数值分析习题答案

第一章绪论

3.以下各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几

位有效数字：％：=1.1021,X；=0.031,X；=385.6,x；=56.430,x；=7x1.0.

解：x：=1.1021是五位有效数字;

£=0.031是二位有效数字；

£=385.6是四位有效数字：

x；=56.430是五位有效数字；

芯=7x1.0.是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求以下各近似值的浜差限：(1)x；+x；+x；,(2)父以；,(3)x；/x；.

其中X：，E，X；,K；均为第3题所给的数。

解:

£（X）=gxlU4

£（芯）=gxl0，

£(匕)=；、10-1

£(£)=；X1()7

£(E)=；XICT'

⑴e（x；+x；+x；）

=E（X；）+£（X；）+£（X；）

=1.05x103

（2U（x*xX）

=忖勾£（石）+卜工卜（x；）+忖工,（x；）

=|1.1021x0.031|xlxl0_|+|0.03lx385.6|xlxl0_4+|1.1021x385.6|x-!-xl0-3

«0.215

⑶c（x；/x；）

归,（£）+旧卜（芯）

0.031x工x10-3+56.430x-x!0-3

=______2______________2

56.430x56.430

二M

6.设力=28,按递推公式％=匕_「，->/^（n=12…）

计郛到九0。假设取J丽。27.982（5位有效数字），试问计算九0将有多大误差？

解：工二给一看屈

・•.h=k白质

1UU

3%「急历

%=%_+闹

乂=匕一--V783

,°100

依次代入后，有％）=L-iooxf-J7i5

即％=%-质，

假设取。27.982九2=%-27.982

••.£%）=£（%））+£（27.982）=；x10”

，之0的误差限为gxlO'。

9.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过k，〃?2?

解：正方形的面积函数为A（x）=V

£（A*）=2A*・£（炉）.

当，滑=100时，假设£（A*）KI,

那么£（X*）WLX10-2

2

故测量中边长误差限不超过时，才能使其面积误差不超过\cm

10.设s-g灯2,假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差.证明当t增加时S的绝对误差增

加，而相对误差却减少。

解：s=^/2,/>0

£（S*）=g『・£（f*）

当f*增加时，S*的绝对误差增加

£（S*）

"）=阿

二如、£«*）

一9”

=2处

当f*增加时，£（产）保持不变，那么5*的相对误差减少。

II.序列｛工｝满足递推关系”=10y,i-l（n=L2,…），

假设为=Q=1.41（三位有效数字），计算到凹。时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

解：,.•尢=&HL41

1,

「.£（.%*）=]X10-

又・・』=10券「1

£（-*）=10£（%*）

又Ty2=10^-1

「•£（%*）=1M（X*）

.•.£（%*）=1。%（%*）

=iolox-!-xio-2

2

=-x10s

2

计算到凹。时误差为1x10"，这个计算过程不稳定”

第二章插值法

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，、、、、，，、、、、、、、、、、、、、

1.当—,2时,/。)=0,-3,4,求/(此的二次插值多项式。

解：

%=1，X=-1,々=2,

/Uo)=oJ(X|)=-3,/(x2)=4;

(“f)(-2)=_l(x+i)(x_2)

(x0-x,)(x0-x2)2

AU)=?F=1(A-1)(X_2)

(不一.％)(%一工2)6

/,(x)=do)d)=l(x-ixx+1)

那么二次拉格朗日插值多项式为

2

L式x)=£"(x)

hO

=-3/0(x)+4/2(-V)

14

=---(-V-l)(X-2)+—(x-1)(x4-1)

23

5,37

=­x'+—X——

623

4.设为互异节点，求证：

k

(2)^t(xJ.-x)/J(x)=O(Zr=O,l,,w);

/-o

证明

(2这(勺-不)以(幻

j=0

=£(£c；必T)""(X)

i=0i=0

=£C；(T广龙班*))

；=o;=o

又0<Z</2由上题结论可知

£.%(x)=M

J=o

原式=力。卜一工)及3

c=0

=(x-x)A

=0

得证。

5设f(x)GC2[a.b]且以a)=f(b')=0,求证：

max|/(x)|<\b-a)-max|/ff(x)|.

a<x<b118a<x<b11

解：令d=。,演=。，以此为插值节点，那么线性插值多项式为

Lla)=/(x0)^^+/(x1)^-^

七一为

x

==/(a)g+/S)已

a-bx

又/⑷=")=0

/.L)(x)=0

H

插值余项为R(x)=f(x)-Ll(x)=^f(x)(x-x0)(J:-)

ff

fM=g/(x)(x-x0)(x一N)

Xv|(x-x0)(x-x1)|

1I2

<<-[(X-XO)4-(X1-X)]-

1o

=7(M7O)’

4

=-(b-a)2

4

max|/(x)|<^(/?-67)2niax|/ff(x)|.

a<x<b118a<s<i>11

8.如果/a)是m次多项式，记修(x)=/(“+♦)-f0),证明/(x)的k阶差分屋/(x)(04&W〃?)

是他―女次多项式，并且A'z/(x)=0”为正整数)。

解：函数/(x)的Taylor展式为

八—⑴+小*八*+…+"⑼⑴〃”+小1(所

其中J£*»+〃)

又1/(X)是次数为机的多项式

..严)q)=o

・•・Af(x)=f(x+h)-f(x)

=fMh+1/〃*)力2+…+二/M

2

.•.V(x)为"Ll阶多项式

A2/(x)=A(Af(x))

.•.白2/(外为用一2阶多项式

依此过程递推，得A*/。)是〃2-女次多项式

.•.*”/*)是常数

二当/为正整数时，

AW+7(X)=0

H.证明其A?)，/=△”-△%

J=0

--i。一!

证明»&=»%「△%)

7=07=0

=(⑼-A%)+(△%-3)++(△”-△%)

=△)，”一△为

得证。

14./(x)=F+/+3x+l,求”[2°,21..,21及/〔20,21，2%

解：fW=x7+x4+3x+\

假设Xj=2',i=0』,・・・,8

那么了[%小，…,x,,]=f；，)

.■./[A-0,X„,x7]=于4=1

小。，%，，4]二,'萨=0

16.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)=/(0)=0,P(l)=P(l)=0,P(2)=0

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

%=(),%=1

%=。,弘=1

〃4)=0,m]=1

乜(x)=£匕％(x)+Xm/j(x)

j=Qj=Q

%(幻=(1-2土玉)(土土)2

=(l+2x)(x-l)2

a,(x)=(1-2^—^)(^—^)2

=(3-2x)x2

2

/70(x)=x(x-l)

^(x)=(x-l)x2

22y2

f/3(x)=(3-2x)x+(x-l)x=-x+2x

22

设P(x)=H/x)+A(x-x0)(x-x1)

其中，A为待定常数

•;P(2)=1

/.P(x)=-x3+2x2+AY2(X-1)2

从而尸(幻=,工2。-3)2

4

is.求/*)=/在用上分段线性插值函数〃a),并估计误差。

解：

在区间［«句上,xQ=a,xn=b,ht=x/+1-xpZ=0,1,--•,-1,

h=max/7.

•/f(x)=x2

函数/(x)在小区间［4西+』上分段线性插值函数为

,，\X-X..，/、X-X.£,、

乙⑴=-----9/(若)+------/(-vI+I)

%If

=][玉2(玉+1—X)+玉+J(X-X,)]

4

误差为

max|/(A)-///(x)|<Jmax|广(，)卜甲

x1sH.tQ(r<4<b

•・,/(x)=X2

/.f\x)=2xj\x)=2

,2

/.max|/(x)-/Jx)|<-！-

4

第三章函数逼近与曲线拟合

1./(x)=sin|x,给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式4g)及用(/»。

解:

/(x)=sin-y,XG[0,1]

伯恩斯坦多项式为

纥(1%)=之八与2)

4=0〃

其中乙。)=：k(i—x)z

当〃=1时，

M=[oJ(D

A(X)=X

・•.即/,1)=/(0)4(幻+八1此(外

(\}7T7T

=(1-A)sin(—x0)+xsin—

⑹22

当〃=3时，

/>.»=!I(i-x)3

[“)=(；A-(I-X)2=3.r(l-x)2

6⑺=(：X2(1-X)=3X2(1-X)

(3\

F\ix)=x3=x3

「应(/,八)=£/岗《。)

4=0〃

=0+3x(1-x)2*sin—4-3x2(l-x)«sin—+xysin—

632

=-x[\-x)2+x2-x)+xy

22

222

®L5X-0.402X2-0.098X3

4。计算以卜函数/⑴关于C[0,1]的团』/L与82：

(2)/(x)=x-g，

解：

⑵假设/(x)=那么

II./L=™X|/(A-)|=|

fl1

=2ji(x--k£r

1

=­

4

加2=(17(标/

J>l127-

=[Jo(x--)drF

£

=--

6

6。对/(x),g(x)wCla,回，定义

(2)(/,g)=f(x)g\x)dx+f(a)g(a)

问它们是否构成内积。

解：

⑵假设(/,g)=fr")g'(x世+/(a)g(a)，那么

(XJ)=f+g(〃)/(a)=(/,g),VaeK

(a7,g)=^[afM]fg\x)dx+af(a)g(a)

=al^f\x)g\x)(Lx+f(a)g(a)]

=a(fg)

VAeC'[a,Z>]，那么

fb

=J：f(x)hXx)dx+f(a)h(a)+J*j\x)h\x)dx+g(a)h(a)

=(/,〃)+(〃,g)

(A/)=£iru)]2^+/2(6/)>o

假设(/,/)=(),那么

f[r(x)]2dx=()W/2(a)=。

r(x)=O,/(a)=O

/.f(x)=0

即当且仅当f=0时,(/,/)=0.

故可以构成加上的内积。

7。令7；：(x)=7；(2x-l),xe[0,l],试证｛看(幻｝是在[0,1]上带权〃(x)二,「，的正交多项式,并求

解：

假设7；；*)=7；(2x-l),x€10,11，那么

。:⑴1:⑴如世

=|'7；l(2x-l)7；H(2.r-l)-rX=dv

•°yJX-X2

令f=(2x-l),那么且x=9L故

2

Jo"：(X)Z；(X)P(X9

)

=•\-Irnmt

乂切比雪夫多项式｛1*)｝在区间［0,1］上带权p［x｝=k正交'且

13，〃=加W0

7、一「2

4，n=m=0

、I

.-.|7；；(x))是在[0,1]上带权p(x)=------的正交多项式。

\JX-X2

/.^(x)=7；(2x-l)=hx€[0,l]

•/T；(x)=x,xe[-lJJ

/.7]*(x)=7；(2x-l)=2A-l,xe[0J]

v7；(x)=2x2-l,x€[-l,l]

/.K(x)=T2(2X-\)

=2(2X-1)2-1

-8x2-1,XG[0,1]

7^(X)=4X3-3X,XG[-1,1]

.•.7；-(.r)=7；(2A-l)

=4(2X-1)3-3(2X-1)

=32x3-48x2+18x-hxe[0J]

8。对权函数p(x)=l-f,区间[一]1],试求首项系数为1的正交多项式a(x),〃=0,l,2,3.

解：

假设夕")=1一/，那么区间[一口]上内积为

(/»(?)=£f(x)g(x)p(x)cb:

定义W)(x)=l,那么

***)=(x-%)内.(x)-以必T(x)

其中

%=(即“a),8“a))/@(x),以(x))

A,=(然。),外(幻)/(心.1(笛,。“只)

.*.a0=U,l)/(l,l)

,产(1+f世

=0

/."(x)=x

2

af=(x,x)/(x,x)

，产3(1+12加

j'x2(l+x2XZv

=0

4=(.")/(1,1)

|*：储(1+.丫2心

J：(l+x2世

16

=K=2

85

3

/、，2

/.^2(x)=x---

(V-1x)(x2-1)(l+x2}dx

JJ

J](厂——)(-^*12*4-~)(1+X?M-X

=0

79

A=（广一不厂一《）/（乐x）

JI(厂——)(x2--)(1+x~)dx

—JJ

|\2(1+x2)dr

136

=525=E

1670

15

/、a22179

?.(i?,(X)=X---X----X=X3----X

57014

10.(Nohave)

12.(Nohave)

15./（x）=sin|x,在［-1,1］上按勒让德多项式展开求三次最正确平方逼近多项式。

解：

•//(x)=sinyx,xe(-1,11

按勒让德多项式｛4（大）,4（x）｝展开

(/*),4(幻)=Lsin3—COS3x=0

1冗1]

(/(X),7](%))=j^ASinyAzk=—

xdx

(/*),p2(幻)=J：(尹-g)si吟=0

,,,、Q,'、P/5：371.48(/-10)

(/(x)，A(x))=(-r--x)s、i.n-%cZr=------——

JT2227i

那么

a；=(/(x)，43)/2=0

17

^=3(/(x),Z>(x))/2=—

71

4=5(/(X),R(X))/2=0

•、DZ168(/70)

4=7(/(x),8(幻)/2=-----------

71

从而/（X）的三次最正确平方逼近多项式为

S；(x)=a；E)(x)+a；R(x)+a2P2(x)+。汨(x)

12168(/-10)5/3丫)

二k

420(42-1())3120(21-2/)

乃4X乃4

p1.5531913x-0.5622285/

16。观测物体的直线运动，得出以下数据：

时间t(s)0

距离s(m)010305080110

求运动方程。

解：

被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程

s=a+bt

令(I)=spa〃］］」｝

那么

帆h6,||洲二53.63,

@序)=14.7,

(外,$)—280,(何，$)-1078,

那么法方程组为

'614.71⑺J280)

J4.753.63人〃厂［1078)

从而解得

d=-7.855048

%=22.25376

故物体运动方程为

5=22.25376/-7.855()48

23,用辗转相除法将化为连分式。

厂+6x+6

解

3x~+6x

&式x)=

A2+6.r+6

i⑵+18

3---；--------

x~+6x+6

94

X+23

x+-

2

120.75

x+4.5x+1.5

19。求f(x)=sinx在尤=0处的(3,3)阶帕德逼近%(x)°

解：

由/(x)=sinx在工=0处的泰勒展开为

V/X7

sinx=x----+-------

3!5!7!

得C°=0,

C,=l,

G=。，

I1

Gr-

c4=0,

c11

c,=—=—,

5!120

Q=0,

从而

-C^by-C2b2-Cfy=C4

力3—C3A—CM=C5

-C3b3-C4b2-G4=C6

即

4

Io6

公'

1

-o;仇

6

勿J

l

_o、

-

6皿

从而解得

b、=0

加=:

■2

4=0

a=

又=k，Cpk_j+Ck(k=0,1,2,3)

j=o

那么

%=Co=。

%=CJ\+C)=0

a2=C()b2+Cfy=0

7

&=G&+Cb+C2bl+=一—

t260

故

/八_/+qx+%『+4X

"(〜1+办+城+城

v73

_60

一I12

1+—广

20

60x-7x3

―60+3V

210求f(x)=d在x=0处的(2,1)阶帕德逼近心(x)。

解：

由/(x)=，在X=0处的泰勒展开为

XiX'X

e=l+x+—+——+

2!3!

得

C°=L

c.=l,

c.=-=-,

33!6

从而

一。?々=C3

即

1,1

2々=6

解得

13

又「ak=£cMj+G(A=0J2)

六0

那么

2

q=G4+G=§

生二。①+。2=)

o

故

1+/?1%

,2I

1+-X+-X-2

,36

■TTT

3

6+4x+x2

6-2x

第四章数值积分与数值微分

1.确定以下求积公式中的特定孥数，使其代数精度尽呈高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精

度：

(2)J："(xa=A_lf(-/i)+4/(0)+A/(力)；

(4)J：/(x世x/2[/(0)+/(/?)]/2+加[尸(0)-八协；

解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确

地成立，但对于m+l次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

⑵假设*&/(一”)十/V(°)十4/(")

令/(幻=1,那么

4/2=A”+4+A

令/Xx)=x,那么

0=-4_/+4/?

令f(x)=f,那么

学=%*_1+/-A

从而解得

A=-h

I13

令"幻=/，那么

4Ji)+M。)+A/S)=0

故Rj(xWx=4J(T?)+4/(0)+AJS)成立。

令/(x)=d,那么

单融=o苧，

"(—〃)+MO)+A/优)苧5

故此时,

1：/"粟丫。A_j(-h)+4/(°)+A/e)

J-2h

因此,

J；/(xXZr«AJ(-h)+4/(0)+AJ(h)

J-2h

具有3次代数精度。

⑷假设[f(x)dx«〃"(0)+/(%)]/2+ah2[f(O)-/'(初

令f(x)=l,那么

J：/(工世二h,

川f(0)+f(h)]/2+ah2\f(O)-f\h)]=h

令ya)=x,那么

h\/(o)+/(〃)]/2+加।r(o)_r(〃)]=肘

令f(x)=f,那么

£/UHV=£X2^-=1/Z3

川f(0)+fWl/2+a/rl/XO)-f\h}]=^-2ah2

故肓

-h3=-h3-2ah2

32

1

a=一

12

令/"(X)=x3,那么

J；/(x心=]>皿=%

力"(0)+/(/?)]/2+W〃2"'(0)-7(/?)]=-

令/*)=/,那么

川〃0)+/(〃)]/2+」/4/'(0)-八/?)]=卜广一?川=为5

12236

故此时，

[：/“心工h[f(0)+f(h)]/2+1h2[f\0)一/"?)],

JLJ

因此,[：/c"(o)+/(〃)]/2+『[r(o)—八力)]

具有3次代数精度。

2.分利用梯形公式和辛普森公式计算以下积分：

⑴「“、小,〃=8;

Jo4+x

(2)(Jxdx,n=4:

解：

|Y

(l)n=8,a=0,Z?=l,A=-,/(x)=----

84+x~

复化梯形公式为

(=4/⑷+/区)+/S)]=0.1114。

2*=i

复化辛普森公式为

58=夕/5)+4^/(x,)+2tf(xk)+/(^)]=0.11157

6A=ok+2Jt=l

(2)〃=4,a=1,6=9,力=2,/Qi)=G,

复化梯形公式为

h3

T4=-[/(«)+2£/(xJ+f(b)]=17.22774

2k=\

复化辛普森公式为

h33

S”=-[/(«)+4X/U,)+2gf®)+/(〃)]=>7.32222

6k+2

5o推导以下三种矩形求积公式:

世=S一〃)/(〃)+-«)2；

J“2

［世=S-〃)/S)-?S-4)2；

Ja2

『世=(b-4)/(噂)+$2(b-a)3;

J“224

证明：

(1)，/(x)=f(a)+f'Q7)(x-a),昨(a,b)

两边同时在［。力］上积分，得

J：/(x心=(b-a)f(a)+八〃)J：5-a)出

即

f7uXr=(b-a)f(a)+?(b-a)2

(2)v/(x)=f(b)-rs)(b-x),rje(a,b)

两边同时在［a,句上积分，得

=(b-a)f(a)-f\r^(b-x)dx

即

1/L={b-a)f(b)-2S-a)2

Ja2

crz、//〃+〃、,，/〃+久/Cl+b./"(〃)/a+b、,.,.

(3jv/(A)=/(^-)+/(^-)(x---)+一一—Y,ne(a,b)

两连边同时在他，加上积分，得

f〃，/、」、，/a+久cl+b、」a+b、2」

jf(x)d\=(b-a)/(--)+/X—一一—(x一一—ydx

乙乙乙乙乙

即

『f(x\b:=(b-4)/(W与+s-a)3；

224

7o如果/"(x)>(),证明用梯形公式计算积分/=f/(x)心:所得结果比准确值/大，并说明其几何意

义.

解：采用梯形公式计算积分时，余项为

&7=-砂”［。向

又,//"(>)>0且〃>a

/.R,<0

乂•・・/?r=i—r

:.!<T

即计算值比准确值大。

其几何意义为，/〃(x)>0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积，

11«用〃=2,3的高斯-勒让德公式计算积分

『'sinxdx.

解：

/=Ie'sin.xzZr.

・.,工£口,3],令f=x-2,那么，

用〃=2的高斯一勒让德公式计算积分

/«0.5555556x[/(-0.7745967)+/(0.7745967)]+0.8888889x/(0)

X10.9484

用〃=3的高斯一勒让德公式计算积分

/«0.3478548x[/(-0.86II363)+/(0.86II363)]

+0.6521452x[/(—0.3399810)+/(0.3399810)|

«10.95014

17.(Nohave)

f(x)=—二在x=L0』.l,和1.2处的导数值，并估计误差。力大)的值由下表给出:

(1+幻

x

F(x)一

由带余项的三点求导公式可知

/U)=)-/(x2)]+：/也)

2/?3

r®)=![-/a。)+/(士)]一,广⑹

Z/2O

/'(/)=一"(K)+3/(X2)]+:尸©

2h3

又「f（x0）=0.2500,/（X,）=0.2268,/（%）=0.2066,

:于'5)。-^-[-3/(x0)+4/(西)-f[x2)]=0.247

2h

X

f\xx)«.-f(x。)+/(2)]=-0.217

/'(占)=)-4/(M)+3/(z)]=-0.187

2h

又、"了&

-24

'(l+A)5

又,.xe[L0,1.2]

区0.75

故误差分别为

42.5x10-3

L='D<1.25x10-3

.2

IHX）|=g/"e）《2.5x10-3

J

利用数值积分求导，

设以幻=ra）

/（%）=/（A）+P］奴工世

J”

由梯形求积公式得

「“(p{x}dx=4mxi+8(%)]

Jxt2

从而有

/（%）=/（々）+自。（毛）+奴加）］

故

2

。(%)+。(％)=7"(4)一/(%)]

h

2

9(%)+叭x?)=-[/(x,)-/(%)]

h

又:/（为+i）=/（Vi）+R（P<x}dx

且f（p{xylx=4奴,%］）+奴%+1）］

从而有

/(%)=/(々.I)+机。(匕T)+8(%)I

故夕(.7)+叭X?)=1"。2)-/30)］

即

夕（入（））+*（.£）=-0.464

«8（$）+例々）=-0.404

夕（王））+9（/）=-0.434

解方程组可得

夕（%）=-0.247

«8（X1）=-0.217

^（X2）=-0.187

第5章解线性方程组的直接方法

2.证明：(1)因A对称正定，故

&ii=(A.g)>0,Z=l,2,.......

其中e,=,为第i个单位向量.

(2)由A的对称性及消元公式得

一孙％?…-

—二9I,j=2>,.,n

4i

成A,也对称.

的

显然均非其异,从而对任意的X±0,有

L：XW0,(x,I,AKX)=(Il\X,AL(X)>0(由A的正定性)

故。人川正定.

丁r^no

又L,A¥=''，而4>0,故4正定.

0

3.证明由矩阵乘法简单运算即得证.

7.(Nohave)

8.(Nohave)

9.解设有分解

由公式

仄=%4=%/

-a=。血_]+«,,(/=2,3,4,5)

q=%%,«=2,3,4)

其中〃，q,J分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元

素，那么有

r3456

%=2,tz2=—>%=—,a4=—,%=一

i234

1=一丁人=一1，A=-A=--

N*。J

由

2

3

-

-3?

2|

J2o

42

7-o

3}，