青岛版(五年制)五年级数学下册全册知识点

青岛版（五年制）五年级数学下册全册知识点汇总一完美的图形——圆一、圆的定义感知圆的特征:以前学过长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等,都是由线段围成的平面图形,而圆是由曲线围成的一种平面图形。二、圆的各部分名称1.圆心:用圆规画出圆以后,针尖固定的一点就是圆心,通常用字母O表示。2.半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径,一般用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。3.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径,一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。三、圆的主要特征1.在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。2.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的12。用字母表示为d=2r或r=𝑑2。3.如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。圆是轴对称图形且有无数条对称轴。4.画圆的方法:(1)用手指画圆。以大拇指为圆心,以食指与大拇指之间的距离为半径,旋转一周所形成的图形就是圆。(2)用线绳、图钉和笔画圆。用图钉固定线绳的一端作圆心,将笔系在线绳的另一端,拉直绳子作半径,旋转线绳一周所形成的图形就是圆。(3)用圆规画圆。将圆规的一个针脚固定在本上作圆心,用圆规两脚间的距离作半径,旋转圆规一周所形成的图形就是圆。(4)用物体的圆形面画圆。按住物体的圆形面,用笔在物体的圆形面的圆周上画一圈,所形成的图形就是一个圆。四、圆的周长的认识1.围成圆的曲线的长叫作圆的周长。2.圆的周长与圆的直径有关,圆的直径越长,圆的周长就越大。五、圆周率的意义及圆的周长公式1.圆周率实验:在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度线对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。2.发现一般规律,就是圆的周长比它的直径的3倍多一些。3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫作圆周率。用字母π(pài)表示。4.一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π≈3.14。5.圆的周长公式:C=πd→d=C÷π或C=2πr→r=C÷2π。6.区分圆周长的一半和半圆的周长:(1)圆周长的一半:等于圆的周长÷2。计算方法:2πr÷2,即πr。(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:πr+2r,即5.14r。7.正方形里最大的圆与正方形的关系。两者联系:正方形的边长=圆的直径,圆的面积=78.5%×正方形的面积。8.在长方形或正方形内画最大圆的方法。(1)在正方形里画最大的圆。①画出正方形的两条对角线;②以对角线的交点为圆心,以边长为直径画圆。(2)长方形里最大的圆。两者联系:宽=直径画法:①画出长方形的两条对角线;②以对角线的交点为圆心,以宽为直径画圆。五、常用的3.14的倍数3.14×2=6.283.14×3=9.423.14×4=12.563.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.983.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×12=37.683.14×14=43.96 3.14×16=50.24 3.14×18=56.523.14×24=75.36 3.14×25=78.5 3.14×36=113.043.14×49=153.86 3.14×64=200.96 3.14×81=254.34六、圆的面积公式把圆拼成近似的长方形,只是形状改变了,图形的大小并没有发生变化,因此圆的面积=拼成的近似长方形的面积。圆的面积推导:圆可以切拼成近似的长方形,长方形的面积与圆的面积相等(即S长方形=S圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=C÷2=πr)。S长方形=a×b S圆=πr×r =πr2所以,S圆=πr2。七、圆环的意义及面积的计算1.圆环的意义:以同一点为圆心,半径不相等的两个圆组成的图形,两圆之间的部分就是圆环。2.圆环中半径较大的圆叫作外圆,半径较小的圆叫作内圆。外圆半径与内圆半径的差叫作环宽,两圆中间部分的大小叫作圆环的面积。3.外圆的半径=内圆半径+1个环宽;外圆的直径=内圆直径+2个环宽。4.求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积,还可以利用乘法分配律进行简便计算。S圆环=S外圆-S内圆=πR2-πr2=π(R2-r2)。5.几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长(如图)。八、扇形的认识1.扇形是由“一条弧”和“经过这条弧两端的两条半径”所围成的图形。扇形是所在圆上的一部分,∠AOB是圆心角;扇形是由两条半径和圆上一段曲线围成的。2.扇形与三角形的区别。扇形是由两条半径和一条弧围成的图形;三角形是由三条线段围成的图形。尽管有的图形的两条边也是圆的半径,但是第三条边不是弧,而是线段,这样的图形不能称为扇形,它是三角形。弧是圆的一部分,是曲线,而线段是直线的一部分。圆与其他平面图形不同,圆是由曲线围成的。直径和半径的关系只能在同圆和等圆中。用字母表示:d=2r。不能说直径是圆的对称轴。因为对称轴是一条直线。圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。半径越大,画出的圆越大。我们通常选用圆规画圆,既便捷又准确。世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人是我国的数学家祖冲之。在判断时,圆的周长与它的直径的比值是π,而不是3.14。在长方形或正方形内画最大圆,关键是以对角线的交点为圆心,以正方形的边长或长方形的宽为直径。记忆常用3.14的倍数,可以使平时的计算快捷、正确。注意:切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。C长方形=2πr+2r=C圆+d。周长相等的平面图形中,圆的面积最大;面积相等的平面图形中,圆的周长最短。要求圆的面积,只要知道圆的半径或者圆半径的平方即可。几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的面积。圆环的意义:两个同心圆形成一个圆环。设小圆和大圆(或内圆和外圆)的半径分别为r和R。(R﹥r)同样大小的外圆,内圆越小,圆环的面积越大。半圆环的面积=它所在的圆环面积的一半。单独一个圆,半径(直径)越大,周长就越大,面积也越大;如果两个圆的半径相等,那么它们的周长就相等,面积也相等。在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角大的扇形大,圆心角小的扇形小。在同圆或等圆中,圆心角越大,扇形越大;反之,圆心角越小,扇形就越小。二体检中的百分数——百分数(一)一、百分数的认识1.百分数的意义。(1)表示一个数是另一个数的百分之几。(2)百分数是指两个数的比,因此也叫百分率或百分比。(3)百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”,百分数后面不能带单位名称。2.百分数和分数的主要联系与区别。(1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。(2)区别。①意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位。②百分数的分子可以是整数,也可以是小数,如2.5%;而分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。③百分数的读法和分数的读法大体相同,也是先读分母,后读分子,但要注意读百分数的分母时,不能读成一百分之几,而只能读作“百分之几”。3.百分数的写法。通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。如5%、20%。4.百分数、分数、小数的互化。(1)小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。如0.23、5、0.026三个数化成百分数是23%、500%、2.6%。(2)百分数化成小数:把小数点向左移动两位,同时去掉百分号。如20%、56%、3.7%三个数化成小数是0.2、0.56、0.037。(3)百分数化成分数:先把百分数化成分数,再把百分数改写成分母是100的分数,能约分要约成最简分数。如25%、40%,化成分数是25%=25100=14、40%=40100=25。(4)分数化成百分数。①用分数的基本性质,把分数的分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。如25化成百分数形式:25=2×205×20=40100=40%。②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。如34化成百分数形式:34=3÷4=0.75=75%。二、常用百分率的计算合格率=合格产品数产品总数×100%;成活率=成活的棵数总棵数×100%;烘干率=烘干后的质量烘干前的质量×100%;发芽率=发芽种子数种子总数×100%;达标率=达标学生人数学生总人数×100%;含水率=烘干前的质量-烘干后的质量烘干前的质量×100%。三、解决百分数问题的方法1.求一个数是另一个数的百分之几。计算方法:把另一个数看作单位“1”,用一个数除以单位“1”。即一个数÷另一个数;最后的结果化成百分数。2.“求数A比数B多(或少)百分之几”的实际问题。已知条件:数A、数B求:两数差的百分数解题方法:(大数-小数)÷单位“1”。3.“数A比数B多(或少)百分之几,求数A是多少”的实际问题。已知条件:数B、两数和(差)的百分数求:数A(非单位“1”)解题方法:数B×(1+百分数)——两数和的方法数B×(1-百分数)——两数差的方法4.“数A比数B多(或少)百分之几,求数B是多少”的实际问题。已知条件:数A、两数和(差)的百分数求:数B(单位“1”)解题方法:数A÷(1+百分数)——两数和的方法数A÷(1-百分数)——两数差的方法百分数表示两个数的关系,不表示一个具体的数,所以不能带单位。百分号前面的数相当于分数的分子,百分号后面的数相当于分数的分母。百分数的分子部分可以是小数、整数,可以大于100,小于100或等于100。在进行分数、小数和百分数互化的过程中,不能改变原来数的大小。比较百分数、分数和小数的大小时,要先将这些数转化成相同形式的数,再进行比较。当分数的分子除以分母不能得到有限小数时,化成百分数就是一个近似数。发芽率、出勤率、合格率、成活率、中奖率、命中率、出生率、死亡率、优秀率、及格率、出油率、出错率、入学率、含盐率、含糖率、增长率、近视率、收视率等最大不会超过100%。增长率可以大于100%。实际生活中,人们常用“增加了百分之几”“减少了百分之几”“节约了百分之几”等来表示增加或减少的幅度。口诀:“一减一除”。(两数的差÷单位“1”=百分之几)三欢乐农家游——百分数(二)一、百分数问题1.求一个数比另一个数多(少)百分之几的问题。(1)求甲数比乙数多百分之几的问题的解题方法:(甲-乙)÷乙或甲÷乙-1(2)求乙数比甲数少百分之几的问题的解题方法:(甲-乙)÷甲或1-乙÷甲2.求比一个数多(少)百分之几的数是多少的问题。解题方法:把一个数看作单位“1”,(1)用单位“1”的量±单位“1”的量×百分之几。(2)用单位“1”的量×(1±百分之几)。3.已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数的问题。(1)把一个数看作单位“1”,单位“1”是未知的,依据数量关系列方程解答。数量关系:①单位“1”的量×[1±另一个量比单位“1”的量多(少)的百分率]=另一个量。②单位“1”的量±单位“1”的量×另一个量比单位“1”的量多(少)的百分率=另一个量。(2)用除法解答。另一个量÷[1±另一个量比单位“1”的量多(少)的百分率]=单位“1”的量。二、成数1.成数:通常用在工农业生产中表示生产的增长或降低情况。几成就是十分之几,几成几就是百分之几十几。例如:7成=710五成二=52%2.成数问题可以转化为百分数问题解答。三、折扣1.商品按原价的百分之几销售,叫作打折销售,通常简称为打折,是商家常用的促销手段,特别是在节日期间更是常见。2.几折就是现价是原价的百分之几十,几几折就是现价是原价的百分之几十几。(1)解答折扣问题,实质上就是求一个数的百分之几是多少,或已知一个数的百分之几是多少,求这个数是多少。(2)与百分数应用题解题思路相同,同样是先找单位“1”的量。如果单位“1”是已知的,用乘法计算;如果单位“1”是未知的,列方程或用除法计算。(3)原价×折扣=现价,现价÷折扣=原价,现价÷原价=折扣。四、纳税1.纳税的有关概念。(1)应纳税额:缴纳的税款叫作应纳税额。(2)税率:应纳税额与各种收入(销售额、营业额……)的比率叫作税率。2.应纳税额的计算方法。应纳税额=应纳税所得额×税率五、利息1.储蓄的意义。把钱存入银行就是储蓄,储蓄对于个人和国家都具有重要的意义。(1)可以支援国家建设。(2)保证个人财产安全,同时增加一些收入。2.存款的种类。活期:可以随时存入,随时支取。定期整存整取:一次性存入一定的金额,到期时支取。零存整取:每月存入一定的金额,到期时支取。定活两便:事先不约定存期,一次性存入,一次性支取的储蓄存款。求一个数比另一个数多(少)百分之几,实质上就是用这两个数的差量除以标准量。易错点:搞错单位“1”。举例:甲数是12,乙数是10,乙数比甲数少百分之几?错解:(12-10)÷10=20%正确答案:(12-10)÷12≈16.7%特别说明:计算时遇到除不尽的,取近似值时,通常百分号前保留一位小数。温馨提示:找到题目中的单位“1”是解答问题的关键。特别提示:一成就是百分之十,几成几就是百分之几十几。折扣问题可以转化为百分数问题解答。注意:打几折就是指现价是原价的百分之几十。税率=应纳税额÷应纳税所得额补充:本息和:本金与利息的和。本息和=本金+利息利率=利息÷本金÷时间四冰淇淋盒有多大——圆柱和圆锥一、圆柱的认识1.圆柱的特征。(1)实物抽象出几何图形——圆柱。(2)圆柱是由两个底面和一个侧面组成的,它的底面是完全相同的两个圆,侧面是一个曲面。(3)圆柱各部分的名称。①圆柱的上、下两个面叫作底面。②围成圆柱的曲面叫作侧面。③两底面之间的距离叫作高。2.圆柱的侧面沿高剪开后是一个长方形(或正方形),这个长方形的长等于圆柱底面的周长,长方形的宽等于圆柱的高。二、圆锥的认识圆锥的特征。(1)实物抽象出几何图形——圆锥。(2)圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的。(3)各部分名称。①圆锥的底面是一个圆,侧面是一个曲面。②圆锥的高:从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。三、圆柱的侧面积1.圆柱的侧面积。(1)公式的推导。圆柱的侧面沿高展开图是一个长方形,长方形的长等于圆柱的底面周长,圆柱的高等于长方形的宽。(2)圆柱的侧面积计算公式。长方形的面积=长×宽↓↓↓圆柱的侧面积=底面周长×高用字母表示:S侧=Ch2.圆柱的表面积。圆柱的侧面积加上两个底面的面积就是圆柱的表面积。圆柱的表面积=侧面积+底面积×23.应用举例。例如:如右图,做一个这样的饮料盒,至少需要多少平方厘米的铁皮?分析:求做一个这样的饮料盒,至少需要多少平方厘米的铁皮,就是求这个圆柱形饮料盒的表面积。侧面积:3.14×5×14=219.8(平方厘米)底面积:3.14×(5÷2)2×2=39.25(平方厘米)表面积:219.8+39.25=259.05(平方厘米)四、圆柱的体积1.圆柱的体积公式的推导。(1)类比。类比圆的面积公式的推导——把圆转化成近似的长方形。(2)猜想。圆柱能否转化为长方体来推导体积公式。(3)推导。①把圆柱转化为长方体。②拼成的长方体的体积等于圆柱的体积。长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。③长方体的体积=底面积×高↓↓↓圆柱的体积=底面积×高2.圆柱的体积公式。圆柱的体积=底面积×高用字母表示:V=Sh五、圆锥的体积1.提出猜想。(1)可能与同它等底等高的圆柱的体积有关。(2)圆锥的体积与底面积和高有关。……2.实验验证。如图,等底等高的圆柱和圆锥形容器,在圆锥形容器里装满沙子,然后倒入圆柱形容器内,结果发现圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三之一。3.圆锥的体积公式。圆锥的体积=底面积×高×13用字母表示:V=13Sh圆柱的上、下两个底面完全相同,侧面是一个曲面。易错举例:错例:判断:下面的图形是圆柱。 ()错误原因:图中上、下两个底面的大小不同。正确答案:✕温馨提示:圆柱有无数条高。特别提示:从正面看圆锥是一个三角形,圆锥的侧面展开图是一个扇形。温馨提示:圆锥只有一条高。易错举例:错例:判断:圆柱同圆锥一样,也有无数条高。 (√)正确答案:✕特别提示:当圆柱的底面周长与高相等时,沿着侧面上的一条高剪开,得到的圆柱的侧面展开图是一个正方形。反之,当圆柱的侧面展开图是一个正方形时,圆柱的底面周长与高相等。友情提示:在利用公式计算时,如果单位不统一,要先统一单位,再列式计算。方法提示:求“至少”需要多少平方厘米的铁皮,意思是求理论上的用料,接头处的损耗可以忽略不计。温馨提示:圆柱侧面积和表面积的单位都是面积单位,不要与长度单位混淆!易错易混:应用圆柱的表面积公式解决实际问题时,要根据实际情况进行计算,有时只计算侧面积+一个底面积,如做一个无盖的圆柱形水桶。已知圆柱的底面积和高求圆柱的体积,利用公式:V=Sh计算;已知圆柱的底面半径和高求圆柱的体积,利用公式:V=πr2h计算;已知圆柱的底面直径和高求圆柱的体积,利用公式:V=π(𝑑2)2h计算;已知圆柱的底面周长和高求圆柱的体积,利用公式:V=π(𝐶2π)2h计算。易错易混:计算体积的结果的单位名称应该用体积单位,避免与长度单位和面积单位混淆。计算圆柱形容器容积的计算方法和计算圆柱体积的计算方法相同,但是意义不同。计量体积用体积单位,计量容积一般用容积单位升或毫升。注意体积单位与容积单位之间的换算。易错举例:错例:圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 (√)正确答案:✕五啤酒生产中的数学——比例一、比例1.比例的意义:表示两个比相等的式子叫作比例。2.各部分名称。①项:组成比例的四个数,叫作比例的项。②外项:两端的两项叫作比例的外项。③内项:中间的两项叫作比例的内项。3.比和比例的区别与联系:①比表示两个量相除,它有两项;比例表示两个比相等,它有四项。②比有基本性质,是化简比的依据;比例也有基本性质,它是解比例的依据。二、比例的基本性质1.比例的基本性质。在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。例如:40∶2=60∶340×3=60×22.解比例。(1)求比例中的未知项,叫作解比例。(2)解比例的方法:解比例时先根据比例的基本性质把“比例式”改写成“等积式”(即方程的形式),再通过解方程求出未知项的值。三、正比例1.成正比例的量:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随之变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们之间的关系叫作正比例关系。用字母表示:𝑦𝑥=k(一定)2.判断方法。先看这两种量是否相关联,再看这两种量的比值是否一定,如果一定,那么成正比例,否则不成。3.正比例的图像。正比例的图像是一条直线。绘制图像时,先描点,再连线。四、反比例1.成反比例的量。两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随之变化,如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系。用字母表示:x×y=k(一定)2.判断方法。先看这两种量是否相关联,再看这两种量的乘积是否一定,如果一定,成反比例,否则不成。五、比例的应用1.根据题目中的不变的量找出两种相关联的量。2.判断这两种相关联的量成什么比例关系。3.根据正、反比例的关系式列出相应的比例式。4.解出比例,检验作答。判断两个比能否组成比例,关键是看这两个比的比值是否相等。特别提示:比例也可以写成分数形式,例如:16∶2=32∶4,也可以写成162=324。易错举例:错例:判断:8∶2=4是比例。 (√)正确答案:×识错技巧:一个比例中一定有两个外项和两个内项。巧解:判断两个比能否组成比例的方法。(1)根据比例的意义求比值来判断。(2)根据比例的基本性质,先假设两个比能组成比例,再验证两个内项积是否等于两个外项积。小技巧:判断四个数能否组成比例,可以判断最大数与最小数的乘积是否等于其余两个数的乘积。相等则成比例,不相等则不成比例。易错举例:错例:判断:正方形的面积和边长成正比例。 (√)正确答案:✕易错分析:正方形的面积是两个相关联的量,但是正方形的面积边长=边长,而边长不是定值,所以正方形的面积与边长不成正比例。易错举例:错例:判断:六(1)班学生出勤人数与缺勤人数成反比例。 (√)正确答案:✕易错分析:出勤人数与缺勤人数是两种相关联的量,其中一种量随着另一种量的变化而变化,但是这两种量的和一定,而不是乘积一定。六快乐足球——比例尺一、比例尺1.比例尺的意义。(1)一幅图的图上距离和实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。(2)图上距离∶实际距离=比例尺或图上距离实际距离=比例尺2.比例尺的分类。(1)按表现形式分。比例尺(2)根据情况将实际距离放大还是缩小分。比例尺放大比例尺缩小比例尺3.求比例尺的方法。先写出图上距离和实际距离的比,再化简。二、求实际距离方法一:根据“图上距离实际距离=比例尺”列方程求解。方法二:根据“图上距离∶实际距离=比例尺”推出“实际距离=图上距离÷比例尺”列除法算式求解。方法三:根据图上距离和实际距离的倍比关系列乘法算式求解。三、求图上距离方法一:根据“图上距离实际距离=比例尺”列方程求解。方法二:根据“实际距离×比例尺=图上距离”直接列乘法算式求解。四、平面图形的放大与缩小1.意义:保持图形的形状不变,使图形变大或变小。2.方法:(1)看原图每边各占几格。(2)计算出按给定的比将图形的各边放大或缩小后的新图形的每边各占几格。(3)按计算出的边长画出原图放大或缩小的图形。特别提示:比例尺实质上是一个比,它表示图上距离和实际距离之间的倍比关系,因此不能带计量单位。注意:放大比例尺的后项一般是“1”,如100∶1;而缩小比例尺的前项一般是“1”,如1∶1000。易错易混:图上距离一般用“厘米”作单位,实际距离一般用“米”或“千米”作单位,在计算时注意要先统一单位。温馨提示:根据“图上距离÷比例尺”求实际距离或根据“实际距离×比例尺”求图上距离时,要把比例尺写成分数形式。易错易混:列方程求图上距离或实际距离,需要注意的是设未知数时,单位名称要统一。一个图形按一定的比放大或缩小后,形状相同,大小不同。巧记图形放大或缩小的方法:一看,二算,三画。七奥运奖牌——扇形统计图一、扇形统计图的认识1.扇形统计图的意义。用整个圆表示总数,用圆内大小不同的扇形表示各部分占总数的百分比。2.扇形统计图的特点。扇形统计图可以清楚直观地看出部分占整体的百分比。3.根据扇形统计图的信息解决实际问题。二、统计图的选择1.根据问题所要描述的具体情况进行选择。2.选择方法。(1)要清楚地表示出每个项目的具体数量,选用条形统计图;(2)要清楚地反映出事物的变化情况,选用折线统计图;(3)要清楚地表示出各部分在总数中所占的百分比,选用扇形统计图。扇形统计图的制作步骤:1.计算出各部分量占总数量的百分比。2.计算出各扇形圆心角的度数。3.画出圆和大小不同的扇形。4.标明各部分的名称及百分数。5.标明统计图的名称和制图日期。特别提示:每种统计图都有各自的优势,要充分利用它们的特点,达到合理选择和运用的目的。1数与代数(1)一、我们学过的数1.整数(1)整数的范围:整数包括自然数和负整数,或者说整数由正整数、0和负整数组成。(2)整数的意义:像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。2.自然数(1)自然数的意义:像0和1、2、3、4、5、6、7、8……这些用来表示物体个数的数都是自然数。(2)自然数的基本单位:任何一个非零自然数都是由若干个1组成的,1是自然数的基本单位。(3)自然数有“基数”“序数”两种意义。3.正数和负数。(1)正数的定义:像+4、40、+8844.43……这样的数叫作正数。(2)负数的定义:像-4、-14、-392、-155……这样的数叫作负数,“-”叫负号。4.分数。(1)分数的意义:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份或者几份的数,叫作分数。(2)分数单位:把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数,叫作这个分数的分数单位。(3)分数的分类真分数分子比分母小的分数叫作真分数。假分数分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。(带分数是假分数的另一种表现形式)5.百分数。百分数表示一个数是另一个数的百分之几,百分数也叫百分率或百分比。百分数通常用百分号“%”表示,例如:54%。6.小数。(1)小数的意义:像0.7、0.45、0.025、0.107……这样用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数,叫作小数。(2)小数的分类。有限小数小数部分的位数是有限的小数叫作有限小数。无限小数小数部分的位数是无限的小数叫作无限小数。无限小数又可以分为无限不循环小数和循环小数两类。循环小数一个无限小数,从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫作循环小数。循环节一个循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字,叫作这个循环小数的循环节。循环小数的简便记法写循环小数的时候,为了简便,一般只写出它的第一个循环节,如果循环节只有一位数字,就在这个数字上点一个圆点。如果循环节有一位以上的数字,就在循环节的首位和末尾数字上各点一个小圆点。二、数与数之间的联系1.整数可以看作分母是1的分数。2.小数可以看作分母是10、100、1000……的分数。3.百分数是一种特殊的分数。三、数的性质1.分数的基本性质。(1)分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。(2)分数的基本性质是通分和约分的依据。2.小数的性质。(1)小数的性质:小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。(2)小数的性质与分数的基本性质的关系:小数的性质与分数的基本性质是一致的。四、数的大小比较1.整数大小的比较。比较两个整数的大小时,位数多的数比较大;位数相同的,要从高位依次看相同数位上的数字,最高位上数字大的那个数就大,如果最高位上的数字相同,就比较下一位……以此类推,直到比出大小为止。2.小数大小的比较。比较两个小数的大小,先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……依此类推,直到比较出大小为止。3.分数的大小比较。(1)分母相同的两个分数,分子大的分数比较大,分子小的分数比较小;分子相同的两个分数,分母小的分数比较大,分母大的分数比较小。(2)分子、分母都不相同的两个分数,先通分,化成分母相同的分数再比较。(3)整数部分相同的带分数,分数部分大的就大;整数部分不同的带分数,整数部分大的就大。五、数的改写1.把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数的方法:(1)把较大的数改写成用“万”作单位的数,先找到万位,在万位的右下角点上小数点,同时在数的后面加写“万”字。(2)把较大的数改写成用“亿”作单位的数,先找到亿位,在亿位的右下角点上小数点,同时在数的后面加写“亿”字。2.把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数和省略某一位后面的尾数的方法:结果得到精确值得到近似值与原数的关系与原数相等,用“=”连接与原数近似相等,用“≈”连接相同点都是改变原数的计数单位,根据要求用“亿”或“万”作单位3.数的省略。(1)省略万位后面的尾数求近似数的方法:先找到万位,再把千位上的数四舍五入,同时在后面加写“万”字。(2)省略亿位后面的尾数求近似数的方法:先找到亿位,再把千万位上的数四舍五入,同时在后面加写“亿”字。(3)“四舍五入法”:求一个数的近似数,要看所省略的尾数的左起第一位上的数是不是满“5”,如果不满“5”,就把尾数都舍去;如果满“5”,把尾数舍去后,要在它的前一位上加“1”,这种求近似数的方法叫作“四舍五入法”。(4)求小数的近似数。求一个小数的近似数,通常用“四舍五入法”。六、因数、倍数;质数、合数;奇数、偶数1.因数、倍数的意义。(1)因数和倍数的关系①两个非零自然数相乘,两个因数都是积的因数,而积是两个因数的倍数。例如:4×9=36,我们就说4和9都是36的因数,36是4和9的倍数。②在整除的算式中:商和除数都是被除数的因数,被除数是商和除数的倍数。例如:6÷2=3,我们就说2和3都是6的因数,6是2和3的倍数。(2)0的特殊性。在自然数中,0乘任何一个数都得0,所以0是任何一个非零自然数的倍数,任何非零自然数都是0的因数。(3)因数和倍数的特征。一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。一个非0的自然数,既是它本身的倍数,又是它本身的因数。1是所有非零自然数的因数,所有非零自然数都是1的倍数。2.2、3、5的倍数特征。(1)2的倍数特征:个位上是0,2,4,6,8的数,都是2的倍数。如36、48,因为36的个位上是6,所以36是2的倍数;因为48的个位上是8,所以48是2的倍数。(2)5的倍数特征:个位上是0或5的数,都是5的倍数。如135,因为135的个位上是5,所以135是5的倍数。(3)3的倍数特征:一个数,如果各个数位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。如102,因为1+0+2=3,3÷3=1,所以102是3的倍数。(4)既是2的倍数,又是5的倍数特征:个位上是0的数,既是2的倍数,又是5的倍数。3.偶数和奇数。自然数按能否被2整除可分为偶数和奇数。(1)偶数:能被2整除的数,叫作偶数。如0、2、4、6、8、10……都是偶数。(2)奇数:不能被2整除的数,叫作奇数。如1、3、5、7、9……都是奇数。4.质数和合数。(1)非零自然数按因数个数的多少可分为质数和合数。(2)质因数、分解质因数。①质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数叫作这个合数的质因数。如6=2×3(2和3是6的质因数),28=2×2×7(2和7是28的质因数),30=2×3×5(2、3、5是30的质因数)。②分解质因数把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。③通常采用短除法分解质因数分解质因数时先书写短除符号“∟”,再把要分解的合数写在短除符号里,最后用能整除这个合数的质数去除,通常从最小的质数开始试除。如果商是合数,继续往下除,直到除得的商是质数为止,最后把各除数和最后的商写成连乘的形式。例如:把42分解质因数。5.公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数。(1)公因数和最大公因数的意义。①几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。如12和18的公因数有1,2,3,6。②几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。如12和18的最大公因数是6。③只有公因数1的两个数叫作互质数。如5和7是互质数;7和9是互质数;8和9是互质数。(2)求两个数的最大公因数的方法。①短除法一般先用这两个数公有的质数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,再把所有的除数连乘起来。②分解质因数法(3)公倍数和最小公倍数的意义。①几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。如90、180、270……都是12和18的公倍数。②几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍③几个数的公倍数的个数是无限的,没有最大的公倍数。④求两个数的最小公倍数常用的方法有两种:a:短除法;b:分解质因数法。如求18和30的最小公倍数。方法一:短除法用短除法求两个数的最小公倍数,先用这两个数公有的质因数连续去除(一般从最小的开始),一直除到所得的商是互质数为止,再把所有的除数和最后的商连乘起来。18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90。方法二:分解质因数法18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90。特殊情况下求两个数的最大公因数和最小公倍数:①两个数是倍数关系时,最大公因数是较小数,最小公倍数是较大数;如6和12的最大公因数是6;6和12的最小公倍数是12。②两个数是互质数时,最大公因数是1,最小公倍数是这两个数的积。如5和7的最大公因数是1;5和7的最小公倍数是5×7=35。整数的个数是无限的。没有最小的整数,也没有最大的整数。自然数是整数的一部分。“0”的含义:0是最小的自然数,它通常表示一个物体也没有,在计数中起占位作用,表示这个数位上没有计数单位。“0”也表示起点、分界点等。整数与自然数的联系与区别:自然数都是整数,整数不都是自然数,整数还包括负整数。温馨提示:小数还可以按它的整数部分是否是0分为纯小数和带小数。整数部分是0的小数叫作纯小数;整数部分不是0的小数叫作带小数。循环节从小数点右面第一位开始循环的,叫纯循环小数;循环节不是从小数点右面第一位开始循环的,叫混循环小数。分子、分母是互质数的分数叫作最简分数。小数的基本性质和分数的基本性质是一致的。0.7=0.70=0.700↓↓↓ 710= 70100=7001000温馨提示:比较不同类型的数的大小,通常化为相同类型的数之后再作比较。方法技巧:在比较小数、分数和百分数的大小时,通常把分数和百分数化为小数,把小数的相同数位的数依次比较大小,按最后的排序结果排列原数。特别注意:①改写后小数末尾的“0”应去掉。②遇到有单位名称时,还要写上单位名称。③改写后,如果小数位数比较多,可以根据需要保留前几位小数。④改写用“=”,保留用“≈”。改写整数省略尾数方法把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数,先把原数的小数点向左移动4位或8位(若小数部分末尾有0要画掉),再在数的后面加写“万”或“亿”字。先用“四舍”或“五入”法省略指定数位后面的尾数,再在后面加写相应的计数单位如“万”字或“亿”字温馨提示:改写与省略的区别:改写是求精确值,省略是用“四舍五入法”求近似值。方法技巧:保留整数,表示精确到个位,先找到个位,再把十分位上的数四舍五入;保留一位小数,表示精确到十分位,先找到十分位,再把百分位上的数四舍五入;保留两位小数,表示精确到百分位,先找到百分位,再把千分位上的数四舍五入;保留三位小数,表示精确到千分位,先找到千分位,再把万分位上的数四舍五入……依此类推。特别提示:因数和倍数是相互依存的,不能单独说某个数是因数,也不能单独说某个数是倍数。温馨提示:在研究因数和倍数时,我们所说的数,一般是指不包括0的自然数,也就是说在非零自然数的范围内探索因数和倍数。4的倍数特征:一个数的末两位数是4的倍数,这个数就是4的倍数。9的倍数特征:一个数,如果各个数位上的数字之和是9的倍数,这个数就是9的倍数。温馨提示:最小的偶数是0,最小的奇数是1,没有最大的偶数,也没有最大的奇数。特别提示:最小的质数是2,最小的合数是4,没有最大的质数,也没有最大的合数。除了0和2以外,所有的偶数都是合数,2是唯一的偶质数。易错举例:错例:判断:自然数可以分为质数与合数。 (√)错因分析:这种分类方法漏掉了1,1既不是质数也不是合数。正确答案:✕100以内的质数有25个,它们是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。易错提示:用短除法分解质因数,要保证每一步的除数必须是质数,最后得出的商也是质数。温馨提示:用短除法求两个数的最大公因数时不要把商乘进去,因为商表示每个数独有的因数。数。如12和18的最小公倍数是36。特别提醒:分解质因数法求最大公因数,就是把公有的质因数相乘;求最小公倍数就是把所有的质因数(公有的只乘一次)相乘。2数与代数（2）一、运算的意义1.整数四则运算。(1)整数加法:把两个数合并成一个数的运算叫作加法。(2)整数减法:已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫作减法。例如:18-6表示已知两个因数的和是18,其中的一个加数是6,求另一个加数。(3)整数乘法:求几个相同加数的和的简便运算叫作乘法。在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫作因数。相同加数的和叫作积。(4)整数除法:已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫作除法。乘法和除法互为逆运算。在除法里,0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。2.小数四则运算。(1)小数加法:小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。(2)小数减法:小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。(3)小数乘法。①小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同。就是求几个相同加数和的简便运算。②一个数乘小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。(4)小数除法。小数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。3.分数四则运算。(1)分数加法:分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。(2)分数减法:分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。(3)分数乘法:分数乘法的意义与整数乘法的意义相同。就是求几个相同加数和的简便运算。一个数乘分数的意义:表示求这个数的几分之几是多少。例如:15×13,表示15的13是多少。(4)分数除法。分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。二、整数、小数、分数的加减运算1.整数加减法。(1)加法:相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。(2)减法:相同数位对齐,从低位减起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。2.小数加减法。计算小数加减法时,先把小数点对齐(也就是相同数位对齐),再按照整数加减法的法则进行计算,最后在得数里对齐横线上的小数点,点上小数点。如果被减数的小数末尾位数不够,可以添“0”再减。3.分数加减法。(1)同分母分数相加减,只把(分子)相加减,(分母)不变。(2)异分母分数相加减,先(通分),再按照同分母分数加减法的计算法则进行计算。三、整数、小数、分数的乘除运算1.整数乘除法计算法则。(1)乘法:先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就和那一位对齐,乘得的数满几十就向前一位进几,再把各次乘得的数加起来。(2)除法:先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位;如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在那一位的上面。如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。2.小数乘除法法则。(1)乘法:先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点,如果位数不够,就用“0”补足。(2)除数是整数的小数除法:先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐,如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。(3)除数是小数的除法:先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补“0”),再按照除数是整数的除法法则进行计算。3.分数乘法的计算法则。(1)乘法:①分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。四、运算律五、数的运算性质1.商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外),商不变,叫作商不变的性质。2.减法的性质。从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变。①用字母表示:a-b-c=a-(b+c)例如:10-2.3-7.7=10-(2.3+7.7)=10-10=0②a-b-c=a-(b+c),可以反过来用a-(b+c)=a-b-c计算。例如:15.6-(5.6+3.8)=15.6-5.6-3.8=10-3.8=6.23.除法的性质。(1)一个数连续除以几个数,可以用这个数除以所有除数的积,结果不变。用字母表示:a÷b÷c=a÷(b×c)例如:32.5÷4÷2.5=32.5÷(4×2.5)=32.5÷10=3.25(2)a÷b÷c=a÷(b×c),可以反回来用a÷(b×c)=a÷b÷c计算。例如:18.3÷(1.83×50)=18.3÷1.83÷50=10÷50=0.2小贴士:在乘法里,0和任何数相乘都得0。1和任何数相乘都得任何数。特别提示:验算时,可以根据加法与减法、乘法与除法互为逆运算的关系,相互验算。加减乘除各部分之间的关系:①加法:加数+加数=和一个加数=和-另一个加数②减法:被减数-减数=差被减数=差+减数减数=被减数-差③乘法:一个因数×另一个因数=积一个因数=积÷另一个因数④除法:被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数验算方法:1.加法:①用加法验算:调换两个加数的位置再加一遍;②用减法验算:和减去一个加数等于另一个加数。2.减法:①用加法验算:差+减数=被减数;②用减法验算:被减数-差=减数。3.乘法:①用乘法验算:调换两个因数的位置再乘一遍;②用除法验算:积÷一个因数=另一个因数。4.除法:①用乘法验算:商×除数=被除数,商×除数+余数=被除数;②用除法验算:被除数÷商=除数,(被除数-余数)÷商=除数。巧记整数、小数和分数加减法的相同点,就是把相同计数单位的数相加或相减。易错举例:错例:32÷5=5……7错因分析:有余数的除法,余数应该小于除数。正确答案:32÷5=6……2易错易混:计算小数乘法时,漏点小数点或点错小数点位置。举例:0.8×0.1=0.8正解:0.8×0.1=0.08②分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。(2)除法:除以一个数(0除外),等于乘这个数的倒数。温馨提示:倒数:乘积是1的两个数互为倒数。运用分配律小技巧举例:7.65×32+7.65×67+7.65=7.65×(32+67+1)=7.65×100=765易错举例:错例1:23÷34=23×34=12错例2:23÷34=32×34=98正确答案:23÷34=23×43=89小技巧:混合运算中包含分数、小数和百分数时,计算时一般先把它们统一成一种形式。分数能化成有限小数时,可以把分数化成小数再计算;当分数不能化成有限小数时,也可以把小数化成分数再计算。3数与代数（3）一、计量单位及进率1.质量。(1)常用的质量单位有吨(t)、千克(kg)、克(g)。(2)每相邻两个质量单位间的进率是1000。1吨=1000千克1千克=1000克即1t=1000kg1kg=1000g2.人民币单位。(1)常用的人民币单位有元、角、分。(2)1元=10角1角=10分3.时间单位。(1)常用的时间单位有世纪、年、月、日、时、分、秒。(2)它们之间的进率关系如下:4.长度单位。(1)常用的长度单位:千米、米、分米、厘米、毫米。(2)它们之间的进率关系如下:5.面积单位。(1)常用的面积单位有平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。(2)面积单位间的进率:每相邻两个面积单位间的进率是100。相邻面积单位间的进率1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米6.体积单位。(1)常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。(2)它们之间的进率关系如下:7.容积单位。(1)常用的容积单位有升和毫升。(2)进率:1升=1000毫升二、计量单位之间的换算高级单位换算成低级单位,乘进率;低级单位换算成高级单位,除以进率。温馨提示:不同单位进行换算时,要按照相应的进率变化。平年、闰年的判断方法:公历年份是4的倍数的一般是闰年,但公历年份是整百数的,必须是400的倍数才是闰年。例如:1900年是平年,2000年是闰年。易错易混:时、分、秒之间的进率是60,在换算时易出现错误。错例:3.25小时=(3)小时(25)分正确答案:3.25时=(3)时(15)分易错易混:计量体积用体积单位,计量容积一般用容积单位(升或毫升)。注意体积单位与容积单位的换算。计量的结果要用数来表示,并且还要带上单位名称,通常把它们合起来叫作名数。只带一个单位名称的叫单名数,例如:1米、30天等;带有两个或两个以上单位名称的叫作复名数。例如:3吨50千克,1米8厘米等。4数与代数（4）一、比和比例1.比。(1)比的意义:两个数相除又叫两个数的比。(2)比值:比的前项除以后项所得的商叫作比值。(3)比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外),比值不变。2.比例。(1)比例的意义:表示两个比相等的式子。(2)比例的基本性质:在比例里,两个内项的积等于两个外项的积。(3)解比例:求比例中的未知项,叫作解比例。依据比例的基本性质,先把比例转化成方程,再解方程。二、比和分数、除法的关系名称联系区别比前项∶(比号)后项比值表示两个数的倍比关系分数分子-(分数线)分母分数值一个数除法被除数÷(除号)除数商一种运算三、求比值和化简比意义方法结果求比值前项除以后项所得的商用前项除以后项一个数(整数、小数或分数)化简比把两个数的比化成最简单的整数比可以根据比的基本性质;也可以利用求比值的方法,得出最简整数比一个比(带比号或分数形式)四、比例尺1.比例尺的意义:图上距离和实际距离的比叫作比例尺。图上距离∶实际距离=比例尺或图上距离实际距离=比例尺2.比例尺的分类:数值比例尺和线段比例尺,数值比例尺和线段比例尺可以互相转化。3.求图上距离或实际距离(1)图上距离=实际距离×比例尺(2)实际距离=图上距离÷比例尺(3)根据图上距离实际距离=比例尺,列方程解答。五、正比例和反比例1.正比例:两种相关联的量的比值一定。(1)关系式:𝑦𝑥=k(一定)(2)正比例的图像:正比例的图像是一条直线。绘制图像时,先描点,再连线。2.反比例:两种相关联的量的乘积一定。关系式:xy=k(一定)六、比例的应用1.按比例分配问题的解法。①一般法:把比转化成分数,用分数方法解答。即先求出总份数,再求出各部分量占总量的几分之几,最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法,分别求出各部分量。②归一法:把比看作各部分的份数,先求出总份数,再用总量÷总份数=平均每份的量(归一),最后用平均每份的量×各部分量所对应的份数,求出各部分量。③用比例知识解答:首先设未知量为x,然后以题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系,列出比例,最后解比例求解即可。2.用正、反比例解应用题。(1)解题关键正确判断正、反比例是解答比例应用题的关键。比和比例的区别:①意义、项数、各部分名称不同。比表示两个数相除,只有两个项:比的前项和后项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四个项:两个外项和两个内项。②比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。易错易混:求比值的结果是一个数值,化简比的结果是一个比的形式,两者不可混淆。错例:化简比:12∶6=2正确答案:12∶6=2∶1易错易混:图上距离一般用“厘米”作单位,实际距离一般用“米”或“千米”作单位,在计算时注意要先统一单位。正比例、反比例的判断方法:一找、二看、三判断。(1)找变量:分析数量关系,确定哪两种量是相关联的量。(2)看定量:分析这两种相关联的量,看它们之间的关系是商一定还是积一定。(3)判断:如果是商一定,就成正比例;如果是积一定,就成反比例;如果商或积都不是定量,就不成比例。正比例和反比例的区别:(1)意义不同:正比例是两种量中相对应的两个数的比值一定,也就是商一定;反比例是两种量中相对应的两个数的积一定。(2)变化方向不同:正比例是一种量扩大(或缩小),另一种量也随着扩大(或缩小);反比例是一种量扩大(或缩小),另一种量反而缩小(或扩大)。(2)解题步骤。①分析数量关系,判断成什么比例。②找等量关系:如果是成正比例,就按“等比”找等量关系;如果是成反比例,就按“等积”找等量关系。③列比例。设未知数为x,并代入等量关系式。④解比例。⑤检验并作答。1.5数与代数一、用字母表示数1.用字母或含字母的式子可以表示数(整数、分数、小数和百分数),也可以简明地表示数量关系和运算律以及公式等。2.用字母表示数量关系。如S=vt3.用字母表示运算律。如加法交换律:a+b=b+a4.用字母表示计算公式。如正方形的周长:C=4a二、等式与方程1.等式:表示相等关系的式子。2.方程:含有未知数的等式叫作方程。3.等式与方程的关系:所有的方程都是等式,等式不一定都是方程。4.方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫作方程的解。5.解方程:求方程的解的过程叫作解方程。三、列方程解应用题的步骤1.审题。弄清题意,找出未知数并用x表示,也可以间接设某个数量为x,再通过这个量去求未知数。2.找出题目中数量间的相等关系,并根据相等关系列出方程。3.解方程,求出未知数的值。4.检验并作答。等式的性质1:等式的两边同时加上(或减去)同一个数,等式两边仍然相等。等式的性质2:等式的两边同时乘(或除以)同一个不为0的数,等式两边仍然相等。一、线段、射线、直线1.线段、射线、直线的定义。(1)线段:直线上两点和它们之间的部分叫作线段。(2)射线:把线段向一个方向无限延长就形成了射线。(3)直线:将线段向两个方向无限延长就可以得到一条直线。2.线段、射线、直线的表示方法。(1)线段的表示方法有两种:一是用两个端点来表示,二是用一个小写的英文字母来表示。(2)射线的表示方法只有一种:用端点和射线上的另一个点来表示,端点要写在前面。(3)直线的表示方法有两种:一是用直线上的两个点来表示,二是用一个小写的英文字母来表示。3.直线性质:过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。4.线段的比较。(1)叠合比较法;(2)度量比较法。5.线段性质:“两点之间,线段最短”。连接两点的线段的长度,叫作这两点间的距离。6.线段的中点:如果线段上有一点,把线段分成相等的两条线段,这个点叫这条线段的中点。若点C是线段AB的中点,则AC=BC=12AB或AB=2AC=2BC。二、平行与垂直1.平行线的定义。(1)在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线。(2)平行线用“∥”来表示。2.画已知直线的平行线的方法:用直尺和三角板画平行线。3.垂直的概念。(1)如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。(2)两条线段互相垂直指它们所在的直线互相垂直。(3)两条直线垂直用“⊥”来表示,如直线AB与直线CD垂直,记作:AB⊥BC。4.垂直线段的概念。(1)过一点A画直线a的垂线,垂足为B,则线段AB叫直线a的垂直线段。(2)直线外一点A到直线a的垂直线段长度叫点A到直线a的距离。三、角的认识1.角的概念。(1)角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边,共同的端点叫角的顶点。(2)角还可以看成是一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。2.角的表示方法。角用“∠”符号表示。(1)分别用两条边上的两个点和顶点来表示(顶点必须在中间)。(2)在角的内部写上阿拉伯数字,然后用这个阿拉伯数字来表示角。(3)在角的内部写上小写的希腊字母,然后用这个希腊字母来表示角。(4)直接用一个大写英文字母来表示。3.角的度量:会用量角器来度量角的大小。4.锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小。(1)平角:角的两条边成一条直线时,这个角叫平角。(2)周角:角的一边旋转一周,与另一边重合时,这个角叫周角。(3)0°<锐角<90°,1直角=90°,90°<钝角<180°,1平角=180°,1周角=360°。四、三角形1.三角形的定义:由三条线段首尾顺次连接围成的图形叫三角形。2.三角形各部分的名称:围成三角形的三条线段叫作三角形的边;每两条边的交点叫作三角形的顶点;每两条边所形成的角叫作三角形的内角。一个三角形有三条边,三个顶点和三个内角。从三角形的一个顶点向对边做一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。一个三角形有三条高。3.三角形的分类。(1)按角分。名称锐角三角形直角三角形钝角三角形图形特征三个角都是锐角有一个角是直角有一个角是钝角(2)按边分。名称不等边三角形等腰三角形图形特征三条边都不相等有两条边相等三条边都相等(3)等边三角形是特殊的等腰三角形,它们之间的关系如图所示。4.三角形的特殊性质:三角形具有稳定性。5.三角形的内角和:三角形的内角和是180°。6.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边。五、四边形1.四边形的定义:由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形叫四边形。2.四边形的分类及特点。名称图形特点名称图形特点两组对边分别平行且相等,四个角都是直角平行四边形两组对边分别平行且相等,对角相等四条边都相等,四个角都是直角梯形只有一组对边平行且不相等3.梯形的两种特殊形式及特点。(1)等腰梯形:两腰相等。(2)直角梯形:有两个角是直角,一条腰与两条底边垂直。4.四边形的分类。六、圆1.圆:圆是一种封闭的曲线图形。(1)圆的各部分的名称圆中心的一点叫作圆心,圆心一般用字母O表示;圆心到圆上任意一点的线段叫作半径,半径用字母r表示;通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径,直径用字母d表示。(2)特征。①在同圆或等圆中,d=2r或r=𝑑2。②圆是轴对称图形,圆的直径所在的直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴。2.圆环(如右图)。七、立体图形的认识1.常见的立体图形有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球。2.长方体和正方体的特征。(1)长方体的特征。①长方体有6个面,12条棱,8个顶点。②6个面一般都是长方形,特殊情况下可能有两个相对的面是正方形,相对的面的面积完全相等。③棱长相对的棱的长度相等,长方体的棱长总和=4×(长+宽+高)(2)正方体的特征。①正方体有6个面,12条棱,8个顶点。②6个面都是完全相同的正方形,6个面的面积都相等。③棱长12条棱的长度都相等,正方体的棱长总和=12×棱长(3)长、宽、高的意义。相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。3.圆柱和圆锥的特征。名称图形特征从不同方向看到的图形圆柱1.圆柱有3个面,上、下两个底面是大小相等的圆,侧面是曲面2.圆柱两个底面之间的距离叫作圆柱的高,圆柱有无数条高3.圆柱的侧面沿高展开后是长方形或者正方形4.以长方形或正方形的一边为轴旋转一周形成圆柱1.从上面或下面看,会看到一个圆2.从侧面看会看到一个长方形或者正方形圆锥1.圆锥有2个面,它的底面是圆,侧面是曲面2.圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高,圆锥只有一条高3.以三角形的一条直角边为轴旋转一周形成圆锥1.从上面看,会看到一个点2.从下面看会看到一个圆3.从侧面看会看到一个三角形八、平面图形和立体图形的有关知识名称特征计算公式长方形对边相等,四个角都是直角C=2(a+b)S=ab正方形四条边都相等,四个角都是直角C=4aS=a2梯形上底和下底互相平行,有四个角S=(a+b)h÷2平行四边形对边平行且相等,有四个角且对角相等S=ah圆所有的半径都相等,直径都相等C=πdS=πr2长方体6个面,8个顶点,12条棱,对面相等S表=2(ab+ah+bh)V=abh正方体6个面,8个顶点,12条棱,6个面都相等S表=6a2V=a3圆柱有3个面,上、下两个底面是大小相等的圆,侧面是曲面S侧=ChV=Sh圆锥有2个面,一个底面是圆,一个侧面是曲面V=13Sh九、平面图形面积公式的推导十、立体图形体积公式的推导温馨提示:线段有两个端点,线段可以量出长度。射线有一个端点,射线无法量出长度。直线没有端点,直线无法量出长度。易错举例:错例:判断:直线比射线长。()错误分析:直线没有端点,无法量出长度;射线有一个端点,也无法量出长度。因此两者不能比较,故本题说法错误。正确答案:✕温馨提示:强调要在同一平面内,若不在同一平面内的两条直线,既不平行,又不相交,叫异面直线。小贴士:线段、射线的平行关系根据它所在的直线来确定,若它们所在的直线不相交,就平行;若所在的直线相交,就不平行。特别提示:角的大小与两边的长短无关,与两边叉开的大小有关。易错举例:错例:判断:角的两边越长,角的度数越大。 (√)正确答案:✕温馨提示:任意三角形都有三条高,锐角三角形的三条高都在三角形内部;钝角三角形有一条高在三角形内部,另外两条高在三角形的外部;直角三角形的一条高在三角形内部,另外两条高是三角形的两条边。易错举例:错例:判断:三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形。 (√)错误分析:三角形的分类有两种,一是按角分,一是按边分,分类的标准不能混淆。正确答案:✕小贴士:长方形是轴对称图形,它有2条对称轴;正方形是轴对称图形,它有4条对称轴;等腰梯形是轴对称图形,它有1条对称轴。平行四边形不是轴对称图形。温馨提示:正方形是特殊的长方形;正方形和长方形都是特殊的平行四边形;等腰梯形和直角梯形都是特殊的梯形。小贴士:圆心到圆上任意一点的距离都相等;圆有无数条直径和半径。圆的周长与直径的比叫作圆周率,圆周率用“π”来表示。圆周率是一个无限不循环小数,π的值是3.141592652……,在计算时,一般保留两位小数,取它的近似值,即π≈3.14。易错举例:错例:判断:直径等于半径的2倍。 (√)错误分析:在同圆或等圆中,直径等于半径的2倍。正确答案:✕温馨提示:从不同方向看长方体,一般都会看到长方形,特殊情况下是正方形。从不同方向看正方体,都会看到一个正方形。小贴士:正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体。立体图形的表面积:一个立体图形所有面的面积的总和,叫作这个图形的表面积。易错举例:错例:判断:圆柱的体积等于圆锥体积的3倍。 (√)错误分析:由圆锥的体积公式推导过程可知,圆柱的体积等于与之等底等高的圆锥体积的3倍。正确答案:✕平面图形与立体图形的关系是密不可分的,点动成线、线动成面、面动成体。体积的意义:物体所占空间的大小叫作物体的体积。计量物体的体积要用体积单位。常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。温馨提示:一个容器所能容纳的物体的体积,叫作这个容器的容积。计量液体的体积常用容积单位。常用的容积单位有升和毫升。升用字母“L”表示,毫升用字母“mL”表示。小贴士:长方体、正方体、圆柱的体积都可以用“底面积×高”来计算。如果一个图形沿着一条直线对折,折痕两旁的图形能够完全重合,这个图形叫作轴对称图形,折痕所在的直线叫作对称轴。2.2图形与几何（2）一、图形与变换1.轴对称图形的画法:画轴对称图形的另一半时,先根据轴对称图形的特点(即各对称点到对称轴的距离相等)确定各个对称点的位置,再依次连接各点。2.旋转与平移。(1)旋转的三要素:一是围绕旋转的点,即旋转中心;二是旋转的方向,包括顺时针方向和逆时针方向;三是旋转的角度。(2)平移的两个要素:一是移动的方向,二是移动的距离。3.图形的放大与缩小。画法:先按一定的比例计算出放大或缩小后对应的各边的长度,再按新边长画出原图的放大或缩小的图形。二、图形与位置1.方向与距离这两个条件结合起来就能精确地确定平面内物体的位置。方法步骤:①以观测点为中心,画一个平面直角坐标系,分别标出东、南、西、北四个方位词,即画出方向标。②把观测点和目标点连起来,这样就形成了一个角,然后测量出这个角与正北或正南或正东或正西的夹角的度数。③测量出观测点到目标点的长度。④根据以上数据就可以精确地描述出它们之间的位置关系了。2.用数对描述物体的位置。数对由两个数组成,在表述时,应先表示列数,再表示行数,前后的顺序是不能颠倒的。3.路线图。(1)描述路线图:根据方向标弄清路线图的方向;根据比例尺和测得的图上距离求出相应的实际距离;弄清图中物体从哪儿按什么方向走,走多远。(2)画路线图:确定方向;根据实际距离以及图纸的大小确定比例尺;求出图上距离;以某一点为起点,根据方向和图上距离确定下一地点的位置,再以下一地点为起点继续画。易错易混:平移和旋转改变了图形的位置,但是不改变图形的形状和大小。温馨提示:绘制地图时,一般规定上面表示北,下面表示南,左面表示西,右面表示东,简单