圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线讲义（高中数学）

--PAGE距离公式与弦长公式题目核心条件转化为坐标转化为坐标后，怎么处理通过表示点的坐标解决问题怎么获取点的坐标设点与设直线结合起来什么样的直线过定点怎么解决直线过定点圆过定点与定值举例反设直线简化运算的技巧三角形的面积表达求最值之变量化一求最值之均值不等式求最值之借助导数/82第九章探索类问题/98抛物线y24x,与直线l交于AB且OAOB,求证AB过定点设直线AB为：ykxm,A(x1,y1B(x2,y2).xxxy1 1y2yOA y1y1y2联立ykxmky24y4my2y1

4m16m4kykx4kk(x4)直线过

y2

2)x

xa

(m

)ykx而韦达定理x1x2b2a2k2x1x2

b2a2k👉一，可以看出韦达定理右侧的式子跟椭圆与直线中的a2b2km这些参数有关。👉x1x2y1y2A(xAyAB(xByBABABAB (xx)2(yy)2 1 2 y y1的右焦点为F，斜率为2且过点F的直线l,与该椭圆相交于A,B两点,FA设A(x1y1B(x2y2),因为F(2,0所所以FA 1 2 122x所所以FB 1kFBxBxF 12x2FA

5x12x225x1x22(x1x2)第二步：联立所得直线y2x2与椭圆

21x240x150其中x

155,x

401

FA

2x1x22(x1x2)FA

yA

yA,

yB

所以FA

2yA

2y1 这里我们观察到:这里我们观察到:由于F点的纵坐标是0使用关于y的 y1,过右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点，AB的直平分线交x2和AB于点P,C,PC2AB，求思路：设A(xyB(xyAB的中点为Cx1x2,y1y2),设直线AB为yk(x 因为PCAB，所以k

22x11(1)22x111

xP

1k1k

xA

x1

x11k1k答案：k

①已知抛物线y22pxp0),过焦点F的直线与抛物线交于AB设A(x1y1B(x2y2)AFx BFx AB

AF

x1x2②已知抛物线x22pyp0),过焦点F的直线与抛物线交于AB设A(x1y1B(x2y2)

y1y211k:求证：求证：1

4y的焦点F也是椭圆C2:a

1(ab的一个焦点，C1与C2的公共弦长为26,过点F的直线l与C1相交于AB两点，与AC

ACBDABCD(等量加等量，和相等)

则AB 1k2 1k2 4a2b2(b2a2k2m24a2b2二次项系数m2b2a2k如图，圆O的半径为ROEAB,其中AB为圆O的弦，AB与直径CD交于点R2dOEd,则ABR2d(2014重庆)已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2ya)24相交于A两点，且△ABC为等边三角形，则实数a 距离为

2a又圆心(1,a)到直线axy20的距离d a22a以 a2

3，解得a4

1(焦点为FF)与直线l:y1xm交于A，B 与以FF为直径的圆交于C,D两点，且满 53,求直线l的方程1

PF2F1设直线PF与椭圆相交于A,B两点，若直线PF与圆(x1)2(y 3)216相 于M,N两点，且MN ：已知直线已知直线AB与某曲线相交，设A(x1y1B(x2y2M(2,0),O为原点将下列问题换为关于x1,x2,y1,y2的坐标表达式问：遇到OAOBOAOB0x1x2y1y2问：遇到MAMB

MA

(

2)2y2

2)2y

kMB

x1

x22MAMB0

2

y10

y2

（弦长公式1111

2AMO

0

x1

x2

2)2y2

2)2yMAMB

MAMBT(1,0),A(x1`y1`B(x2y2)TB设A(x1y1B(x2y2),直线AB的倾斜角为，则ABsiny1y2AB

x1x2若I是△ABCAIAB

AI设A(xyB(xyC(xy),则△ABC的重心坐标x1x2x3,y1y2y3 点M,N在x轴上,点Q在y轴上,OQMONQ正切值相等y22px在A(xy) 答：y1ypx1x22py在A(xy) 答：求导数写切线方程或x1xpy1,sin△AOM

AMO

△MAB中，设MAMB,则ABsinBAMOAcosAOBOAOB(数量积与投影可以看出：上述案例转化后的落脚点都是长度、垂直、平行、向量表示、三点共线、直线方程。这是因为我们的长度有距离公式的坐标表达，像垂直、平行、向量都可转化为相应的坐标表达。对于角度的处理，我们往往借助三角函数，可以把角度转化为长度表达.有时候还需要借助几何分析:如初中三角函数定义， 若OMON12,其中O

byb经过椭圆C22b

1(ab

1(ab0)的顶点分别为A1A2B1B2,

7,ABA11ABA

BFB11BFB思路：设直线l的方程为ykxm，A(x1y1B(x2y2),则D(x1,y1

x2

x1(x1)(x1)，x2

，x2xy3y

x1

x2 y1y2 kxy22 y22 例：抛物线例：抛物线y2x,直线AB与抛物线交于A(xyB(xyABxty 设M(2,1),若AM 1,求直线AB

y11y21(y11)(y2

AM

x1

x2

例：y4x2上有两个点AB,抛物线在A处的切线与在B处的切线斜率之积为-解析：反证法思路：设A(x1y1B(x2y2

y11

y21,因为

4x2,

4x4x2

4x2

1 化简约去公因式得要证4xx1 对y4x2求导得y8x在A点的斜率为8x在B点的斜率为

y1,直线为ykx ,直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2

(1y2的取值范围(1y1),x1y21x244y2x24(1y)(1y 去代换掉(1y),4(1y1)(1y2例：遇到x1x2(

)2

)24xx2x2

x2

x1

)2

x2例：遇到(x13)(x2y1x1例：遇到x2

1)2

2(

答：平方差公式变形为x

y2y1y1y22)即x

k(y

常见案例：遇到x常见案例：遇到x12x2122 x2x (xx)22x 2 12例：直线yx1与y22px交于AB两点，与x轴交于M点,向量MB2MA，求抛物解析：设A(x1y2B(x2y2)，M(1,0)MB2MA

1,y)

1,y)x22x11

y2y1

y2y (yy)22y

(yy)2 通分变形得 2 12

2①y1

y1

y1 联立yx1与y22px，消去x得y22py2pyy2p，yy2p,代入①得2p252p 1 所以抛物线方程为y29:

2证明kAPkAQ(2017全国文)设AB为曲线Cy

x上两点，A与B的横坐标之和为4.

BM,:

1(ab0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆(2)AB15,求椭圆C的方程【2011x

1(ab0)的左焦点为F,

垂直的直线被椭圆截得的线段长为4若ACDBADCB8,求k的值 【2010全国】设F1F2分别是椭圆Ea2b

,,

N当lxBMABMABN👉二章获得点的坐标解决问题设直线的斜率为k,有时需要设出(x1,y1)(x2,y2),所有的点都由x1x2y1y2表达.思路。但是有些题并不太适用这一方法，而是通过表示出每个点的坐标来解决 解析：因为P在yx2上,所以设P横坐标为x,则纵坐标为x2从而P(x 这样变量只有一个x,所以PM2x2x21)2 解析：设直线为yk(x11,则A(0,k1B(1那么AB2k1)211)2

1：设动点的坐标；如：直线x2y1上的点可设为(2y01y0y如：抛物线y22px上的点,可以设为(0

例：设A(1tB(2n且OAB三点共线,那么n2tB点坐标可以设为 例：x24y在切点(xy)处的切线方程为：xx2y2y,切线与 为(1x02y0【2017新课标2】已知点P是圆x2y22上一点,设点Qx3OPPQ1.P且垂直于OQ的直线l过点解析：设点P(x0,y0Q(3x2y21

由OPOQ13所以Q(333x0

(t

1t

0

y展开来写，如直线OQ

3

3y0直线l按照点斜式可以写为：y将x1代入得y0得证

3y0

(x

)y0我们在做题中经常会忽略一个等式：点我们在做题中经常会忽略一个等式：点(x0,y0f(xy)0f(x0y0) 例：已知A(xy)在抛物线yx2上，过A作切线，与y轴交于P,求P的坐标解：切线方程yy2x(xx令x0得yy 例：已知A(x0y0)为椭圆上一点，点A关于原点对称的点为B,则B(x0,y0)例：已知例：已知A(x0y0B(0,1AM2MB,求M解：设M(xy),则(xx0yy0)2(0x,1即：xx02xyy022解得：xx0y2y0即Mx02y0 例：点P(x0,y0),Q(2,0),试表示出直线PQ与y解：直线PQ:y

x02

(x2),与y轴交于(0,2y0x0例：设例：设A(1tB(2n且OAOB,那么2tn0n2,从而B点设为(2,

y

1(ab0),点O为坐标原点，点A

2MA,直线OM为5(2)设点C的坐标为(0,bN为线段AC的中点，证明MNPF

【2014北京文】已知椭圆C：x22y24,设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值。【2016全国文】直线lyt(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y22pxp0)于点PM关于P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.

y

AB分别是椭圆C:

1ab0F2AF,FB的等差中项 是AF,FB的等比中求椭圆CP是椭圆CAB的动点，直线lAxF作FQAP，并交直线l于点QQPB三点共线:,若点C的纵坐标为2,求MNAF2AMAN，求圆C的半径 y1,直线与椭圆交于A,B两点，其中A(0,1),设直线 xy

1和ykx得(14k2x28kx设A(x1y1B(x2y2)，显然x10y1

,即

14k2

例：已知椭圆C

AE、AFEF的斜率为定A(13ym(x1 ym(x1)

m)21204(3m)2x1xAx1·xA＝x1x1kkm

xE

4(3k)2 34k

4k212k4k2

，ykx3k

6k26k24k2xF

4k212k4k2

，yF

6k26k24k2EF的斜率

(6k26k9)(6k26k9yFyE=

1

F

(4k212k3)(4k212k EF1

1(ab0y0)线C：yx21y0)连接而成，CC的公共点为AB,其中C的离心率为3 过点B的直线l与C1C2分别交于点PQ，若APAQ,求直线l:

圆E于AM两点，点N在E上，MA当AM

AN

k

点Q(0y0)在线段AB的垂直平分线上，且QAQB4,求y0

1(ab0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率 设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点直线PQ与y轴交于点M

1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为1已知A是抛物线y22pxp0)的焦点，F到抛物线准线l的距离为1设l上两点PQ关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于B(B异于A),直线BQ与x

【2014江苏】如图，在F1F2分别是椭圆a2b

1(ab0)的左右焦点，顶点C,连接

且BF2

2,若F1CAB,求椭圆离心率e的值

的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1y1N(x2y2),其中m0y10y2设动点P满足PF2PB24,求点P

2,

1,求点T设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点

1(ab0)

交于两点A(a,0),B(a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点OP112k

112k12k12k

12k

B【2014安徽理】如图,已知两条抛物线E：y22pxp0)和E：y22px

常见设出两个曲线上点(x1y1x2y2(1)当CD(1)当CD3 OP解析：第(2)问，我们要找到的是PQ的坐标，其中P是直线l与x轴的交点，所以.,所以设C(x1,y1D(x2,y2那么直线那么直线AC的方程为：yx11(x1)①,直线BD的方程为yx21(x由于OPOQ1,0)

,

)1

x

y2(x1 x

y1(x2

y y y利用曲线方程代换，由x211x211x1

x

y

y y代换掉(x1)

1 x y(x 2(x1)y(x 2(x1)(x x k x

k

,解得x比如要证：直线y比如要证：直线yx11(x1)与直线yx21要证它们的交点在定直线x2x1y2(x11)21x y1(x2

1【2016全国】已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于xll分别交1【2012北京理】曲线C5m)x2m2)y2:

1(ab0)

且斜率为

,为M,直线OM与椭圆E交于CDMAMBMCykxykxy1k(x（4）kxyk1(5)(m1)x(2m1)ymykxmykxm，然后找出k与m之间的等式（例如k2m，这样代换掉m,参数就只有一个了。例：已知抛物线y24x,O为坐标原点,直线OA与OB与抛物线交于A，B.且OA分析：设直线AB的方程为ykxmA(x1y1B(x2y2y2y因为OAOB,所以xxy

0 2y

0yy1 1

1

1 将y24x与ykxm联立得：ky24y4m0y

4m所以4m16m4k,代入到直线方程得到ykx4k直线过如图，直线AB，PAPBP（如kAPkBPkAPkBP定值，结论就是：直线AB过定点1：ABykxm2：APBP（如kAPkBP1，得一次函数k

f(m)或者m

f(k)3：将k

f(m)或者m

f(kykxmyk(xx定y例（07）C：x

1若直线l：ykxmC两点（A，BABC线l过定点，并求出该定点的坐标。

A(x1,y1),B(x2,y2

ykx (34k2)x28mkx4(m23)064m2k216(34k2)(m23)0，34k2m2

xx8mk,xx 34k

4(m234k

3(m24k2y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2mk(x1x2)m

34kABD(20且kADkBD1

1，yyxx2(xx)40x2x

1 1 3(m24k2)4(m23)

16mk 34k

34k

34k

07m216mk4k2

2k,

34k2m2当m2klyk(x2)，直线过定点(20(,当m2kl:yk(x2，直线过定点(, 综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；,例：已知抛物线y24x,O为坐标原点,直线OA与OB与抛物线交于BOA分析：设直线OA的斜率为k,则OB的斜率为1,则OA:ykxOB:y1y

x

A( y2

y

k2,ky1

x4k

y

B(4k2,4ky2 直线AB:y4k

1k

(x4k2)y

1k

(x4)(化简提公因式例：已知点例：已知点P是圆x2y22上一点,设点Qx3上，且OPPQ1P且垂直于OQ的直线l过点解析：设点P(x0,y0Q(3

x2y21

OPOQ1(-3x0)x0(t

1t

0x0y0那么，直线l可以写为：y将x1代入得y0得证

3y0

(x

)PPAB三点共线 x x例：已知抛物线例：已知抛物线y24xO为坐标原点,直线OA与OB与抛物线交于A，B.且OA解析：设A(x1y1B(x2y2),要证AB过定点(4,0),即证kMA

x

x y y

y1

14

2y2y因为OAOB,所以xxy

0 2yy0y

1 1

1 1

,于点M、N求证：MN恒过定点(0

x9上的x轴上方的动点，设直线TA,TB与此椭圆分别交于点M(x1y1)N(x2y2),y10y20,求证：MN，D:【2012北京理】曲线C5m)x2m2)y2 例：点A(xy)满足x1a2ya2,则点A在定直线xy

1a

y轴于点Q,并且F1PF1Q证明:当a变化时，点P在定直线上【2014江西文】如图，已知抛物线Cx24y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于提示：设提示：设A(xyB(xy),由AOD三点共线，得D(x,y1x2 以以MN为直径的圆过点FMFNF NAAM(x,y1)(1x,y NBBM(x,y1)(1

,y y所以y1y

t1 1

y所以y1y t1 2

21(y1y2

y1x

2)y

2ty3y1

t22

,y1

t2212t t(3

1 1③反设下要注意的易错点：直线xty③反设下要注意的易错点：直线xty2与曲线交于两点A(x1y1B(x2y2弦长AB 11x 1t2yy,注意这里与正设下的弦长表达不一样 核心条件转化后的式子含有较多y1y2y1y2, y1相交于A，B两点FFA解析一：设A(x1,y1B(x2,y2),因为11

xA

x1所以

xF

21k1k

2x12x222x1x22(x1x2)设直线yx2

y

6x220x150其中x

5,x

1 FA

2x1x22(x1x2)解析二：设直线为xy2椭圆

y

6y24y1

yA

yA,

y

所以FA

2yA

2y1例：抛物线y例：抛物线y2x,直线AB与抛物线交于A(xyB(xyAB过点 设M(2,1),若AM 1,求直线AB解析：kAMk

y11y2x12x2思路一：设直线AB为yk(x2)并与y2xky2y2k这时我们发现既要处理分母中的(x11)(x21还要处理分子中的y11y2思路二：设直线AB为xty2并与y2xy2ty2

y11y21(y11)(y2

AM

x1

x2

这时只需要处理y1y2与y1y2

t

y

AN81,若存在，求直线的方程(x2

4或x

2y

设O为坐标原点，证明：OMA相互垂直的直线，斜率可以设为k与1xy轴对称的直线，斜率可以设为k与k.（倾斜角互补相互平行的直线，斜率可以都设为k设两条直线的斜率分别为kk',k'2的,条相关直线的斜率设为k,2k 对于椭圆a2b

1一条直线斜率设为k率设为

ka2（轮换对称思维）B2B24ACAxBxC0的两个根为x1x2.x1x2ykxx2

(b2a2k2)x22kma2xa2(m2b2) x1x2

4a2b2(b2a2k2m2b2a2kAx2BxC0的两个根为xx.那么有Ax2BxCA(xx)(xx(xx1)(xx2)

Ax2BxC例：已知xx为Ax2BxC0 则：计算(3x13x2

A32B3 (x11)(x21

A(1)2B(1)C11 交于AB两点,设l2与抛物线交于DE两点.AFFBEFFD例：抛物线y24x的焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线ll,设l解析：设A(x1y1B(x2y2l1:yk(xAF

(x11)(x21)x1x2x1x2yk(x 2 y2

得k

4)x

2k2 AF

(x11)(x21)x1x2x1x211

14同理，将k替换为

EFFD44kAFFBEF

84k2

:

圆E于AM两点，点N在E上，MA当AM

AN

k①①S1底弦长公式，高

1(ab0)的一个顶点为A(2,0),直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M

【2014辽宁文】圆x2y24的切线与x轴正半轴，y焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l:yx

②设A(x1,y1B(x2,y21OPyy 1OPxx 1水平宽6

1(ab0)的左焦点为F(2,0),设O为坐标原点，T为直线x3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于PQ

例：线段AC与线段BD交于点P,则S△ABP(依据S1absinC)例:已知过抛物线Cy24x焦点F的直线l交抛物线于AB两点，直线AOBO分别与直线x2相交于MNABO与△MON11k2 11k2 1k2 1k2 1k2 思路：面积之比1 S2

OMONsinxM

(其中k与k分别为直线OA与直线OB积为1

1(ab0)

yx2b截得的线段长等于C的长半轴长,①证明：MD

S2

17

y

5则N(m,tD(m,0注意到两个三角形是同底的,

4)PF

1(ab0)

3,

(2)设椭圆E

4a

1P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm

,

x),则有0

21,PM

1)2

2

x1)21 例：抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值 【2011新课标理】已知A(0,1B点在直线y3上，M点在曲线Cy1x22【2017浙江】已知抛物线x2y,点A(11),点P(xy)(1x3)是该抛物线上的点2

y x

x2 x

x y1,过点(m,0)作圆xy1的切线l交椭圆于 思路：设直线l：xty直线与圆x2y21

1m21t2

y1y2(注意：反设直线很容易用错弦长公式联立xtym与

(yy)24y 1(4 (yy)24y 1

y1

1t2

(4t2m24343将m21t2

m23

22

22

m28m223m23m

m23

t

mm1k2m

m21k2m1k

1k

1k m2m2

3m2mm2

x，则m2x2t 3(x21)

3x2

3x

m2

2(m2

4k45k2(6)t (7)t (8)t (9)t 1k

4m2

m4

4k44k2m24m24mm24m24m2m2m2m2110

m2

134

m2

4,所以t y1,直线ykxm与椭圆交于A,B两点，△AOB面积的最大值解析：设直线ykxmA(x1y1B(x2y2h为原点到AB面积S1AB·hykx

x111k

11k

m

得(14k)xy21

8kmx

1)S

14k

14k

m214k2m14k练习：已知椭圆C:

2,1),直线y

xm交椭圆于BD练习设抛物线y24x的焦点F,过点P(2,0)的直线交抛物线与AB面积的最小值为多少？（反设优化计算，t

1(ab0)

圆的右焦点，直线AF的斜率为23，O为坐标原点,证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程,【2013新课标2理】过椭圆M

1(ab0)右焦点的直线xy

CD为M上两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD

C于点P

:42)r

x1),C(x2

x2),D(x2

x2联立抛物线y2x与圆(x4)2y2r2消去y2得x27x16r2

7,x1

15S12

)

S2

)24x

)(7

t2)(4r2

t,则S2(72t)272t),利用导数知识求函数最值得t71616r

, 【2015湖北】已知椭圆C： 👉六章数不为0.yax2bxc ①y22px在(xy)yy ②x22py在(xy)xx 记忆技巧：对等原则，计算上均等拆开，如y22px拆分为yypx,若切点为(x0y0

x y 1的切线方程为00 圆(xa)2yb)2r2的切线方程为(xa)(xaybyb)r 3

与直线l:ykxa(a0)交于MN【2017全国文】设AB为曲线Cy

x上两点，A与B的横坐标之和为4.

BM,【2016全国文】直线lyt(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y22pxp0)于点 MAABMBBA,设M点的轨迹为C【2014北京理】已知椭圆C：x22y24,设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明.

知AB

F 1【2014江西文】如图，已知抛物线Cx24y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于作C的任意一条切线l与直线y2相交于点N1,与第一问的定直线相交于点N2 MN2MN2为定值，并求此定值 【2012广东文】已知椭圆C1a2b

(2)设直线l同时与椭圆C和抛物线C：y24x相切，求直线l的方程 :

y

1(ab0)

，抛物线Ex

2y,

y

1(ab0)

1(ab0)交直线x

a于点👉七章①思路1P(xyP(xyx与纵坐标y之间的等式。构建等式，消去参数。(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；,:

的垂线，垂足为N,点P满足NP之积为1(2014新课标文)已知点P(2,2),圆Cx2y28y0,过点P的动直线l与圆C交于A设M点的轨迹为C

1(ab0)的左，右顶点分别为AB,点P若直线AP与BP的斜率之积为

若点P到直线yx

1(2016全国)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于xll分别交1(2015广东文)已知过原点的动直线l与圆Cx2y26x502：通过的几何关系，凑得椭圆，抛物线，双曲(2013新课标)已知圆Mx1)2y21,圆Nx1)2y29,动圆P与圆M,,证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程

1(a10b10)

2C2

1(a2b20)均过点P(3,1且以C1的两个顶点和C2

【2017浙江】如图，已知抛物线x2y,点A(1

,B(3

抛物线上的点P(x,(1x3).过点B作直线AP的垂线，垂足为 PAPQPA

【2014安徽理】如图,已知两条抛物线E：y22pxp0)和E：y22px

的面积分别为S和SS1的值 【2014新课标】设F1F2分别是椭圆Ca2b

1(ab0)的左右焦点，M是

1(ab0)

3,

(2)设椭圆E

4a

1P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm

1(ab0)的离心率e

在椭圆C上，是否存在点M(mn)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y2

1(ab0),点

设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点QAQ

AO,能否出现ACBC【2010全国】已知抛物线Cy24x的焦点为F,过点K(1,0)的直线l与C相交于设FAFB8,求△BDK的内切圆M的方程若圆C与直线xya0交于AB两点，且OAOB,求a的值【2013新课标】已知圆Mx1)2y21,圆Nx1)2y29,动圆P与圆M,若点P到直线yx

【2014新课标文】已知点P(2,2),圆Cx2y28y0,过点P的动直线l与圆C交于当OPOM时，求l的方程及△POM

知AB F1【2014辽宁理】圆x2y24的切线与x轴正半轴，y 当该三角形面积最小时，切点为P..双曲线C1a2b

1过点P【2015广东文】已知过原点的动直线l与圆Cx2y26x50是否存在实数k，使得直线Lyk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在求,【2012新课标】设抛物线Cx22pyp0)的焦点为F,准线为lA为C

MAⒶ要证OA2OB2AB2即证AOB⑦三角形中，证明角相等证明角的对边相等AB

1ab0于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为Px4上不同于点4,0APBP分别与椭圆ABMNBMN为直径的圆内（1）xy （2）BMBP解：由（1）A2,0B2,0AMBN的斜率分别为k，Mx1y1，AM:ykx2ykx

AM

y

3

16kx

12 16k2 xAx1

4k2

x14k2

68k

y1kx12k4k23M4k2

34k

P4y0PAMy0k426kP4,6k

16k

BP2,6k,BM4k2

34k

32k

BPBM 6k 4k2 4k2 4k2MBP

MBN

MMN 例：设F1F2分别是椭圆a2b

1(ab0)的左右焦点，M

1(ab0)

A(mn)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M:【2015福建文】已知点F为抛物线Ey22pxp0)的焦点，点A(2m)E上，且AF圆，必与直线GB相切.

1(ab0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率 设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点直线PQ与y轴交于点M

PMsinBQP75,求椭圆的方程

1(a

3)的右焦点为F,右顶点为A.

1

3ey轴交于点H,若BFHF且MOAMAO,求直线l的斜率

1(ab0)

1所得线段长度为2动直线l：ykxm(m0)交椭圆C于AB两点，交y轴于点M.点N是M关于O:

y2(2)如图，设直线l：yk1x

且k1k2

2M是线段OC延长线上一点，且MCAB23,圆的半径为MCOSOT是圆M的两条切线，切点分别为S,T,求SOT

4y的焦点F也是椭圆C2:a

1(abAC

👉九章

与直线l:ykxa(a0)交于MN

OPN解析(2)假设存在点P,设P(0n),由题意知k

0,设M(x1y1N(x2y2y y

x x 2 0x(y

n)x(

n)0