【鲁教版数学九年级综合素质评价卷】第二章综合素质评价

P第二章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．【2022·烟台期末】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下列正确的是()A．sinA＝eq\f(AC,AB) B．cosA＝eq\f(AD,AC) C．tanA＝eq\f(CD,BD) D．cosB＝eq\f(CD,BC)2．【2023·泰安市东平县月考】在△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝eq\f(1,2)，则cosB的值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2) C．2 D．eq\f(\r(3),2)3．【2022·聊城期末】如图，在△ABC中，点A、B、C都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝()A．1 B．eq\f(1,2) C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)4．【教材P51习题T2变式】如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高DE＝5m，斜坡BC的坡比为5∶12，则斜坡BC＝()A．13m B．8m C．18m D．12m5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔6海里的A处，若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离AB的长是()A．6海里 B．6cos55°海里 C．6sin55°海里 D．6tan55°海里6．【2022·淄博期末】如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有()A．h1＝h2B．h1<h2C．h1>h2D．以上都有可能7．【2022·威海期末】如图，利用四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”中，小正方形的面积是1，大正方形的面积是25，直角三角形中较大的锐角为β，则tanβ＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．eq\f(13,12) D．eq\f(12,13)8．【2022·临沂期末】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则sin∠BB′C′的值为()A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5) C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)9．【2022·日照期中】如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝2eq\r(10)，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2＝BC·AC，tanα＝3，则点C的坐标为()A．(－2，6) B．(－3，9) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(9,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(15,4)))10．如图，小欢同学为了测量建筑物AB的高度，从建筑物底端点B出发，经过一段坡度i＝1∶2.4的斜坡，到达点C，测得坡面BC的长度为15.6m，再沿水平方向行走30m到达点D(A，B，C，D在同一平面内)．在点D处测得建筑物顶端A的仰角为37°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)()A．27.3m B．28.4m C．33.3m D．38.4m二、填空题(每题4分，共24分)11．如图，在山坡上种树，已知∠C＝90°，∠A＝α，相邻两棵树的坡面距离AB为am，则相邻两棵树的水平距离AC为_______m.12．如图，点P(12，a)在反比例函数y＝eq\f(60,x)的图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_______．13．【2023·威海乳山校级月考】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2eq\r(5)米，则这个坡面的坡度为_______．14．【2023·威海文登区联考】在△ABC中，sinB＝eq\f(1,2)，AC＝2eq\r(2)，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为_______．15．【母题：教材P56复习题T14】如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为_______m.16．【2022·绵阳】如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝_______海里(计算结果不取近似值)．三、解答题(17～19题每题10分，其余每题12分，共66分)17．计算：(1)【2022·乐山】sin30°＋eq\r(9)－2－1；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(0)＋4cos60°·sin45°－eq\r((tan60°－2)2).18．【母题：教材P42例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，求这个三角形的其他元素．19．【2022·菏泽】荷泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，eq\r(3)≈1.73)20．【2022·无锡】如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2eq\r(2)，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF.(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．21．【2023·威海文登区联考】“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m.(1)天睛时打开“天幕”，若α＝65°，求遮阳宽度CD(结果精确到0.1m)；(2)下雨时收拢“天幕”，α从65°减小到45°，求点E下降的高度(结果精确到0.1m)．(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，eq\r(2)≈1.41)22．【2022·泰州】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？(结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56,tan34°≈0.67，tan56°≈1.48)

答案一、1．B【点拨】因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(CD,AC)，cosA＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，tanA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(BC,AC)，cosB＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(BC,AB).故选B.2．A【点拨】∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴sinA＝cosB＝eq\f(1,2).故选A.3．A【点拨】由题图可知AB＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠BCA＝90°，∴tan∠BAC＝eq\f(BC,AC)＝1.故选A.4．A【点拨】过点C作CF⊥AB，垂足为F.∵坝高DE＝5m，CF⊥AB，∴DE＝CF＝5m．又∵斜坡BC的坡比为5∶12，∴BF＝12m，∴在Rt△BCF中，BC＝eq\r(CF2＋BF2)＝eq\r(52＋122)＝13(m)．故选A.5．B【点拨】由题易知∠B＝90°，∠A＝55°，AP＝6海里，∴AB＝AP·cosA＝6cos55°海里．故选B.6．B【点拨】如图，分别作出两个三角形的高h1，h2.∵∠ACB＝45°，AC＝5，∴h1＝AC×sin45°＝5sin45°.∵∠PRQ＝125°，PR＝5，∴h2＝PR×sin(180°－125°)＝5sin55°.∵sin55°>sin45°，∴h2>h1.故选B.7．A【点拨】由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5.设直角三角形中较小直角边的边长为x，则有(1＋x)2＋x2＝25.解得x＝3(负值不合题意，舍去)，∴较长直角边的边长为x＋1＝4，∴tanβ＝eq\f(4,3).故选A.8．C【点拨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10.∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AC′＝AC＝6，B′C′＝BC＝8，∠AC′B′＝∠C＝90°.∴BC′＝AB－AC′＝10－6＝4.∴在Rt△BB′C′中，由勾股定理得BB′＝eq\r(BC′2＋B′C′2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5).∴sin∠BB′C′＝eq\f(BC′,BB′)＝eq\f(4,4\r(5))＝eq\f(\r(5),5).故选C.9．C【点拨】∵OC2＝BC·AC，∴eq\f(OC,BC)＝eq\f(AC,OC).又∵∠C＝∠C，∴△OBC∽△AOC，∴∠A＝∠COB.∵α＋∠COB＝90°，∠A＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝α.∵tanα＝3，∴tan∠ABO＝eq\f(OA,OB)＝3，∴OA＝3OB.由勾股定理可得OA2＋OB2＝AB2，即9OB2＋OB2＝(2eq\r(10))2，∴OB＝2，∴OA＝6.∴tanA＝eq\f(OB,OA)＝eq\f(1,3).如图，过点C作CD⊥x轴于点D.∵tanα＝3，∴设C(－m，3m)，m>0.∴AD＝6＋m.∵tanA＝eq\f(1,3)，∴eq\f(CD,AD)＝eq\f(1,3)，即eq\f(3m,6＋m)＝eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(3,4).经检验，m＝eq\f(3,4)是原方程的解．∴点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(9,4))).故选C.10．A【点拨】设AB的延长线与DC的延长线交于点E.∵BC＝15.6m，斜坡BC的坡度i＝1∶2.4＝eq\f(5,12)，∴cos∠BCE＝eq\f(12,13)，sin∠BCE＝eq\f(5,13)，∴EC＝BC·cos∠BCE＝15.6×eq\f(12,13)＝14.4(m)，BE＝BC·sin∠BCE＝15.6×eq\f(5,13)＝6(m)，∴ED＝EC＋CD＝14.4＋30＝44.4(m)．又∵∠D＝37°，∴AE＝ED·tan37°≈44.4×0.75＝33.3(m)，∴AB＝AE－BE≈33.3－6＝27.3(m)．二、11．acosα【点拨】∵∠C＝90°，∠A＝α，AB＝am，∴AC＝AB·cosα＝acosαm.12．eq\f(5,12)【点拨】∵点P(12，a)在反比例函数y＝eq\f(60,x)的图象上，∴a＝eq\f(60,12)＝5.∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH＝eq\f(5,12).13．1∶2【点拨】由勾股定理得斜坡的水平宽度为eq\r(102－(2\r(5))2)＝4eq\r(5)(米)．则这个坡面的坡度i＝2eq\r(5)∶4eq\r(5)＝1∶2.14．2eq\r(3)＋2或2eq\r(3)－2【点拨】分情况讨论：如图①，当AD在△ABC的内部时，∵AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠DAC＝45°.∵AC＝2eq\r(2)，∴DC＝AD＝AC·sin45°＝2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝2.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(1,2)，AD＝2，∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，解得AB＝4.根据勾股定理得BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).∴BC＝BD＋DC＝2eq\r(3)＋2.如图②，当AD在△ABC的外部时，∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°.在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝DC＝AC·sin45°＝2.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，∴AB＝4.∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).∴BC＝BD－DC＝2eq\r(3)－2.综上，BC的长为2eq\r(3)＋2或2eq\r(3)－2.15．14.4【点拨】过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°＋30°＝120°.∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m．在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝4.8m，∴AB＝AE＋BE＝4.8＋9.6＝14.4(m)．16．(5eq\r(3)－5)【点拨】如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E.依题意得，AB＝20×eq\f(1,2)＝10(海里)，∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠CAB＝90°－45°＝45°，∠DAC＝∠FAC－∠FAD＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝90°.在Rt△ACB中，AC＝AB·sin45°＝10×eq\f(\r(2),2)＝5eq\r(2)(海里)．设DE＝x海里，在Rt△DAE中，AE＝eq\f(DE,tan30°)＝eq\f(x,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)x(海里)．∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝45°.在Rt△DEC中，CE＝eq\f(DE,tan45°)＝x海里，∴DC＝eq\r(2)x海里．∵AE＋EC＝AC，∴eq\r(3)x＋x＝5eq\r(2)，解得x＝eq\f(5\r(6)－5\r(2),2)，∴DC＝eq\r(2)×eq\f(5\r(6)－5\r(2),2)＝(5eq\r(3)－5)海里．三、17．解：(1)原式＝eq\f(1,2)＋3－eq\f(1,2)＝3.(2)原式＝1＋4×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－eq\r((\r(3)－2)2)＝1＋eq\r(2)－(2－eq\r(3))＝－1＋eq\r(2)＋eq\r(3).18．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.∴BC＝AC·tanA＝15×eq\f(\r(3),3)＝5eq\r(3).∴AB＝2BC＝2×5eq\r(3)＝10eq\r(3).19．解：在Rt△ABC中，AB＝8米，∠ABC＝37°，∴AC＝AB·sin∠ABC≈8×0.60＝4.8(米)，BC＝AB·cos∠ABC≈8×0.80＝6.4(米)．在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，∴CD＝eq\f(AC,tan∠ADC)≈eq\f(4.8,tan30°)≈8.3(米)，∴BD＝CD－BC≈8.3－6.4＝1.9(米)．答：BD的长约为1.9米．20．解：(1)如图，设BE＝x，则EC＝4－x，∴AE＝EC＝4－x.在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，∴(2eq\r(2))2＋x2＝(4－x)2，解得x＝1.∴BE＝1，AE＝CE＝3.∵AE＝EC，∴∠1＝∠2.∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＝90°－∠2，∴∠CAB＝90°－∠1.由折叠可知△FAC≌△BAC，∴∠FAC＝∠CAB＝90°－∠1，AF＝AB＝2eq\r(2)，∴∠FAC＋∠1＝90°，即∠FAE＝90°.在Rt△FAE中，EF＝eq\r(AF2＋AE2)＝eq\r((2\r(2))2＋32)＝eq\r(17).(2)如图，过F作FM⊥BC于M，∴∠FME＝∠FMC＝90°.设EM＝a，则MC＝3－a.在Rt△FME中，FM2＝FE2－EM2，在Rt△FMC中，FM2＝FC2－MC2，∴FE2－EM2＝FC2－MC2，∴(eq\r(17))2－a2＝42－(3－a)2，∴a＝e