2024-2025学年广东省深圳市福田区华富中学九年级上学期开学考数学试题及答案

试题PAGE1试题2024-2025学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.已知，下列式子一定成立的是（）A B. C. D.3.等腰三角形的一个角是，它的底角度数为（）A B. C.或 D.或4.若一个多边形外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）边形A.六 B.五 C.四 D.三5.下列命题中，假命题的是（）A.矩形的对角线相等B.平行四边形的对角线互相平分C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形6.某农场开挖一条长480米渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（）A. B. C. D.7.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（）A.2021 B.2022 C.2023 D.20248.已知，中，，，CD为边AB上的中线，若是线段CA上任意一点，，交直线于点．为的中点，连接并延长交直线AB于点．若，，则CE的长为()A. B. C. D.10二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分9.因式分解：______．10.如图，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P(2，4)，则关于x的一元一次不等式kx+3>-x+b的解集是_______.

11.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是_____12.如图，在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则面积是_____．13.如图在中，，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______．三、解答题：本题共7小题，共61分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤14.计算（1）解不等式组：．（2）解分式方程：15.化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值．16.如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形），和关于点成中心对称．（1）画出对称中心，并写出点的坐标；（2）画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；（3）画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．17.在中，，、分别是、的中点，使，连接DE、、、．（1）试说明与DE互相平分；（2）若，，求的长．18.某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．（1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？（2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？19.定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．（1）分式与分式“等和积分式”(填“是”或“不是”)；（2）求分式的“等和积分式”；（3）①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式”；②用发现的规律解决问题：若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值．20.【课本再现】（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动，则下列结论正确的是（填序号即可）．①；②：③四边形面积总等于；④连接，总有．【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；【拓展应用】（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度．2024-2025学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．【详解】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴A中的图象不是中心对称图形，∴选项A不正确；∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴选项B正确；∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，∴选项C不正确；∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴D中的图形不是中心对称图形，∴选项D不正确；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．2.已知，下列式子一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，特别注意：在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．利用不等式的性质判断即可．【详解】解：A、不等式两边同时减去1，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意；B、当时，，故本选项不符合题意；C、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，式子成立，故本选项符合题意；D、不等式两边同时乘以，不等号方向改变，即；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意．故选：C．3.等腰三角形的一个角是，它的底角度数为（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．【详解】解：①当顶角是时，它的底角；②底角是．所以底角是或．故选：D．4.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）边形A.六 B.五 C.四 D.三【答案】C【解析】【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，多边形的外角和，解题的关键是要能列出一元一次方程．根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多边形的边数．【详解】解：设这个多边形的边数是n，则，解得，即这个多边形是四边形．故选：C．5.下列命题中，假命题的是（）A.矩形的对角线相等B.平行四边形的对角线互相平分C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的对角线进行判断即可．【详解】A、矩形的对角线相等，是真命题；B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；D、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，是假命题；故选D．【点睛】本题考查了从对角线来判断特殊四边形的方法：对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形为菱形；对角线互相平分且相等的四边形为矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．也考查了真命题与假命题的概念．6.某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根据题意列出方程即可．【详解】由题意得：．故答案为：C．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．7.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024【答案】B【解析】【分析】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键．设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案．【详解】解：设k是正整数，∵，∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；∵，∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．故选：B．8.已知，中，，，CD为边AB上的中线，若是线段CA上任意一点，，交直线于点．为的中点，连接并延长交直线AB于点．若，，则CE的长为()A. B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线得出，进而可得，证明，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：连接，如图所示：，，，是的中点，，在中，，，且CD为边AB上的中线，，，，，，，，，是的中点，，，，，，，，，，，，，，在中，，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分9.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键．先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．10.如图，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P(2，4)，则关于x的一元一次不等式kx+3>-x+b的解集是_______.

【答案】x>2【解析】【分析】观察函数图象得到当x＞2时，函数y=kx+3的图象都在y=-x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+3＞-x+b的解集为x＞2．【详解】解：当x＞2时，kx+3＞-x+b，即不等式kx+3＞-x+b的解集为x＞2．故答案为x＞2．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．11.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是_____【答案】20°【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到PEAD，PFBC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PEAD，同理，PFBC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP（180°﹣∠EPF）（180°﹣140°）＝20°，故答案为：20°．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．12.如图，在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则面积是_____．【答案】18【解析】【分析】过A作，过F作，根据平移得到，，然后根据平行四边形面积公式求解．【详解】解：过A作，过F作，在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），，，小平行四边形的面积是2，，，故答案为：18．【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题的关键．13.如图在中，，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______．【答案】##104度【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．【详解】解：如图，连接、，，为的平分线，，又∵，，∵是的垂直平分线，∴，，∴，∵为的平分线，，∴为底边上的中线和高线，即垂直平分，∴，，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，∴，，在中，．故答案为：．三、解答题：本题共7小题，共61分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤14.计算（1）解不等式组：．（2）解分式方程：【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，掌握相关解法是解题关键．（1）先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可；（2）先将分式方程化为整式方程求解，再检验方程的解即可．【小问1详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为：；【小问2详解】解：，方程两边同乘，得：，解得：，检验：当时，∴是原分式方程的解．15.化简：，并从1，2，3中选择一个合适数代入求值．【答案】，时，原式【解析】【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：原式∵∴或3当时，原式.16.如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形），和关于点成中心对称．（1）画出对称中心，并写出点的坐标；（2）画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；（3）画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．【答案】（1）图形见解析；点（2）图形见解析（3）图形见解析【解析】【分析】本题主要考查了中心对称、旋转作图，解题的关键是熟练掌握中心对称和旋转的性质．（1）连接、，交点即为点；（2）分别作出点、、绕点逆时针旋转后的对应点，然后把对应点顺次连接即可得到；（3）分别作出点、、关于点成中心对称的对应点，然后把对应点顺次连接即可得到．【小问1详解】D点坐标【小问2详解】如图，画出；【小问3详解】如图，画出．17.在中，，、分别是、的中点，使，连接DE、、、．（1）试说明与DE互相平分；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）结合已知条件推知四边形是平行四边形，在该平行四边形两条对角线互相平分；（2）根据勾股定理求得的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求的长度．【小问1详解】证明：、分别是、的中点，是的中位线，AB且AB．又，即AB，，，四边形是平行四边形，与DE互相平分；【小问2详解】在中，，，，由勾股定理得又由知，，且，，在中，，，，由勾股定理得．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．18.某校在商场购进A，B两种品牌篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．（1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？（2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元（2）该校此次最多可购买20个B品牌篮球【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用：（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解；（2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解；理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键．【小问1详解】解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，（元），答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元【小问2详解】设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，依题意得：，解得：，答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．19.定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．（1）分式与分式“等和积分式”(填“是”或“不是”)；（2）求分式的“等和积分式”；（3）①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式”；②用发现的规律解决问题：若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值．【答案】（1）是（2）（3）①②，【解析】【分析】本题主要考查分式的混合运算，属于创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算法则是解决本题的关键．（1）根据“等和积分式”的定义进行判断；（2）设分式的“等和积分式”为A，由“等和积分式”的定义可得，由此可解；（3）①观察互为“等和积分式”中分子、分母的关系，可得