2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何61-70-专项训练【含答案】

由得.于是故.于是，所以.【评注】用常规方法解本题难度特别大，这里巧妙地用阿波罗尼斯圆的性质，轻松破解.【变式训练】1.在中，已知内角边.求面积的最大值.2.在直角坐标平面上，已知点为线段AD上的动点，若恒成立，则正实数的最小值为.3.已知点A，B，C在圆上运动，且若点的坐标为则的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9【拓展提升】 在中，已知内角A，B，C满足且边求面积的最大值.【解析】因为，所以，即，故从而.所以点在阿波罗尼斯圆上，当BC边上的高为圆半径时，三角形面积最大，即六、点与圆的位置判定【例9】若点在圆外，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由解得.【变式训练】已知圆点在直线上，若圆上存在两点A，B，使得则点的横坐标的取值范围为A. B. C.[-1，0] D.[-2，0]七、直线与圆位置关系【例10】已知圆直线若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围.【解析】如图1，图2，设圆O到直线l的距离为d，则.已知所以.【评注】运动直线，用极端原理，考虑特殊位置，计算边界值.【规律探索】（1）研究直线与圆的位置关系一律用圆心到直线的距离公式；（2）已知圆圆心到直线的距离为.①若圆上恰有一个点到直线的距离为h，则；②若圆上恰有两个点到直线的距离为h，则；③若圆上恰有三个点到直线的距离为h，则；④若圆上恰有四个点到直线的距离为h，则此类题型有多种形式，应重视.【变式训练】已知圆直线若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围.八、圆的光线反射问题【例11】一束光线从点出发经轴反射后与圆相切于点，则光线的最短路程是.【答案】【解析】点关于轴的对称点为由反射定理知，光线的最短路程是切线长则.【评注】光线反射问题，一般先求已知点关于反射面的对称点.【规律探索】切线长公式及意义:过圆外一点所引圆的切线的（T为切点) 过圆外一点所引圆的切线为.【变式训练】一束光线从点出发经轴反射到圆上的最短路程是.【拓展提升】一束光线从点出发经轴反射后与圆相切，求入射和反射光线所在直线的方程.【解析】入射和反射光线所在直线的方程分别为或九、动点分圆比例问题【例12】直线分圆周长的比为，则圆心到直线的最大距离为.【答案】1【解析】提示:用极端原理，考虑两种情形.【变式训练】1.把直线按向量平移后，恰与相切，则实数的值为A.或 B.或C.或 D.或2.直线与直线的交点在 A.直线上 B.圆上 C.粗圆上 D.双曲线上3.过点的直线与圆交于A，B两点，C为圆心，当最小时，直线的方程是.【例13】与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有条.【答案】四【解析】在两坐标轴上截距相等的直线有两类：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为，也有两条与已知圆相切.易知①，②中的四条切线互不相同.十、点与圆距离的最值【例14】已知满足条件.(1)若点的轨迹形成图形的面积为1，则，(2)的最大值为.【答案】(1)2；(2)(1)略(2)如图1所示，易知【评注】含参问题需进行分类讨论.【变式训练】 已知动点满足为坐标原点，若线段PO的最大值的取值范围为则实数的取值范围是.【拓展提升】 已知圆圆分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 A. B. C. 【答案】A【解析】圆关于轴的对称圆为，则.所以的最小值为【评注】求圆上两个动点的最值问题，一般都先转化为其中一个动点到圆心的最值问题.十一、圆上动点系列最值【例15】点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围：(1).【解析】（1）转化为点到点的距离问题，如图1.因为，，所以.（2)设直线如图2.圆心到直线的距离为解得. 当过点时，有，结合图象可知.(3)令将点代入得.又由得.圆心(1，2)到直线的距离为1，即即化简并整理得解得.由图3可知，取故.(4)如图4，令化简得即由得.令即，由得，化简并整理得解得.由图4可知故【变式训练】若则上述四个问题将怎样?（读者自己尝试)【拓展提升】已知点是曲线上的动点.若求的取值范围；若求的取值范围；(3)若A(-3，0)，B(1，0)，求的取值范围.【解析】*（1）由三角形中线长定理得又.设为AB中，点(如图5)(3)若则【评注】本题也可以用极化恒等式求解.十二、圆的三角形轨迹【例16】如图1，已知点，圆上两动点B，C满足四边形PBAC是矩形.（1）求点的轨迹方程；(2)求|PO|，|PA|的取值范围为原点).【解析】(1)解法1几何法如图2，设半径为R，则在中，E为BC的中点，且为OA的中点则故即解法2点和法故点的轨迹方程为.可得故.故点的轨迹方程为.解法2点和法如图3，设，则把和③式代入⑥式即得.从而，点的轨迹方程为.(2)过程略.【变式训练】如图4，已知点圆上两动点B，C满足四边形PABC为矩形，求点P的轨迹方程，并求的取值范围.（为原点） 如图5，已知点圆上两动点B，C满足四边形PBAC为矩形，求矩形PBAC