2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何31-40-专项训练【含答案】

即，即所以由点在椭圆上知，，所以同理可得，所以.由①②两式得，，所以所以是定值.利用合分比定理可将此结论推广到一般情况：因为，所以故，即所以同理可得，由，所以从而【评注】合分比定理很重要，有时可以使运算变得非常简捷.【例36】设都是椭圆上的动点（长轴同侧），且，求证：与的交点轨迹是椭圆.【解析】如图8，设，，，则.直线代入方程，得，整理得：.又，即，即,即，故，即，解得又由因为，，所以从而，即.【评注】上述运算充分利用了两直线方程的对等性，解方程组，并用对等代换即成.【例37】如图9，已知三点，，，曲线上任意一点满足：.求曲线的方程；动点在曲线上，曲线在点处的切线为，问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）依题意可得，，故，由已知得，化简得曲线的方程：（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线在点处的切线为，它与轴的交点为由于，因此①当时，，存在，使得，即与直线平行，故当时，不符合题意；②当时，，，所以与直线，一定相交，分别联立方程组和，解得点的横坐标分别是，.则又，则，又，于是对任意，要使与的面积之比是常数，只需满足，解得此时与的面积之比为2，故存在，使得与的面积之比是常数2.【评注】本题以平面向量为载体，考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想.在设直线时，也注意到直线与方程的对称性，简化了运算.【例38】如图10，已知抛物线，圆的圆心为点（1）求点到抛物线的准线的距离；（2）已知是抛物线上的一点（异于原点），过点动作圆的两条切线，交抛物线于两点，若过两点的直线垂直于，求直线的方程.【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为：，所以圆心到准线的距离是（2）设，，，则由题意得设过点的圆的切线方程为：，即则，即.设直线与的斜率分别为，则是上述方程的两根，所以，将①代入，得，由于是方程的根，故，，所以，由，得，解得，即点的坐标为所以直线的方程为【例39】如图11，点是曲线上的动点，过点作圆的两条切线，交曲线于两点，问：是否存在，使得对任意的动点，直线必与圆相切?【解析】设，切线，，，令，则切线，直线故，得下面证明在任意情况下直线必与圆相切.,，另一方面，直线与曲线相交于，，由，得，所以，则是方程，即的两个根，所以.是方程，即的两个根，所以.由于直线而，即.所以直线，即.圆心到直线的距离，故直线必与圆相切.【评注】上述切线地位等同，故只设一条直线方程即可，其斜率即为方程的两个根，两点又是地位等同，又可用对偶运算，这样运算量大大减少.【例40】直线过点，交抛物线于两点，连接分别交椭圆于两点，若与的面积比是，求直线的方程.【解析】如图12，设直线，代入，得.设，，，.则，同理可得.直线代入椭圆得：，同理可得，.所以，已知，则.故直线的方程为【例41】如图13，直线直线过点，交抛物线于两点，交轴于点，设，，求证：为定值.【解析】设，，,注意到点的纵坐标是0，故可优化设直线的方程为，与抛物线方程联立，得.又，即，得，故.即【评注】上述解法由于注意到了“0”坐标，优化设直线，使运算简捷.如果本题用常规法求解，设直线，运算将相当繁琐，甚至做不下去，读者不妨尝试一下，以作比较.十五、定比分点,坐标代入【例42】设椭圆过点，且左焦点为（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，在线段上取点，满足.求证：点总是在某定直线上.【解析】（1）由题意：，解得.所求椭圆方程为：（2）解法Ⅰ设点，，，由题设知均不为零.记，则且又四点共线，从而，，于是，，，.从而又点，在椭圆上，即①+②×2并结合③④两式得，即点总在定直线上.解法Ⅱ设点，，，由题设知均不为零.又，四点共线，可设，，于是，，⑤，.⑥点在椭圆上从而又点在椭圆上，将⑤⑥两式分别代入的方程即整理得⑦⑧⑧-⑦得，因为，所以，即点总在定直线上.【例43】若椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，点在椭圆上，，求椭圆的方程.【解析】如图1，由，，可得.设直线代入椭圆方程得，整理得.因为，所以，代入椭圆.整理得，①再把代入①式，得.即.（）即.所以椭圆方程为：十六、和谐统—,极端原则由于解析几何问题往往是从生活中的实际问题抽象出来的，必具有内在的和谐统—性，故在求解选择、填空题或预判大题的结论时，往往可以把问题中的特定点或特定线进行运动,让其达到—定的特殊位置（端点、中点或三等分点等）时所得的相应值，一般就是我们所求问题的答案.【例44】简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图，如图1所示，内外两圈的铡管架是离心率相同的椭圆，由外层椭圆顶点问内层椭圆引切线，.设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程可设为.若直线与的斜率之积为，则该椭圆的离心率为（）..A. B. C. D. 【答案】A【解析】由于椭圆在运动变化过程中，直线与的斜率之积为，且运动过程保持椭圆离心率不变，故我们可取极端位置，使切线恰好过这个顶点，这时，.从而，即.故可得故选A.【例45】已知抛物线的焦点是.直线均过焦点且互相垂直，则的值为（）..A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图2，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置.令，此时两直线方程分别为，，代入得，，则.所以.故选D.【例46】已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（）..A. B. C. D. 【答案】C 【解析】从选择项发现所谓问题为定值，则由于数学问题的特殊与一般的统一性，故可取为椭圆的长轴，则，.所以.故选C.【例47】如图3已知椭圆方程为，点是直线上的动点，过右焦点的直线交以为直径的圆于两点，则的值为（）..A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图4，当点在轴上时，点重合，由直角三角形的射影定理，得故选A.【例48】如图5，已知是椭圆上的动点，，为椭圆的左右焦点，为坐标原点.若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（）..A. B. C. D. 【答案】A 【解析】极端原理：当为短轴端点时（如下图左），；当为长轴端点时（如下图右），.故选A.【例47】已知圆,过轴上的点存在圆的割线，使得，则点的横坐标的取值范围是.【答案】 【解析】极端原理：让直线过圆心，当为短轴端点时（如图6），；当为长轴端点时（如图7），.故选A.设圆心为，则旋转即得.【评注】上述六例足以看出，“和谐统一，极端原则”在解决选填问题时的威力.总之，解题需要策略，策略需要优化，运算过程更需要在策略指导下的全面优化.第二章直线拉档经典题例本章例题均为学生作业易错题，难度中等，错误有代表性.为了让同学们消除错误及巩固知识，设置了与例题有关联的“变式训练”.对于有一般规律的典型问题还给出了“规律探索”，涉及的重要知识给出了“概念梳理”.为满足不同层次同学的需求还给出了“拓展提升”，有—定难度.一、倾角多变,易混易错【例1】设，则直线的倾斜角为.【答案】 【解析】设的倾斜角为，则由于，，故因为当时，为单值函数，所以【评注】此类题概念性很强，容易犯错，解题的关键在于把角的范围转化到函数的同一单值区间.【概念梳理】（1）定