2025高考数学二轮复习-函数与不等式31-40-专项训练【含答案】

（六）单调与值域综合问题【例1】已知函数，若，，则（）A.B.C.D.与的大小不能确定【答案】B【解析】因为，所以，.而的对称轴为,故知，即离对称轴的距离大于离对称轴的距离，从而有，故选B．【例2】已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值为．【答案】【解析】由得得，则，故的最大值为.【例3】设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由得，单调递增，则，即恒成立，则，得．故选．【例4】已知函数，．设，，（表示，中的较大值，表示，中的较小值）记的最小值为，的最大值为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解出交点，即两个顶点处取得最值，如图：令，得，即解得，，则，由题意知的最小值是，的最大值为.故故选.【变式训练】设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，则称为上的“调函数”．如果定义域是的函数为上的“调函数”，那么实数的取值范围是．【例5】已知函数的图象过点，是否存在常数使不等式对一切实数都成立？【解析】令得，所以，由得，，，即，，，则，与联立得.【变式训练】已知二次函数满足条件：（1）当时，，且；（2）当时，；（3）在上的最小值为．求最大的，使得存在，只要，就有.【例6】设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为（）A.B.C.D.不能确定【答案】B【解析】，，，解得（舍去）或，故选.【例7】已知二次函数，记，若数列的前项和单调递增，则下列不等式总成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，，即，由对称轴的横坐标小于得．故选．【例8】已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分类讨论即可：或（时的图象开口向下，不可能），以下略．【例9】设函数，，其中，若对任意，和至少有一个为非负值，则实数的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以当，即时，而因为，所以恒成立，即恒成立，故．结合选项可知，A正确，故选A．【变式训练】设函数，已知不论为何实数，恒有，.（1）求的值；（2）求实数的取值范围；（3）规定：对于区间，若最小时，称区间最小，求函数在的值域区间最小时的解析式．【拓展提升】设函数，点和点都在的图象上，且，设，求的取值范围．【例10】已知.（1）若，，试确定两点，使的图象永远不过这两点；（2）若，函数在上至少有一个零点，求的最小值．【解析】（1），由得定点，．只要在图形，上任取两点，都能满足要求．（2）由题意知在上有解．改变主元，把看成平面内的动点，的最小值即为原点到直线的距离的平方的最小值．，令，，求其最小值即可.令，（当且仅当，即时取等号），所以的最小值为．【例11】已知函数，．若在上单调递减，则下列结论正确的是.（填序号）；；有最小值．【答案】【解析】图象可上下平移，故不定；所以结论不对；因为，所以条件即在时恒成立，于是得到结论错误，结论正确．判断结论有以下思路：思路1：，，利用线性规划即得．记，考虑抛物线，如图中情形，取到最小值.思路2：令，，注意到，而，再利用即得．也即当恰好为的两个零点时，有最小值.思路3：注意到的开口大小固定（因为前系数固定），而的最小值为，所以结论等价于“的最小值有最大值”，这显然是对的，当是的两个零点时，位置达到最高（不能再往轴正方向平移)，此时的最小值取到最大值．二、对称与对偶【例1】已知函数，，，求的值．【解析】由于，故关于对称轴对称，而与也关于对称轴对称，所以．【例2】已知函数，是方程的两根，且，则的大小顺序是什么？【解析】结合图象（图略）分析即得．【例3】已知函数，若，求的取值范围．【解析】，，，解得.【变式训练】已知函数，若，则实数的取值范围是.【例4】，若，则实数取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意知在上是增函数，则，解得，故选C．【引申1】已知函数，若，则实数的取值范围是.【答案】【引申2】已知函数，若，则的取值范围是.【答案】【拓展提升】已知函数，则使成立的的取值范围为.【例5】已知函数的图象关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数，关于的方程的解集都不可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由于的图象关于直线对称，故的根必具有对称性，如：或，则四个根必关于直线对称．故选．也可令，用两个图象分析．【变式训练】已知定义域为的函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是.【例6】设二次函数，存在实数，使得．对任何，总有.求证：关于直线对称；求证：当时，.【解析】（1）函数满足条件，令，得，即抛物线关于直线对称，即，.（2）由（1）得，方程的两个根为因为，所以由于，，所以.因为在上递增，所以.又因为所以.【变式训练】已知，，且方程有实根，若是方程的根，判断的符号并证明．【例7】已知二次函数图象上有两点，，且满足，.（1）求证：；（2）能否保证中至少有一个为正数？证明你的结论．【解析】即，得或即或是方程的一个实根，故有.因为，所以且，所以，，所以，即，也就是，得.(2)能保证，证明如下：由，知的两根为1和又由，，，，得，而，不妨设，如图，所以，则因为在上单调递增，所以.【例8】已知二次函数.（1）对于，且，，求证：方程有不等的两个实根，且必有一个实根在上；（2）若方程在上的根为，且成等差数列，设是的对称轴方程，求证：.【解析】（1）令，则有从而所以方程有两个不等实根，且必有一个实根在上．（2）当时，由，得.当时，易得，所以.综上，得证．【例9】已知函数（且）．（1）若，试求的解析式；（2）令，若，又的图象在轴上截得的弦长为，且，试确定的符号.【解析】（1）由，，得，并且不能同时等于1或，所以所有可能的解析式为：或或或或或.由于，所以或.由得，由得，所以，所以.【例10】设为实数，函数.（1）若，求的取值范围；（2）求的最小值；（3）设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集．【解析】（1）若，则，即得.（2）当时，，当时，，综上所述，.（3）当时，，即，由得此时有由得或，此时.从而可得不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【拓展提升】设函数.已知对于任意的，若满足，，则，求正实数的最大值.三、零点式威力二次函数常见四种形式:1.标准式（定义式）：；2.顶点式：，顶点为；3.零点式：；4.三点式：.每种形式在一定的场合下都有其特定的作用，解题时如果抓住题设特征，选用相应的二次函数形式，其威力将远胜于其他几种形式.如遇到与零点分布有关的问题时，零点式的威力往往不可小视．若二次函数有两个零点，则一定可表示为零点式：.通过下面几例你将看到它有多么强大的威力.【例1】设函数，方程的两个根满足.（