2020年 数学高考题全国Ⅲ卷(文科)

PAGE1一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2020·全国Ⅲ卷）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x｜3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（）A.2 B.3C.4 D.5解析：选B∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，集合B＝{x｜3＜x＜15}，∴A∩B＝{5，7，11}，A∩B中有3个元素，故选B.2.（2020·全国Ⅲ卷）若z（1＋i）＝1－i，则z＝（）A.1－i B.1＋iC.－i D.i解析：选D∵z（1＋i）＝1－i，∴z＝1－i1+i＝（1－i）2（1+3.（2020·全国Ⅲ卷）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）A.0.01 B.0.1C.1 D.10解析：选C∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，D（aX）＝a2D（X），∴样本数据10x1，10x2，…，10xn的方差为102×0.01＝1，故选C.4.（2020·全国Ⅲ卷）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝K1+e－0.23（t－53），其中K为最大确诊病例数.当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则tA.60 B.63C.66 D.69解析：选C由题意可得，当I（t*）＝0.95K时，K1+e－0.23（t*－53）＝0.95K，∴119＝e－0.23（t*－53），∴ln19＝5.（2020·全国Ⅲ卷）已知sinθ＋sinθ＋π3＝1，则sinθA.12 B.C.23 D.解析：选B∵sinθ＋sinθ＋π3＝32sinθ＋32cosθ＝3sinθ＋π6＝16.（2020·全国Ⅲ卷）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若AC·BC＝1，则点C的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.直线解析：选A以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设A（－a，0），B（a，0），C（x，y），∵AC·BC＝1，∴（x＋a）（x－a）＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴点C的轨迹为圆，故选A.7.（2020·全国Ⅲ卷）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A.14，0C.（1，0） D.（2，0）解析：选B法一联立抛物线方程y2＝2px与直线方程x＝2，可得点D（2，2p），E（2，－2p）或D（2，－2p），E（2，2p），∵OD⊥OE，∴2×2＋2p×（－2p）＝0，即4－4p＝0，∴p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为12，0法二根据抛物线的对称性可知D（2，2）或E（2，2），代入抛物线方程y2＝2px，得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为12，08.（2020·全国Ⅲ卷）点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（）A.1 B.2C.3 D.2解析：选B法一由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离d＝｜k·0+(-1）·(-1）＋k｜k2+1＝｜k+1｜k2+1＝k2+2k+1k2+1＝1+2kk2+1.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝1+2kk法二记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当AB垂直于直线y＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离最大，且最大值为｜AB｜＝2，故选B.9.（2020·全国Ⅲ卷）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6＋42 B.4＋42C.6＋23 D.4＋23解析：选C由三视图可知该几何体为三棱锥，记为三棱锥P-ABC，将其放入正方体中，如图，易知PA＝AB＝AC＝2，PB＝PC＝BC＝22，故其表面积为S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝12×2×2＋12×2×2＋12×2×2＋12×22×22×32＝6＋10.（2020·全国Ⅲ卷）设a＝log32，b＝log53，c＝23，则（A.a＜c＜b B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析：选A∵23＜32，∴2＜323，∴log32＜log3323＝23，∴a＜c.∵33＞52，∴3＞523，∴log53＞log5523＝23，∴b＞c11.（2020·全国Ⅲ卷）在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（A.5 B.25C.45 D.85解析：选C法一在△ABC中，cosC＝23，则sinC＝53＞22，所以C∈π4，π2.由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB＝3.由正弦定理ACsinB＝ABsinC，得sinB＝459，易知B∈0，π2法二在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，所以由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB＝3，所以△ABC是等腰三角形.过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝BC2－CD2＝32－422＝5，tanB2＝212.（2020·全国Ⅲ卷）已知函数f（x）＝sinx＋1sinx，则（A.f（x）的最小值为2B.f（x）的图象关于y轴对称C.f（x）的图象关于直线x＝π对称D.f（x）的图象关于直线x＝π2解析：选D由题意得sinx∈[－1，0）∪（0，1].对于A，当sinx∈（0，1]时，f（x）＝sinx＋1sinx≥2sinx·1sinx＝2，当sinx∈[－1，0）时，f（x）＝sinx＋1sinx＝－－sinx＋1－sinx≤－2－sinx·1－sinx＝－2，当且仅当sinx＝－1时取等号，所以A错误；对于B，f（－x）＝sin（－x）＋1sin(-x）＝－sinx＋1sinx＝－f（x），所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误；对于C，f（x＋π）＝sin（x＋π）＋1sin（x＋π）＝－sinx＋1sinx，f（π－x）＝sin（π－x）＋1sin（π－x）＝sinx＋1sinx，则f（x＋π）≠f（π－x），f（x）的图象不关于直线x＝π对称，所以C错误；对于D，fx＋π2＝sinx＋π2＋二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（2020·全国Ⅲ卷）若x，y满足约束条件x＋y≥0，2x－y≥0，x解析：法一作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线3x＋2y＝0，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过点A（1，2）时，z＝3x＋2y取得最大值，zmax＝3×1＋2×2＝7.法二易知z＝3x＋2y的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出可行域的顶点坐标，分别将各顶点坐标代入z＝3x＋2y，即可求得最大值.联立得x＋y=0，2x－y=0，解得x=0，y=0，代入z＝3x＋2y中可得z＝0；联立得x＋y=0，x=1，解得x=1.y＝－1，代入z＝3x答案：714.（2020·全国Ⅲ卷）设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝2x解析：由双曲线的一条渐近线为y＝2x可知，ba＝2，即b＝2a.在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝ca＝答案：315.（2020·全国Ⅲ卷）设函数f（x）＝exx＋a.若f'（1）＝e4，解析：由于f'（x）＝ex（x＋a)-ex（x＋a）2，答案：116.（2020·全国Ⅲ卷）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为.解析：法一如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC.在Rt△BCD中，CD＝BC2－BD2＝22.易知BE＝BD＝1，则CE＝2.设圆锥的内切球半径为R，则OC＝22－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即（22－R）2－R2＝4，所以R＝22，圆锥内半径最大的球的体积为法二如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝BC2－BD2＝22，则S△ABC＝22.设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝2×S△ABC3+3+2答案：23三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）（2020·全国Ⅲ卷）设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.解：（1）设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得a1＋a1q=4，a1所以{an}的通项公式为an＝3n－1.（2）由（1）知log3an＝n－1.故Sn＝n（由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m（m－1）＋（m＋1）m＝（m＋3）（m＋2），即m2－5m－6＝0.解得m＝－1（舍去），m＝6.18.（本小题满分12分）同（2020·全国Ⅲ卷）理数18题一样.19.（本小题满分12分）（2020·全国Ⅲ卷）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；（2）点C1在平面AEF内.证明：（1）如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.（2）如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG.因为D1E＝23DD1，AG＝23AA1，DD1AA1，所以ED1AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AE∥GD因为B1F＝13BB1，A1G＝13AA1，BB1AA1，所以FGA1B1，FGC1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC于是AE∥FC1.所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内.20.（本小题满分12分）（2020·全国Ⅲ卷）已知函数f（x）＝x3－kx＋k2.（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围.解：（1）f'（x）＝3x2－k.当k＝0时，f（x）＝x3，故f（x）在（－∞，＋∞）单调递增.当k＜0时，f'（x）＝3x2－k＞0，故f（x）在（－∞，＋∞）单调递增.当k＞0时，令f'（x）＝0，得x＝±3k当x∈－∞,-3k3时，f'（x）当x∈－3k3，3k3时，当x∈3k3，＋∞时，f'（x）故f（x）在－∞,-3k3，3k3，＋∞（2）由（1）知，当k≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）单调递增，f（x）不可能有三个零点.当k＞0时，x＝－3k3为f（x）的极大值点，x＝3k3为f（x）的极小值点.此时，－k－1＜－3k3＜3k3＜k＋1且f（－k－1）＜0，f（k＋1）＞0，f－3k3＞0.根据f（x）的单调性，当且仅当f3k3＜0，即k2－2k3k9＜0时21.（本小题满分12分）同（2020·全国Ⅲ卷）理数20小题一样.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做一题计分.22.（本小题满分10分）同（2020·全国Ⅲ卷）理数22题一样.23.（本小题满分10分）同（2020·全国Ⅲ卷）理数23题一样.前沿热点——新高考数学考情分析2024年新高考真题（含考情分析）及高考最新动向实时更新请扫码获取纵观近年来新高考数学试题，试题贯彻落实了高考改革的总体要求，实施“德智体美劳”全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，落实立德树人根本任务，充分发挥考试的引导作用.试题突出数学本质、重视理性思维、坚持素养导向、能力为重的命题原则.通过设计真实问题情境，体现数学的应用价值；稳步推进改革，科学把握必备知识与关键能力的关系，体现了对基础性、综合性、应用性和创新性的高考考查要求.一、突出主干知识、筑牢能力基础以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷为例，对各试题所考查的主干知识分析如下：题型题号各试题所考查的知识点分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷单选题1集合的交集运算复数的乘法及几何意义2复数运算、共轭复数由集合间的关系求参数3向量垂直、数量积运算分层随机抽样、计数原理4由函数的单调性求参数由函数的奇偶性求参数5椭圆的离心率问题由直线与椭圆的位置关系求参数6圆的切线问题由函数的单调性求参数7等差数列充要条件的判定半角公式8三角函数中和、差、倍角公式的应用等比数列的概念、前n项和及性质多选题9样本数字特征圆锥的体积、侧面积和截面面积10以实际问题为背景考查对数大小比较直线与抛物线的位置关系、抛物线的概念及性质11抽象函数的函数性质函数的极值及应用12以正方体内嵌入某几何体考查对称性、空间位置关系独立事件的概率、二项分布模型填空题13计数原理向量的数量积、模14四棱台的体积四棱台的体积15三角函数中由零点个数求ω范围直线与圆的位置关系16双曲线几何性质、平面向量三角函数的图象与性质解答题17正弦定理、三角恒等变换正、余弦定理、三角恒等变换18线线平行的证明及由二面角求线段长度等差数列、数列的奇偶项问题19利用导数判断函数的单调性、证明不等式统计图表、概率统计与函数交汇问题20等差数列的概念、性质及前n项和空间线面位置关系、二面角的正弦值21概率与数列的交汇问题直线与双曲线的位置关系、定直线问题22以抛物线为背景，考查不等式及函数的最值以三角函数、对数函数为载体，考查导数的应用从上表可以看出，试题所考查知识范围及思想方法90％以上都源于教材主干知识，由此在一轮复习备考中更应重视必备知识的系统梳理、基本能力的逐点夯实.二、注重试题情境创设、牢记育人宗旨1.关注社会热点2023年新高考Ⅰ卷第10题以当今社会热点“噪声污染问题”为背景命制试题，目的是引导学生关注社会、关注民生，用所学知识解决生活实践情境下的实际问题.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘扬优秀传统文化2022年新高考Ⅱ卷第3题以中国古代建筑中的举架结构为背景命制出以等差数列为考查点的试题，此类试题不但能考查学生的阅读理解能力、直观想象能力及知识运用能力，而且还能以优秀传统文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）图①是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图②是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示现代科学技术水平2021年新高考Ⅱ卷第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境命制立体几何问题，在考查学生的空间想象能力和阅读理解、数学建模等素养的同时，引导学生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2（1－cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.体现数学应用价值2022年新高考Ⅰ卷第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景命制出以四棱台体积公式为考查点的立体几何试题，体现了数学的应用价值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重视能力考查、使素养评价科学有据高中数学课程标准对培养学生能力的要求是数学“六大核心素养”的集中展示.要检验学生核心素养高低，必须通过解决数学问题来体现.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体素养评价本题为多选题，以正方体内嵌入其他几何体为背景考查学生不同的素养层级，由A、B、C、D四个选项设计的问题不同，对应解决问题所需核心素养也逐渐提升，本题真正体现了“入口容易全分难”的多选题考查特征.四、秉承创新、引导探究性学习新高考试卷中开放性试题的增设，促进了考查的灵活性，思维方式的多样性.同时引导了学生重视探究性学习，逐步培养学生创新思维的良好习惯.1.举例题（2023·新高考Ⅱ卷）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值试题评析本类题目属于结论开放型，利用所学知识选择数学模型，使之满足题目所具有的结论可能不唯一，选其之一作为答案即可.2.结构不良题（2022·新高考Ⅱ卷）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0.过P且斜率为－3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M在AB上；②PQ∥AB；③｜MA｜＝｜MB｜.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一