽到判断题，故【变式训练7】在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是每人每场投6个球，至少投进1个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是子.（1）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（2）求教师甲在一场比赛中获奖的概率。【例43】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数。（1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求所选3人中女生人数的概率【解析】(1)可能取的值为所以的分布列为012(2)由(1)知的数学期望.(3)由(1)知,所选3人中女生人数的概率.【例44】现有A,B两球队进行友谊比赛，设A队在局比赛中获胜的概率都是.（1）若比赛6局，求A队至多获胜4局的概率；（2）采用“五局三胜”制，求比赛局数的分布列和数学期望【解析】（1）记“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A,则.故A队至多获胜4局的概率为.（2）由题意可知，的可能取值为3,4,5....所以的分布列为345P故.【变式训练8】在进行一项掷骰子放球游戏屮，规定：若掷出I点，在甲盒屮放一球；若掷出2点或3点，在乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，在丙盒中放一球。前后共掷3次，设分别表示甲、乙、丙的盒中的球数.（1）求依次成公差大于0的等差数列的概率；（2）记，求随机变量的分布列和数学期望.【例45】某同学参加科普知识竞赛，需画答三个问题。竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没行影响（1）求这名同学回答这三个问题的总得分的分布列和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率.【解析】的可能值为-300，-100,100,300.，，，所以的分布列为-300-100100300P0.0080.0960.3840.512故的期望.（2）这名同学总得分不为负分的概率.【变式训练9】某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对1道填空题得2分，答对1道选择题得1分，答错得0分，若总得分大于或等于4分可获得纪念品，假定参与者答对每道填空题的概率为，答对每道选择题的概率为，且每位参与者答题互不影响.（1）求某位参与者竞猜活动得3分的概率（2）设参与者获得纪念品的人数为，求随机变量的分布列及数学期望【例46】A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是；B队队员是.按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：表4对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率对对对现按表4中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后总分分别为,.（1）求,的概率分布；（2）求.【解析】（1）,的可能取值均为3,2,1,0.若A队连胜3场，则；若A队共胜3场，则；若A队共胜1场，则；若A队连负3场，则.根据题意知，所以,,,.（2）由（1）知，.因为，所以，.【变式训练10】甲、乙两攴球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为冠军，比赛就此束。因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一，据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.（1）求总次赛中获得门票总收入恰好为300万元的率；（2）设总决赛屮获得的门票总收人为，求的均值.（七）随机对位问题【例47】四个母亲带领自己的孩子參加视台《我爱妈妈》综艺节目，其中有一环节，先把四个小孩的眼睛蒙上，然后四个母亲分开站，而且站着不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一个母亲的身边只许站一个小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的期望值.【解析】先求灯数的分布列，再求期望.设所亮灯数为，则可能的取值为0,2,4,8，可得,,，.所以亮灯数分布列0248所以.【评注】不可能等于6，因为有3人站对后，第4人一定站对.（八）奖金期望值问题【例48】某工厂规定，如果工人在一个季度里有1个月完成生产任务，可得奖金90元；如果有2个月完成生产任务，可得奖金210元；如果有3个月完成生产任务，可得奖金330元；如果1人3个月都未完成生产任务，则没有奖佥。假设某工人每月完成任务与否是等可能的，求此工人在一个季度里所得奖金的数学期望.【解析】设该工人一个季度里所得奖金为，则是一个离散性随机交量，由于该工人每月完成任务与否是等可能的，所以他每月完成任务的概率等于，从而，，，.（元）.【评注】先按步计算，再合成所要求的目标（九）最值之差问题【例49】正四面体的四个面分别写有数字1,2,3,4，将三个这样质地均匀的正四面体同时投掷于桌面上，记为与桌面接触的3个面的3个数中最大值与最小值之差，则的数学期望为.【答案】【解析】对最大值与最小值之差进行分类.若为0，则三个数据相同，有4种.若为1，则当最小值为1，最大值为2时，其中当最小值为2，最大值为3时，其中当最小值为3，最大值为4时，其中此种情况共有18种.1,1,3的排列有3和；若为2，当最小为1，最大值为3时，其中当最小值为2，最大值为4时，其中若为3，则最小寘为1最大值为4.其中此种情况共有18种故的分布列为0123.（十）抛掷硬币问题【例50】甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最终商定以抛硬币的方式决定。规则：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得1分、乙得0分，反面朝上则乙得1分、甲得0分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议。记所需抛币次数为，求（1）=6的概率；（2）的分布列和数学期望.【解析】（1）（2）的分布列为4567所以【要式训练11】投掷四枚不同的金属纪念币A,B,C,D，其中A,B两枚正面向上的概率均为，C,D两枚（质地不均匀）正而向上的概率均为。将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数.（1）求的分布列（用表示）（2）若恰有一枚纪