浙江专用2024年高考数学一轮复习讲练测专题4.3简单的三角恒等变换讲含解析

PAGEPAGE1第03讲简洁的三角恒等变换讲1.驾驭两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，驾驭正弦、余弦、正切二倍角的公式.2.驾驭简洁的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.3.高考预料：（1）和（差）角公式；（2）二倍角公式；（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等学问结合考查.4.备考重点：(1)驾驭和差倍半的三角函数公式；(2)驾驭三角函数恒等变换的常用技巧.学问点1．两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；.函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．【典例1】（2024·江西高考模拟（文））如图，点A为单位圆上一点，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B(-，)则cos=()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得：故选A【总结提升】三角公式化简求值的策略(1)运用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号改变规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)运用公式求值，应留意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)运用公式求值，应留意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．【变式1】（2024·四川高考模拟（理））已知，，则()A． B．7C． D．【答案】C【解析】∴则故选：C．学问点2．二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).变形公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2【典例2】（2024·全国高考真题（文））已知，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】.所以选A.【总结提升】明确各个角之间的关系(包括非特别角与特别角、已知角与未知角)，熟识角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)，eq\f(α,2)＝2×eq\f(α,4)等．【变式2】（2024·河南高考模拟（理））已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题，则故故选：A考点1两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用【典例3】（2024·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，.若，则的值是()A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意，有：，，，，＝.故答案为：C.【总结提升】三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特别角的三角函数转化为特别角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【变式3】（2024·河南鹤壁中学高考模拟（文））平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．【答案】【解析】由题意知：，，由，得，，故答案为：.考点2两角和与差的正切公式的应用【典例4】（2024年全国卷II文）已知，则__________．【答案】.【解析】，解方程得.【规律方法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要娴熟，精确，而且要熟识公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟识公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往简洁被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培育从正向思维向逆向思维转化的实力，只有熟识了公式的逆用和变形应用后，才能真正驾驭公式的应用．提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．【变式4】（2024·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（理））已知是其次象限角，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得.因为是其次象限角，所以...故选C.考点3二倍（半）角公式的应用【典例5】（2024·全国高考真题（理））若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，且，故选D.【总结提升】转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清晰已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．留意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时肯定要留意公式成立的条件和角之间的关系．(2)留意特别角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，肯定要考虑引入特别角，把“值变角”构造适合公式的形式．【变式5】（2024·湖北高三月考（文））已知α是第一象限角，，则=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵α是第一象限角，，，k∈Z，∴kπkπ，k∈Z，∴0<1，∴sinα＝2sincos，整理得：，解得（舍去）或．故选D．考点4简洁的三角恒等变换化简与证明【典例6】求证：.【解析】左边＝eq\f(sinα,cosα)＋＝右边．故原式得证．【总结提升】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般须要升次，去掉根号．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较困难的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提示：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要依据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，依据角的范围确定三角函数的符号．3．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确运用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而