2025高考数学二轮复习-排列组合+概率统计1-10-专项训练【含答案】

第一章排列与组合排列组合可以说是研究计数问题的策略学，所以解答排列组合问题要讲究策略.首先，要认真审题，弄清楚是排列（有序）、组合（无序），还是排列与组合混合问题;其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类”与“分步”.加法原理的特征是分类解决问题.分类必须满足两个条件：（1） 类与类须互斥（确保不重）；（2） 总类必须完备（确保不漏）.乘法原理的特征是分步解决问题.分步必须满足两个条件：（1） 步与步互相独立（确保不重）；（2） 步与步确保连续（确保不漏）.分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略,在实际操作中往往是“步，，“类，，交叉，有机结合,可以用下面的电路图说明.（电路打通表示完成一件事，此时电灯亮）.类中有步：先类后步;运算特征：和中有积.本章将对一些典型的排列组合问题进行策略分析，找到解决相应问题的有效方法,并用实例进行说明.类中有步：先类后步;运算特征：和中有积.本章将对一些典型的排列组合问题进行策略分析，找到解决相应问题的有效方法,并用实例进行说明.―、特殊优先，一般在后对于所讨论问题中的特殊元素和特殊位置，要优先安排.在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”.一、蔬菜种植问题【例1】在图一所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种.若必须横向相邻种在一起与在横向、纵向都不能相邻种在一起,则不同的种植方案有().A.3120种B.3360种C.5160种D.5520种【答案】C【解析】①当同行，与也同行时，有种种植方案；与不同行时,有种种植方案;②当与不同行时,有种种植方案.故不同的种植方案有(种(二)考生选题问题【例2】新课程自选模块考试试卷中共有18道试题,要求考生从中选取6道题进行解答,其中考生甲对第1,2,9,15,16,17,18题一定不选,考生乙对第3,9,15,16,17,18题一定不选,且考生甲与乙选取的试题没有一题是相同的,则满足条件的选法共有种.（用数字作答）【答案】1974【解析】去掉9,15,16,17,18这5道两人都不选的题目，只翻下13道题目可选.对甲选择第3题的情况分类可知：(1)若甲选择第3题,则有种情况;(2)若甲不选第3题,则有种情况.故满足条件的选法共有种(三)数字排列问题【例3】用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答)【答案】32【解析】按千位上数字的奇偶性分情况计算.第一类:第一步,当千位数字为奇数1,3或5时,有种.第二步,再分两种情况来确定后三位数字.后三位数字都是偶数,即从0,2,4,6中选择3个进行全排列，共种;后三位数字为一偶两奇,“一偶”(包括0)有种，“两奇”只能翻下的2个奇数，然后进行排列，有种.所以此种情况下共有第二类:第一步,当千位数字为偶数2,4或6时,同样有种.第二步,同样分两种情况来确定后三位数字.(1)后三位数字全为偶数(包括0),已经选了一个偶数,所以只剩下3个,直接排列，有种(2)后三位数字一偶两奇,“一偶”(包括0)有种，“两奇”有种,再排列,有种.所以此种情况下共有故满足题意的四位数有个).【例4】从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】第一类:若取的4个数字不包括0,则可以组成的四位数有个第二类:若取的4个数字包括0,则可以组成的四位数有个.综上,一共可以组成的没有重复数字的四位数有（个）【变式训练1】用0,2,3,4,5这五个数字,组成没有垂复数字的三位数,其中偶数共有几个?由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数?(四)人员选派问题【例5】2019年3月22日,某校举办了“世界水日”主题演讲比赛,该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4人参加演讲比赛,其中学生丙必须参加,仅当甲、乙两名学生同时参加时，甲、乙至少有一人与学生丙演讲顺序相邻,那么选派的4名学生不同演讲顺序有（）.A.228种B.238种C.218种D.248种【答案】A【解析】分甲、乙均未参加，甲、乙中有1人参加和甲、乙都参加三种情况讨论.(1)甲、乙均未参加,不同的演讲顺序有种(2)甲、乙中有1人参加，不同的演讲顺序有种(3)甲、乙都参加，不同的演讲顺序有种由分类计数原理可知,不同的演讲顺序共有种).故答案选A.【评注】1.本题是排列组合的综合应用问题,意在考查学生对这此知识的掌握水乎和分析推理能力.2.解排列组合问题的方法:一般问题直接法、复杂问题分类法、相临问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、小数问题列举法.【例6】从2名女生,4名男生中选3人参加科技比赛，且至少有1名女生人选,则不同的选法共有种.（结果用数字表示）【答案】16【解析】解法1可分两种情况(1)只有1名女生入选,不同的选法有(种);(2)有2名女生入选,不同的选法有(种).根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法有16种.解法2从6人中任选3人,不同的选法有(种).$从6人中任选3人都是男生,不同的选法有(种).所以至少有1名女生入选的不同的选法有(种).(五)元素定位问题(例7)已知n是由a,b,c组成的一个三位数,表示为,其中a,b,c均表示从1到9中的任意数,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n共有（）.A.185个B.170个C.165个D.156个【答案】C[【解析】(1)等边三角形有9个等腰但不等边的三角形的情况如表1所示:有52个,再排列a,b,c有个.故共有这样的三位数(个).【例8】回文数是指从左向右读与从右向左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：3位回文数有90个：则(1)4位回文数有个;(2)位回文数有【答案】【解析】（1）4位回文数只需排列前面2位数字（后面2位数字就可以确定）。由于第1位不能为0,故有9种情况;第2位有10种情况.所以4位回文数有.(2)解法1由题中多组数据研究发现:位回文数与位回文数的个数相同,所以可以算出位回文数的个数.位回文数只需看前位的排列情况:第1位不能为0,故有9种情况;后面项中的每项有10种情况,所以总个数为个.解法2可以看出2位数中有9个同文数,3位数中有90个回文数.4位数的回文数可以看做是在2位回文数的中间添加成对的2位回文数；00,11,22，，99，因此四位数中的回文数有90个.按此规律推导位数是偶数的回文数有（个）；当位数是奇数时，可以看成在偶数位回文数的中问添加这十个数，因此，故所求答案为个.【变式训练2】在一个五位数中,若十位数字,千位数字均比它们各自相邻的数字大,则称此五位数为“五位波浪数”，如$45132,$则由数字0,1,2,3,4,5,6,7可构成无丢复数字的“五位波浪数”的个数为个.(六)参赛方案问题【例9】从6人中选出4人分别参加2018年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营,每人只能参加其中一项,其中甲、乙两人都不能参加化学比赛,则不同的参赛方案共有().A.94种B.180种C.240种D.286种【答案】C【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，可根据分步计数原理得到结果。从不同学科参赛情况为切入点,先看化学比案,甲，乙两人都不能参加,参加者只能在其余4个人中选择,有4种选法.然后看其余三个科目，可以在剩余的5个人中任意选3人参加，有种.共有种故选C.【评注】分步时要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，步与步之间要相互独立，分布后在计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总方法数.(七)彩球排列问题【例10】将标号为1,2,3,4,5,6,7的7个彩球进行排列,若1号球不能排在左端,2号球不能排在右端,则不同的排法有多少种?【解析】解法1(1)若2导球排在左端,则排法有种;（2）若2号球不排在左端，则左端的拍法有种，右端的排法有种，中间五个位置的排法有种，此时的排法共有种.由分类计数原理可知，不同的拍法共有（种）。解法2将7个彩球全排列,共有种，而1号球在左端及2号球在右端的排法均为则中把1号球在左端且2号球在右端的排法减了两次,所以还需加上则有故不同的排法共有3720种.(八)卡片抽取问题【例11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色,并且红色卡片至多有1张,不同取法有（).A.232种B.252种C．472种D.484种【答案】C【解析】解法1分类处理(1)若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张.若都不同色，则有种若2张同色,则有种(2)若有1张红色卡片.其余2张不同色，则有(种);其余2张同色,则有(种).所以不同取法的种数是(种故选解法种故选.解法种故选（九）女士特权问题【例12】三对夫妇去参观上海世博会,在中国馆前拍照留念,六人排成一排,若每名女士的旁边不能是其他女士的丈夫,则不同的排法有种。【答案】60【解析】将这六个人依次编号1,2，，6，设奇数（如1,3,5）为女士，偶数（如2,4,6）为男士，连续数(如12,34,56)为夫妻.根据题意可知，至少有两名女士连排在一起.(1)当有两名女土连排时，若连排的女土排在两端,如134265,则有(种);右连排的女士不排在两端,如213465,则有(种).(2)当有三名女士连排时，若女士在两端,如135624,则有种);若女士不在两端,如213564,则有种).由分类加法原理知,不同的排法种数为种特殊取数问题【例13】已知集合,（1）任取两个数,其和能被3整除的取法有种（2)任取三个数,能构成等差数列的取法有种*(3)任取三个数,能构成等比数列的取法有种【答案】[解析对3的余数分三类:余数为0,这样的集合余数为1,这样的集合,余数为2,这样的集合,可从集合中任取两个数,则有种;可从集合B,C中各取一个数，则有种可得，故满足题意的取法由64种。(2)设所取的三个数为a,b,c,则由知a与的和为偶数,故与的奇偶性相同.令集合根据与的奇偶性分类如下:当与同为奇数时,从集合A中任取两个数,有种.当与同为偶数时,从集合中任取两个数,有种.考虑到a,b,c为递增或递减两种情况,故共有（种）。（3）设所取的三个数为m,r,n,则有.按平方数分类,令集合.对其余的数进行质因数分解:,，满足题意的有:3与12;5与20;8与2;2与18;8与18.故有,故满足题意的取法有22种.【变式训练3】将一骰子连续拋郑三次,它落地时向上的面上的点数依次成等差数列的有种。(十一)工种分配问题【例14】安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加上海世博会志愿者服务,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有1人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任这四项工作,则不同安排方案有（）。A.152种B.126种C.90种D.54种【答案】B【解析】由于5个人从事四项工作，而每项工作至少1人，那么每项工作之多2人。因为甲、乙不会开车,所以可先考虑安排司机.此时分两类:(1)先从丙、丁、戊这3人中任选1人开车,再从其余4人中任选2人视为一个整体同其他2人从事其余的三项工作,共有种.(2)从丙、丁、战这3人中任选2人开车,其余3人从事利余的三项工作,共有种.所以不同安排方案的种数是种故选.【例15】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4个人的服务队，要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.（用数字作答）【答案】660【解析】根据题意，可分为两步：第一步,选出4人，由于至少有1名女生,故不同的选法有种第二步,从这4人中选出队长、副队长各1人,不同的选法有种根据分步乘法计数原理可知，不同的选法共有种)（十二）产品排列问题【例16】把五件不同的产品排成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种.【答案】36【解析】先将A，B捆绑在一起，由种摆法，再将他们与其余的三件产品全排列，有种摆法，不同的摆法有种而A,B,C三件产品在一起,且A,B相邻,A,C相邻,有CAB,BAC两种情况,将这三件与剩下的两件全排列，不同的摆法有(种故A,B相邻,A,C不相邻的摆法有(种).(十三)着色方案问题【例17】给个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如图2所示:由此推断,当时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有种;至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种.（结果用数值表示）【答案】21；43【解析】当时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为2,3,5,8，由此可看出后一个数总是前两个数字之和。故当n=5时，着色方案数应为5+8=13（种）；着色方案数应为8+13=21（种）。而当时,所有的盖色方案数种故至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有(种).（十四)特定排位问题【例18】将A,B,C,D,E,F这六个字母排成一排,且A,B均在的同侧，则不同的排法共有种.（用数字作答）【答案】480【解析】根据字母的位置不同,可分为三类:第一类,字母排在左边第一个位置,不同的排法有种;第二类,字母排在左边第二个位置,不同的排法有种貿三类,字母排在左边第三个位置,不同的排法有种由对称性可知,不同的排法共有种【例19】有4名同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”立定跳远”肺活量”握力”和“台阶”五个项目的测试,每名同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有种.（用数字作答）【答案】264【解析】上午的总测试方法有（种）若上午测试的下午测试，则上午测试的下午只能测试或,此种测试方法共有2种;若上午测试的同学下午测试A,B,C之一,则上午测试A,B,C中任何一个的下年都可以测试,安排完这2名同学后其余2名同学的测试方式就确定了，故共有种测试方法.故下午的测试方法共有11种.根据分步乘法原理,总的测试方法共有种).（十五）定序排列问题【例20】将数字1,2,，3，4,5,6排成一列，记第i个数为，若，且则不同的排列方法有A.18种B.30种C.36种D.48种【答案】B【解析】以1号位所排数字进行分类，根据题意，1号位只能排数字2,3或4,如图3所示(1)若1号位排数字2,则3号位可排数字4或5,有种5号位只能排数字6,其余三个位置排利余的数字,有种.此时不同的排列方法种数为(2)若1号位排数字3,则3号位可排数字4或5,有种5号位只能排数字6,其余三个位置排剩余的数字,有种.此时不同的排列方法种数为.(3)若1号