2025高考数学二轮复习-函数与不等式271-280-专项训练【含答案】

得所以【例6】设等于|a|,|b|和1中较大的一个,当时,求证【解析】由题意知,故【例7】设若当时,总有求证【解析】时,有,故又所以所以【例8】已知满足且求证【解析】由可解得,将以上两式代入，整理得,故又所以【例9】设若求证:对于任意的有。【解析】,则故当时，当时，综上，原命题获证.【例10】已知二次函数且当时求证且.当时【解析】由得,因为从而时【例11】设二次函数对一切都有,求证:(1);(2)对一切都有【解析】由题意知由得(1)(2)由于所以有或因为为一次函数，且,所以对一切都有成立.【例12】已知二次函数当时,有一求证:当时,有.【解析】研究的性质，最好能够得出其解析式,从这个意义上说,应该尽量用已知条件来表达参数a,b,c.确定三个参数,只需三个独立条件,本题可以考虑这样做的好处有两个:一是,b,c的表达较为简捷,二是和0正好是所给条件的区间端,点和中点,这样做能的较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.要考虑在区间[-7,7]上函数值的取值范围,只需考虑其最大值,也即考虑在区间端,点和顶,点处的函数值.证法如下：由题意知,则故由当时,有可得故若,则在上单调,故当时,此时问题获证.(2)若则当时,又此时问题获证.【例13】已知且当时试求的最大值.【解析】(1)由所以故.又易知为常数)满足题设条件,所以的最大值为.【例14】已知函数.(1)当时,若对任意都有求证(2)当时,求证:对任意的充要条件是;(3)当时,求对任意的充要条件.【解析】解法1:(1)依题意,对任意都有由得.（2)充分性:因为对任意可推出即即故即必要性:对任意故即所以又故由知即故所以.综上,对任意的充要条件是.(3)当时，对任意即又由知即即,而当时，由得故在[0,1]上是增函教，故在时取得最大值.所以当时，对任意的充要条件是解法2:(1)依题设，对任意都有,则因为所以.(2)对任意也得,据此可以推出即故对任意由得由,可以推山即故,所以充要条件为.(3)当时,对任意,即由得即即,早得即,由得,所以当时,对任意的充要条件是解法3:(1)同解法2.(2)参数分离法由题意得,设则设则综上知原命题得证.（3）参数分离法由题意得,设则,设则,故又所以..六、求参数范围问题【例1】已知函数若求不等式的解集;当方程f(x)=2恰有两个实数根时,求的值;(3)若对于一切,不等式恒成立,求的取值范围.【解析】当时,得或解得或,所以(2)由得令,由函数图象知两函数图象在轴右边只有一个交,点时满足题意,此时,时方程恰有两个实教根.又两曲线的交,点可能都在双曲线的左支上,此时必有,又有函数图像知时，两曲线必有一个焦点，故只需要时有一个交点即可满足题意.时在时有根,即在时成立,由基本不等式知,时等号当且仅当时取到,此时有满足.故当方程恰有两个实数根时或(3)题设条件即，当时可得所以符合题意；当时(1)时即.设当时所以,当时所以即所以;(2)当时，即所以综上,的取值范围是【例2】设函数(1)当a,b为何值时,为奇函数?(2)设常数,且对任意恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1)若为奇函数，则对任何都有恒成立。即令得,令得故(2)由当时,取任意实数,不等式恒成立.当时,恒成立即恒成立.令在上单调递增,故,令则在上单调递减,在上单调递增，当时在上单调递减，所以。而当时所以.变式训练1.设函数(1)当a,b为何值时,为奇函数?(2)设常数,且对任意恒成立,求实数的取值范围.2．设函数(1)当a,b为何值时为偶函数?(2)设常数,且对任意恒成立,求实数的取值范围.【3】已知函数若对任意的恒成立,求实数的取值范围.【解析】解析1：解法当时得,当时得,当时，得当时得.综上,得或.解法2:由得即或，即或,即或,所以变式训练已知函数若对任意的恒成立,求实数的取值范围.【例4】已知函数若存在,使得关于的方程有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【解析】由条件得令,则有两个不同的根，即有两个不同的根.当时存在使之成立.当时故选.【例5】设函数（1）若为大于2的常数,求函数的最小值;（2)若函数的最小值大于3,求实数的取值范围.【解析】有题意得设由得,结合图像（图略），得。(2)若则解得,若则解得,若则解得.綜上,得或.变式训练已知(1)若的解集为或求不等式的解集;(2)若函数在(0,2)上有不同的零点求的取值范围.【例6】已知函数当时,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.【解析】,即因为所以即或.【例7】已知函数当时,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.【解析】构造只要在上单调递增即可.(1)当时在上单调递增，符合当时在上单调递增,符合;当时,只要极值,点就能单调递增，故.(2)当时,在上单调递减,不符;当时在上单调递减,不符;当时,只要极值,点就能单调递增，故综上,得.【例8】已知函数且当时,若函数恰有四个零点求的值;若不等式对一切都成立,求的最小值.【解析】（1）如图，当时，有四个零点依次设为则显然有是方程的两个根，因此.是方程的两个根因此故(2)在上恒成立,则有:时，时，则必须满足，由于,所以;