大一高数础练习题

高等数学（理工类）

1.设y=/(x)的定乂域为(0,1],(p(x)=\-\nx9则复合函

数y=/[0(x)]的定乂域为；o<lnx<l,xw[l,e)

2.已知10+时，arctan3与，土是等价无穷小，则

COSX

•arctan3x3

a=；hm--------=—=1,。=3；

axa

3.函数y=邑,则dy=_______；

x6

-\r(2cos2x-sin2x)cbc；

X

4.函数y=Q的拐点为；

了="、0-2)=0,x=2,(2,2e")

7l_

5.设函数g)=皿"1当〃二时，/(幻在

a+x,x>—

2

处连续；1-^/2；

6.设>=y(x)是由方程4+孙—2=0所确定的隐函数,则

7.函数/（加一♦的跳跃间断点是

1一万

/(r)=o,/(i+)=i,%=i;

8,定积分J：(>/l-x2+sinx)dx=；2,Ji-fdx=兀!2

9.已知点空间三个点1),4221),5(2,1,2),则

_____________；万/3；

10.已关口a=(2,3,1)b=(1,2,3),贝！］=(7,-5,1)

二、计算题(每小题6分，共42分)

1.求极限Hm则工」。

2°arcsin2x~2

limSim3sin2J"

2.求极限=6

.Dxy-_scinmxVKfO1-COSX

3.=,sinx,,o—=ex(2xsinx+cosx)

dxdx

4、设卜/帅求生以及学。

y=arctantdxdx-

1

解x=jn(l+/)，孚=过」，

2dxitdx2t3

1+产

5.计算不定积分伊等公

施隼JIn(lnx)dInx=Inxln(lnx)-j^-dx=Inx(ln(lnx)-1)+C

X

6、计算不定积分

sx

[-2dx=f——§=-J=[----；----J>/3tanx=^=a二——-+(C

"xcJ3~x-KV3J3tan~x+42V32

7计算定积分

|1-^y］(x-4)2dx=J；(1一x)(4-x)dx-J：(1-x)(4-x)dx

=-5x+^)dx-^{jc-5x+4)公=--—+4-(-^-)|2-4=3

・。।332

三、证明题(每小题8分，共16分)

1、设/(%)在区间［0,3］上连续，在区间(0,3)内可导，

且/(0)+/(1)+/(2)=3,/(3)=1,试证必存在六(0,3)使

/M)=0o

证明因为/(x)在［0,3］上连续,所以/*)在［0,2］上连续,

且在［0,2］上有最大值M和最小值机。于是

m</(0)<M,zn</(l)<M,m</(2)<M,

所以,"“(0)+?)+/(2)4M,由介值定理知至少存在

CG［0,2］,使/(C)=1o

因为/(c)=7(3)=1，且/(%)在fc,3］上连续，在(c,3)内可导,

由罗尔定理存在Je(c,3)u(0,3),使尸(J)=0o

2、证明不等式：当x>o时，l+x\n(x+\jl+x2)>\Jl+x2o

证明f(x)=1+xln(x+Jl+1」)-Jl+x2,

f\x)=ln(x+A/1+x2)>0,x>0

/(x)>/(0)=05贝！］当x>0时，l+xln(x+Jl+f)>J］+d

四、应用题(第1小题10分，第2小题12分)

1.要建造一个体积为展50川的圆柱形封•闭•的容

器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材

料最省？

解设圆柱体的半径为「，高屋当，表面积为

7ir

2.求曲线xy=a{a>0）直线”〃，行加及x轴所围成

的图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体体积。

解V?=J2a兀a[°dx=ITVCT

《高等数学》（理工）

一、选择题（每空3分，共15分）

1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的

是()；。；

x

A、2~-l(x^+oo)；B、咄(xf0)

x

22

xx

C、.3(x-8)；D>-—(—0)。

yjx-2x+l%+l

2、设函数/)=尸a在.2处连续，则”

1x<2

()；A；

A、-；B>0；C>-；D>1、

、42

3、设/(X)在他，切上可导，且八幻>0.若①(%)=］；/⑺力，则

下列说法正确的是()；C；

A、中(x)在向上单调减少；B、①(x)在［〃向上单调增

加；

C>①(%)在［a,句上为凹函数；D、C%)在江团上为凸函

数。

4、下列不定积分计算正确的是()；D；

23

A>fxdx=x+cjB、J［-^-dx=—+c；

Jxx

C>jsinAzZ¥=cosx+c；D>jcosAzZx=sinx+co

5、设/(力在.上连续,则下列论断不正确的

是()OA；

A、J：f(x心是f(x)的一个原函数；.B、［"⑺力在(”向内

是小)的一个原函数.；

C、J：在(a,力内是-f(x)的一个原函数；D、f(x)在

（a向上可积。

二、填空题（每空3分，共15分）

6、若limf（©=2,贝!]lim心+i_7x2-l）/（x）=；

X—X»x—>00

21im.~7-----=0；

X^y/x2+l+y/x2-l

7、曲线y=GT在点（疯2）的切线方程为：

；y-2=^-（x-y/3）；

8、曲线y=sinx在（0,2冗）内的拐点为;（乃,e）；

9、当.满足条件时，反常积分『当收

A

敛；

10、微分方程（r）4+（y）3+2y-x=i的阶数是

_________________■2；

三、计算题（共45分）

11、求下列函数极限（每题6分，共12分）：

⑴lim正壬1」

a。sin3x6

fX0；…2i

f/八9\\Josinrdt..sinx1

\L）vlim---------=hm-----=-

1。x3I。3x23

12、求下列函数导数（每题6分，共12分）:

⑴设函数），=jd+-L+ln5,求V；

A+1

解V=+xsec2幻——1_

（%+1）

（2）设函数y=/（x）由方程2G+17-3=0所确定，求

(5,1),

解了+工9将代入得4=|

y/x-yy551J）

13、求下列函数积分（每题7分，共21分）:

（1）[Xdx=^l-x2+C

JJl-x2

(2)^xXnxdx=\nxdx2=^(x2lnx|:-JJxtZr)=^-(e2-6b=；(/+i)

(3)(yll-X2+XCOS5x-\-x)dx=2|^VT-Txa,x--九

2

四、证明题（每小题8分，共16分）

14、证明：设>

1+X%0

证明设/(=X)+(X+1

/(x)=(14-Inx)+1---二>0

1+x

17111，/、、，/八、八,/八arctanx、八

火ij/(x)>/(0)=0,ln(x+l)>—----x>0

1+x

15、设y（x）在［o,i］上连续，在（o,i）上可导,且/（i）=o,

求证在（o,i）内至少存在一点g,使得3/c）+“4）=（成

立.

证.明设F（x）=x3/（x）在［0,1］上连续,在（0,1）上可导，且

P（0）=F（I）=O,y由罗尔中值定理得

/（乡=3"/《）+3广4）=0,即有3〃乡+“（1）=0

五、应用题（共9分）

16、求曲线y'x与过该曲线上的点（4,2）的切线及y

轴所围成的图形的面积S.

解2y/=l,y］（4,2）=；，切线万程y-2=；（x-4）,y=；x+l

S=6-［y/xdx=6-—x2

Jo303

高等数学(上)

一、单项选择题(本题共20分，每小题2分)

1、函数y」ln(2+x)的定义域为()；D；

x

A、…且xw-2；B、Bx>0；C、x>-2；D、x>-2且

XHOO

2、limxsin—=()；C；

KBx

A、8；B、不存在；C>1；D、0o

3、按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小

量的是()；A；

A、-/-(X—>+<x))；B、fid-—1(尢->8)；

J--X+1kX)

C、l-2~x(x->0)；D、—(x.0)；

sinx

4、设f(x)=«e5x<°要使/(x)在x=0处连续，则a=()；

a+x.x>0

B；

A>2；B、1；C>0；D一1

5、设函数f(x)在(a,b)内恒有f\x)>OL(,则曲线

y=/(x)在(a,力内()A；A、单调上升，向上凸；B、

单调下降，向上凸；

C、单调上升，向上凹；“单调下降，向上凹。

6、设/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)优-4),则方程八x)=O在实数范围

内根的个数是()；B；

A、4；3、3；c、2；。、1。

7、设，贝廿法()；B；

x2-4x+5,x<2

/一2)=

产"，x>2

8、设函数小)在向上是连续的，下列等式中正

确的是();C;

f{x}dx)f=/(x)；(J/(xW=/(x)+C；

C、(f=/(x)；D；\ff(x)dx=f(x)o

9、当〃-00时，sir?n1与4n为等价无穷小，贝!h二()；

C；

A、-；B、1；C、2；D；-2。

10、已知/（o）=l,41）=2,/⑴=3,则%〃刎=。B；

A、1；B、2；C>3；D>4o

二、填空题（本题共10分，每空2分）

1、设〃x）=J:等<*,（0<°<幻,则r店）=°苧；

2、极限lim⑵DO:"4I]；4;

3、设丫=…呜，则g|,=o=。-i;

2ax

x,x<1

4、函数/（x）=«x-l,14x<2的不连续点为。x=l

3-x,x>2

5、设/（口=尤，则r（x）=o-4

\xJx

三、计算题

1.（8lim（3x--12x+l）=lim-------1==2

…'>…3%+回”12%+1

2、（7分）lim上0Jim%=2

x->°xsinx2a。x

dxcostdy_eycost

3、（7分）设卜”，吗।-=----9

[y-esin/=1atsintdt1-eysint

dy_eysint

dx1-eysint

4、（8分）设y=（sin工产，求*o

解设1尸exO：,两边同时求导得

—=(sinx)8sx(一smxlnsinx+COSX)

dxsin尤

5、（7分）f-^cos-dr=-fcos-J-=-sin-+C

JrxJXXX

n£乃兄

6、（7分）Px2cosxcbc=|2x2Jsinx=x2sinxJ-2jJxsinAzZr

JoJ0

」1冗_2n_2

71_fTF兀_fTF7C_

=——+22AZZcosx=----2-cosAm:=----2

4Jo4Jo4

i

7、（8分）■(^令~x=3secr,-9=3tanr,公=3secftanf力,

xvx2-9

COSZ=-39

X

f—.*dx=-+C=-arccos—+C

JxyJx2-933X

四、综合题

1、（9分）求由曲线y=",y=e,x=0所围平面图形绕x

轴旋转的旋转体的体积。

V=4/一4j：e2vdr=万/-l）=-^（e2+1）

2、（9分）证明方程八X=C°SX只有一个正根.

证明设函数f（t）=z3+r-cosr在££[0,幻，x>0连续，

/(0)=-1<0,

令f(t)=3产+1+sinC0,f(t)为单调递增函数,

3

又lim/(x)=lim(x+x-cosx)=+oo9由零点定理可知f(t)在

Xf+00X->-KX)

f(t)只存在一点在(e[0,x],使在"4)=0,则方程

x3+x=cos/只有一'个正根o

理工《高等数学》

一、填空题（本题共15分，每小题3分）

1.函数4）=——的连续区间是（­）（―U）（1.也）

X-1

2.若lim-^—-ax+b=0,a9h均为常数，贝I〃=,b=

r(%?八(l-a)x2-(a-b)x+b八一1.

lim--------ax-\-b=lrim-----------------------------=0,a=l,b=l；

x->g(x+lJxtbx+\

3.设函数y=/(x)由万程孙+21nx=y4所确定，则曲线

y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是

2

y+母，+二=4)、，,y'=19y=x

x(L1)

・2

4y=In(Inx)-sec(2x)5则y'=・---------4sec2^tanx

-xlnx

5.设在…可导，贝ij11m但上/@

10x

二.求下列各题极限(共28分)

1Vl+x-V1-x12x1

i.rlim-------------------=—lvim—=I

x->oex—I2—0x

―112?*mx+cosx-I

O—-lim---------------------)

乙.lim(2sinx+cosx)r=lim[l4-(2sinx+cosx-l)]v=尸°*=e

XTOxf0

..tanx-sinx-tanx(l-cosx)3

3.lim------1-----=lim--------------------=—

^^•(Vl+sin^-l)a。x.lx22

3

4.--------=lim^——=-

〃T8(3)W+1+4向”T83(3)"+44

4

三.计算题(共32分)

5.设y=xarctan3x求），,•.

/=arctan3K++3-kR_

l+9x2l+9x2(l+9x2)2=(1+9/>

smxf

6.设1y=x-arcsin(Inx)9求^y.

yf=xs,nA[(sinxInx)rarcsinx+—.]

Xyji-(\nx)2

sinxr/isinx.1i

=x[(cosxInx+-----)arcsinx+—,：]

xXyji-Onx)2

7.求由参数方程上=皿"")所确定的函数的导数

[v=r-arctanr

dyd2y

dx'dx2

办=1-1+，J・，),二(5)i+产

dx2t2'dx22i4/

1+r21+r2

8.设函数y=y(x)是由方程x-y+」siny=。确定的求电，学.

2dxdx~

解万程两边同时求导得1-y+；cosyy=0)/=—,

22-cosy

〃-2sinyy'4siny

y=--------:=--------:——

(2-cosy)2(2-cosy)3

四.综合题(共27分)

9.求常数“力的值，使函数作)=心：<在.0处

ln(l+x)x>0

一阶可导.

lim/(x)=lim(ax+b)=b=/(0)9lim/(x)=limln(l+x)=0,0=0；

x^0-x->0-x->0+XT。'

、rax,ln(l+x)I.

f_(x)=lim—=a9f+(x)=lim----------=1,a=lo

XT。-XA—>0~~X

10.求函数的所有间断点，并指出其

x-3x+2

类型.

\x-2\

fM=1,hm/(x)=oo,hm/(x)=-l,hmf(x)=1

(x-2)(x-l)7I

1L设小）=而士学』为连续函数，求“力

…X4-1

一、填空题（每空3分，共15分）

1、已知/（X）的定义域是［0』,则函数/（inx）的定义

域为;口刈;

2、设/（幻连续可导，则Jf（2x）dx=；gf（2x）+c；

3、积分/,=\\nxdx与I2=\\\n-xdx的大小关系是

___________;>I2;

4、设曲线"加+加以点（1,3）为拐点则数组3与=.；

39

?2）；

解/"(x)=6ax+2匕/⑴=6a+2Z?=0fa=~^b

又a+A=3na,力=2时(⑶为曲线/(%)=♦+/2的

点

1

贝7-

-8

8-

二、选择题(每空3分，共15分)

1、曲线“+”=1在(0,0)点的切线斜率是()；D；

A、1；B、e''；C>0；D、-1o

2、设八©=2，+3—2,则当x-0时，有()；B；

A、/(x)与x是等价无穷小；B>/(%)与x是同阶但

非等价无穷小；

C、f(x)是比x高阶的无穷小;。、/(x)是比x低阶

无穷小。

3、设函数个)在[a句上具有连续的导函数，且

厂产㈤公=1,f(a)=/®=0,则r»(x)/'(x)公=()；A；

JaJa

A、—；B、—；C>0；D、1o

22

4、下列积分发散的有()；A；

r+ooInYe+»1r1nxr+«

A、f—dx；B>[—^dx；C、.f.；D>[e-xdxo

JixJo1+x2JoJ]_炉Jo

%4

5、设f\x)=cosX,P(x)=1-能使极限式

lim八幻一.）=0成立,贝U正整数〃的最大值是（）。Co

Z%"

A.〃=6；B、〃=4；C、〃=5；D〃=3；

三、计算下列各题（共52分）

1、（7分）已知求y的导数。

八兼唱用T罪唱•…（二广

C/r八、「sinyftdt

2、(7分)计算极限limy一公--------

J2(l+cos")ln(l+«)力

rs_ix2xsinx「sinx..1

原式=lvim---------------------=-lim---------lim--------

Mio,-2x(1+cosx)ln(l+x)x->o+ln(l4-x).—。+1+cosx

3、（7分）已知参数方程：…『叫（〜氏皿）,

y=tz（l-cosr）

求所确定的函数尸y（x）的二阶导数。

立

5力

^而asintsinr/

—=、

---------=-------\tH2n冗,neZ)

一afl-cost)1-cos/

力

«(l-cos/)2

4、(7分)已知〜管)“'(…帚,求警

解:令3x-2

5x4-2

则)』“了⑷=3(5,2；第-2),史"4arctan1=,

5、(8分)计算不定积分心心.了公.

解：f(arcsinx)2dx—x(arcsinx)2-2(，：心山入公

JJ7i-x2

=x(arcsinx)2+2jarcsinxd(\/l-x2)~x(arcsinx)2+2y11-x2arcsinx-2^dx

=x(arcsinx)2+271—x2arcsinx-2x+c.

6、(8分)计算定积分J：&.

解：令G=t则x=t\dx=2tdt,且当x=l时,t=l当x=4时t=2

4

午旦rdxr22tdtr219

=2j((1-—)6/r=2[r-ln(l+z)]2=2-ln-

7、求由曲线y=l+sinx与直线y=O,x=O,x=^围成的曲边

梯形绕X轴旋转所成的旋转体的体积.(8分)

V="Jo(l+sinx)26ir(l+2sinx+sin2x)dx

sin2x3,

=，^-2cosx=—7T+44

24o2

四、证明题(每小题9分，共18分)

1、(9分)当0<、<工时，sinx+tanx>2x.

2

证：令/(X)=sinx+tanx-2x,/z(x)=cosx+sec2x-2>cos2x+sec2x-2

=(cosx-secx)2>0,当0<x<工时，f(x)在(0,当内单调增力口.

而

f(x)>f(0)=0xe(0-)即当0<%<工时，sinx+tanx>2x

i22

2、(9分)设函数/'(X)和g(x)在［a,司上存在二阶导数,

且g"(x)H0,

/(a)=fib)=g(a)=g(b)=0,证明⑴在((3,b)内g(x)#0；(2)

在(a,b)内至少存在一点g,使噜=4螺.

g©s(幼

证：(1)反证法.设(a,6)内存在一点匹使g(%)=0,

则在［a,%］上有g(a)=g(¥)=C,由罗尔定理知在(a,xj内

至少存在一点4，使/d)=0,同理在旧㈤内也至少

存在一点统使婷C)=o，则gG)=g，($)=o,•.・由罗尔定

理，在《4)内至少存在一点&使g"©)=o,这与

g"(x)R。矛盾,故在(a,b)内g(x)*0o

(2)令F(x)=f(x)g'(x)-g(x)/(x)

由题设条件可知，F3在用上连续，在3与内可

导，且尸(a)=尸(力=0,由罗尔定理可知，存在＜e(a,b)使

得尸⑷=0,即〃9g〃⑶--⑷g(9=o,

由于g⑷H0,g〃⑶H。，故得=需。

一、填空题(每空3分，共24分)

1、要使小)=卜+5m/＜：在…处连续，则

a+x+x,x＞0

〃=；5；

2、设/(X)的一个原函数为x3-x,则

J/(sxjcn(xs/=______________________；sin3x-sinx+C\

g、设y=32?'~贝'd»=______；41n3.32r2xdx；

4、函数/(x)=x-sinx是sin尤3当工-0时的同阶无穷小

量。(填等价，同阶或高阶)。

5、=；0；

"(1+X2)2--------------------

6、若lim”+—+4=4,贝＞]〃=,b=；3,6

x"X+1

7、函数尸4的单调增加区间为____________

inx

®+8）

、求极限（每小题5分，共10分）。

1、(5分)］河」--，］=小三13=扁七驾母」

Iln(l+x)xJ)xln(l+x)*-＞。x2

,3

AL3

2、（5分）liin-----------------=lim—X2—=12

*「(-sin/)"J。'Mx-sin尤)

三、求导数（每小题6分，共18分）。

1、（6分）求由方程孙+lnx+lny=l所确定的隐函数

尸.的一阶导数多和会。

axax

解：方程两边同时对X求导，得y+W+LX=o,整

%y

理得V=”,

Xdx1x2

x=f+2+sint

2、（6分）设函数y=y（x）的参数方程为

y=t+cost

求？，

axdx2

(1-sinr^

解：布=-J-sin/d2y_1k1+cosr)_-cosr

13

dxx't1+cosrdx1+cosr(1