苏教版高中数学(必修三)(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

算法与程序框图【学习目标】2.让学生通过丰富的实例体会算法的思想；3.让学生通过对具体问题的探究，初步了解算法的含义；5.会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；6.掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图.【要点梳理】要点一、算法的概念广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.（1）确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”.“不重”是指不是可有可无的、甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务.（2）逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明（3）有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.（4）不唯一性：求解某一个问题的算法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的（1）写出的算法，必须能解决一类问题（如：判断一个整数35是否为质数；求任意一个方程的近似解……并且能够重复使用．（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少．（3）要保证算法正确．且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的．（1）自然语言：自然语言就是人们日常使用的语言，可以是汉语、英语或数学语言等.用自然语言描述算法的优点是通俗易懂，当算法中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解.缺点是如果算法中包含判断和转向，并且操作步骤较多时，就不那么直观清晰了.（2）程序框图：所谓框图，就是指用规定的图形符号来描述算法，用框图描述算法具有直观、结构清晰、条理分明、通俗易懂、便于检查修改及交流等特点.（3）程序语言：算法最终可以通过程序的形式编写出来，并在计算机上执行.而这些恰恰就是计算机的特长，它能不厌其烦地完成枯燥的、重复的繁琐的工作，正因为这些，现代算法的作用之一就是使计算机代替人完成某些工作，这也是我们学习算法的重要原因之一.事实上，算法中出现的程序只是用基本的语句把程序的主要结构描述出来，与真正的程序还有差距，所以算法描述的许多程序并不能直接运行，要运行程序，还要把程序按照某种语言的严格要求重新改写才行.要点二、程序框图程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.程序框名称功能表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的.起止框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置.输入、输出框处理框赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内.处理框判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标判断框流程线算法进行的前进方向以及先后顺序流程线连结点连接另一页或另一部分的框图程序框内必要的说明文字.4、算法的三种基本逻辑结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的.它是由若干个依次执行的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来算法步骤.如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作.如下面图示中虚线框内是一个条件结构，此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定的条件P是否成立，选择不同的执行框(A框、B框).无论P条件是否成立，只能执行A可以有一个是空的，即不执行任何操作.见示意图条件结构中的条件要准确，不能含混不清，要清楚在什么情况下需要作怎样的判断，用什么条件来区分．在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过程.重复执行的处理步骤称为循环体.循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.①当型循环结构，如左下图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复继续执行下面的框图.②直到型循环结构，如右下图所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立，依次重复操作，直到某一次给定的判断条件P成立为止，此时不再返回来执行A框，离开循环结构，继续执行下面的框图.见示意图循环结构中使用什么样的条件控制循环的开始和结束，要清楚满足某个条件的变量的次数与循环次数的联系与区别.1、框图中的流程线不能出现交叉的现象.若有交叉，则程序语句无法写出；3、条件分支结构的方向要准确；4、循环结构中，计数变量要赋初值，计数变量的自加不要忘记，自加多少不能弄错.另外计数变量一般只负责计数任务；5、循环结构中循环的次数要严格把握，区分“＜”与“≤”等.循环变量的取值与循环结构(当型与直到型)有关，需区分清楚.另外，同一问题用两种不同的结构解决时，其判断6、程序框图不要出现死循环(无限步的循环).【典型例题】类型一：算法的概念例11）下列描述不能看作算法的是().A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤B．洗衣机的使用说明书①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生明确的结果．其中正确的有().【解析】（1）A、B、D都描述了解决问题的过程，可以看作算法．而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．（2）根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③④正确．而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．【点评】算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班去做，总能来完成.实际上处理任何问题都需要算法，如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续…….【变式1】我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式，加减消元法求二元一次方程组的解，二分法求出函数的零点等，对算法的描述有：①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．以上算法的描述正确的有().【答案】D类型二：算法的描述例2．写出求方程组的解的算法．【解析】可利用消元法或代入法求解．算法一：第一步：②×2+①,得到5x=14－4．③第二步，解方程③,可得x=2．④第三步，将④代入②,可得2+y=－2．⑤第四步，解⑤得y=－4．第五步，得到方程组的解为算法二：第一步，由②式移项可以得到x=－2－y．③第二步，把③代入①,得y=－4．④第三步，把④代入③,得x=2．第四步，得到方程组的解为．【点评】通过求解二元一次方程组可知，求解某个问题的算法不一定唯一．对于具体【变式1】试描述求解三元一次方程组【解析】算法1：第一步，①+③,得x=5．④第二步，将④分别代入①式和②式可得第三步，⑥-⑤,得y=－4．⑦第四步，将⑦代入⑤可得z=11．第五步，得到方程组的解为．算法2：第一步，①+②,得2x－y=14．④第二步，②-③,得x－y=9．⑤第三步，④-⑤,得x=5．⑥第四步，将⑥代入⑤式，得y=－4．⑦第五步，将⑥和⑦代入①式，得z=11．第六步，得到方程组的解为．类型三：算法的设计所谓的算法，就是解决该类问题的一般步骤.【解析】第一步：任取2枚银元分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第二步．第二步：取下右边的银元放在一边，然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一边就是假银元注意：算法不唯一）类型四：顺序结构的应用例4．对于一个二次函数,求出顶点坐标．S1用户输入二次函数的系数a,b,c；S2计算顶点坐标S3输出顶点坐标．【答案】程序框图如下图所示．类型五：条件结构的应用例5．已知函数，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．【解析】该函数是分段函数，因此当给出一个自然后确定利用哪一段的解析式求函数值．画程序框图时，必须采用条件分支结构，因为函数解析式分了三段，所以需要两个判断框，即进行两次判断．第一步，输入x．第二步，如果x＜0，那么使y=2x－1，输出y；否则，执行第三步．第三步，如果0≤x＜1，那么使y=x2+1，输出y；否则，执行第四步．第四步，y=x2+2x第五步，输出y．程序框图如下图所示．【点评】凡是必须先根据条件作出判断，然后再决定进行哪一个步骤的问题，在画程序框图时，必须引入判断框，采用条件结构．而像本题求分段函数的函数值的程序框图的画法，如果是分两段的函数，只需引入一个判断框；如果是分三段的函数，需引入两个判断框；分四段的函数需引入三个判断框，依此类推．判断框内的内容是没有固定顺序的．算法并画出程序框图．第一步：输入x．第三步：输出函数值y．程序框图如下图所示．【变式2】如果学生的成绩大于或等于60分，则输出“及格”，否则输出“不及格”.用程序框图表示这一算法过程.【答案】类型六：循环结构的应用【解析】算法一：当型循环：第一步，令S=0，i=1．第三步，S=S+i．第四步，i=i+2，返回第二步，程序框图如图（1算法二：直到型循环：第一步，令S=0，i=1．第二步，S=S+i．第三步，i=i+2．【点评】注意直到型循环和当型循环的区别．直到型循环先执行i=i+2，再判断i＞直到条件i≤999不成立才结束循环，输出S．【变式1】已知函数下图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，①处应填写_________；②处应填写_________．【答案】xx2；y=lg2x解析式对应赋值框的内容，填y=log2x．【变式2】画出计算的值的一个程序框图．【解析】所求程序框图如下图所示类型七：利用算法和程序框图解决实际问题例7．北京获得了2008年第29届奥运会主办权．你知道在申办奥运会的最后阶段，国对选出的5个申办城市进行表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止．试画出该过程的程序框图．【解析】本题为算法中与现实生活相联系的题目，从选举的方法看，应选择循环结构来描述算法．【点评】解决与现实相关的问题时首先要理清题意，此循环结构中对用哪一个步骤控制循环，哪一个步骤作为循环体，要有清晰的思路．但不超过1.4m，可买半票；若超过1.4m，应买全票，请设计一个算法，并画出【解析】根据题意，该题的算法中应用条件结构，首先以身高为标准，分成买和免票，在买票中再分出半票和全票．第一步：测量儿童身高h．程序框图如下图所示．判断里的．所以我们用到两个条件结构．【巩固练习】【巩固练习】1．下列说法正确的是().A．一个算法的步骤是可逆的B．一个算法可以无止境地运算下去C．完成一件事情的算法有且只有一种D．设计算法要本着简单方便的原则吃饭（10min）、听广播（8min）几个过程．从下列选项中选出最好的一种算法().A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭．第五步，听广播C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶3．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是().A．从黄冈到北京旅游，先坐汽车，再坐火车抵达B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C．方程x2－1=0有两个实根4．程序框图中“处理框”的功能是()A．赋值B．计算C．赋值或计算D．判断某一条件是否成立5．如下图（左）所示的是一个算法的程序框图，已知a1=3，输出的结果为7，则a2的值是6．输入—1，按上图（右）所示的程序框图运行后，输出的结果是()7．给出一个程序框图，如下图所示，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值有()8．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的倒数第二个数是()9．完成不等式2x+3<3x+2的算法过程：（1）将含的项移项至不等式的左边，将常数项移至不等式的右边，得；（2）在不等式两边同时除以X的系数，得．10．写出下列算法的功能．（1）图（左）中算法的功能是（a＞0，b＞0）_______；（2）图（右）中算法的功能是____________________．②应为.12．某程序框图如图所示，若输出的&=57，则判断框内为．13．已知函数，设计一个算法求函数的任一函数值．14．画出解不等式ax+b>0(b≠0)的程序框图.算)核收2元；2元以下的票不退.试写出票价为x元的车票退掉后，返还的金额y元的算法的程序框图.【答案与解析】【答案与解析】【解析】由算法的定义与特征可得．【解析】因为A选项共用时间36min，B选项共用时间31min选项的算法步骤不符合常理．【解析】C中没有解决问题的步骤，它不是算法．【解析】根据算法的程序框图可知此处求的是【解析】根据程序框图应当执行“y=x2－1”这个处理框，从而有y=0，故选B．【解析】经分析知满足该程序框图的函数解析式是，令y=x，解得x=0或x=1或x=3，所以满足条件的x有3个，故选C．【解析】由程序框图知，输出的数依次为3，2所以该程序运行后输出的倒数第二个数是．9．【答案】（1）-xx-12）x>1【解析】这两个框图均为顺序结构，直拦可看出答案．第一步，输入a；第二步，若a≥2，则执行第三步；若a＜2，则执行第四步；第三步，输出a2－a+1；第四步，输出a+1．基本算法语句【学习目标】1、正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构.2、会写一些简单的程序.3、掌握赋值语句中的“=”号的作用.4、正确理解条件语句和循环语句的概念，并掌握其结构的区别与联系.5、会应用条件语句和循环语句编写程序.【要点梳理】在程序中的INPUT语句就是输入语句.这个语句的一般格式是：INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：功能：可对程序中的变量赋值．①“提示内容”提示用户输入什么样的信息，必须加双引号，提示内容“原原本本”的在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开；②变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；④要求输入的数据必须是常量，而不能是函数、变量或表达式；⑤无计算功能.例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：要点二、输出语句在程序中的PRINT语句是输出语句.它的一般格式是：同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”.功能：可输出表达式的值，计算.①“提示内容”提示用户输出什么样的信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分②表达式是指程序要输出的数据，可以是变量、计算公式或系统信息；④有计算功能，可以输出常量、变量或表达式的值以及字符.要点三、赋值语句用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句.它的一般格式是：赋值语句中的“=”叫做赋值号.功能：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值.赋值语句的作用是先计算出“=”右边表达式的值，然后将该值赋给“=”左边的变量；④不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)；⑤对于一个变量可以多次赋值；⑦赋值号与数学中的等号的意义是不同的.赋值号左边的变量如果原来没有值，则执行赋值语句后，获得一个值，如果已有值，则执行该语句后，以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值，即将“原值”冲掉.要点四、条件语句算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句.它的当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句.其对条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去.需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理.要点五、循环语句算法中的循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构.即WHILE语句和UNTIL语句.其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的.WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的.当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句.因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环.其对应的程序结构先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句.要点诠释当型循环与直到型循环的区别①当型循环是先判断后执行，直到型循环是先执行后判断；②当型循环用WHILE语句，直到型循环用UNTIL语句；③对同一算法来说，当型循环和直到型循环的条件互为反条件．【典型例题】类型一：输入语句、输出语句和赋值语句A=4表达3）错，PRINT语句中不能用赋值号“=”4）对，PRINT语句可以输出常量、变（2）下列给出的输出语句正确的是_______。【解析】【解析】（1）4=m2）x+y=103）A=B=24）N=N2。【解析】（1）错误2）错误3）错误4）正确。【总结升华】由赋值语句中赋值号“=”左边是变量，右边是表达式、常量或变量知【解析】可以利用“INPUT”语句输入两个正数，然后将ab和ba的值分别赋给两个变量，然后输出这两个变量的值即可；另一方面ab与ba作为两个幂的值，是把底数和指数进行了交换，故还可以利用赋值语句，采用将两个变量的值互换的办法实现这一算法。【总结升华】注意观察两种解法的区别。解法二更巧妙地利用了赋值语句，互换变量来实【变式1】写出下列语句描述的算法的输出结果。【总结升华】此题主要考查对三种语句的理解，要对三种语句理解透彻。注意写出每一步的运算结果，以减少错误。地区每年春天会种树400亩加以绿化，但同时每年冬天又会有总绿化面积的1%被沙漠化，问2013年年底该地区总绿化面积有多少亩？画出解决此问题的算法的程序框图，并写出程【解析】该地区总绿化面积每年都在变化，可以设置一个变量来表示每年年底的绿化【总结升华】利用赋值语句可以对同一变量进行多次赋值，程序输出变量的最后值。【变式1】在一次数学考试中，小明、小亮、小强的成绩分别为a、b、c，后来发现统计错了。小亮的成绩记在小明的名下，小强的成绩记在小亮的名下，而小明的成绩记在小强的名下了。设计程序更正成绩单。【总结升华】变量x主要用于存放一个变量的值，应用赋值语句将原来的三个数进行了类型二：条件语句例5．给出三个正整数a，b，c，判断以这3个数为三条边边长的三角形是否存在，若存在，则求出其面积，请设计程序实现该功能，并画出相应的程序框图。【解析】由于不是任意三条线段都能构成三角形的三边，因此必须先判断三边是否满足任意两边之和大于第三边，即a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，这些是保证能组成三角形的必要条件。经判断，如果满足上述条件，则按下面的公式计算三角形的面积，程序框图如图所示。（2）画出程序框图：依据算法分析，画出对应的程序框图；若输入—4，则输出的结果为()【答案】C【解析】本题是关于分段函数求函数值的算法设计，应对输入的x值进行判断，看它属于哪个区间，然后运用相应的表达式。【总结升华】这是一个分段函数求值的问题，在计算之前，需要对自变量进行判断，这就需要用到条件结构，并且还是一个有两个分支的条件结构。所以可以运用“IF—THEN【变式1】已知程序如下，若输入x=5，则输出结果是()【答案】C【变式1】读下面的程序，并回答问题。（1）画出该程序对应的程序框图；（1）程序对应的程序框图如右图所示。此时均满足x≤2。若，则x=±1，不满足x＞5。【变式2】输入一个自然数N，求其被3除得到的余数，设计一个程序，并输出相应类型三：循环语句例7．画出求平方值小于2000的最大整数的程序框图，并写出程序。根据以上程序框图，可设计程序：【总结升华】（1）此问题中变量i既是累加变量，也是计数变量，需要注意的是所求最大整数应是i―1，故最后输出的是i―1。（2）本题也可利用UNTIL语句编写程序：【变式1】分析下面程序的算法功能，画出其算法的程序框图。【解析】程序框图如下图所示。这是一个用循环语句编写的程序，第一次循环取x=－1，第二次取x=－1+0.2，…,最在区间的后一次取x=1，这实际上就是把区间[－1，1]平均分成10等份，求函数端点及各等分点处的函数值问题。在区间的,并画出程序框图。例8．编写一个程序计算,并画出程序框图。【变式1】编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和.【答案】这是一个累加问题.我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL型语句.由此看来，解决问题的方法不是唯一的，当然程序的设计也是有多种的，只是程序简单与复杂的问题.WHILEi<=100sum=sum+iWENDENDDOsum=sum+iLOOPUNTILi>100END【巩固练习】【巩固练习】1．关于语句：INPUT“提示内容”；变量，下列说法不正确的是()A．提示内容可以是中文也可以是英文B．提示内容一般是提示用户输入什么样的信息C．语句可以给多个变量赋值D．这是一个输出语句若输入的值为3，5，则执行此程序后输出的值为()①输入一个数，输出它的平方；②输入一个数，输出它的相反数；③输入一个数，输出它的算术平方根；④输入一个数，输出它的自然对数的值．其中不用条件语句来描述的是().A．①B．②C．①②D．②④4．当a=3时，下面的程序输出的结果是().如果输入x=－2，则输出结果为()A．2B12C．10D46．有以下程序段，其中描述正确的是()B．循环体是无限循环C．循环体语句一次也不执行D．循环体语句只执行一次执行完毕后a的值为().8．当x=2时，下面程序运行后输出的结果是().该程序的输出结果为________。10．阅读下列程序，运行后输出的结果为________。11．写出下列程序的运行结果。若输入2，输出的结果为_______。)编写一个求三角形面积的程序。△APB的面积为y，试写出程序，根据输入的x值，输出相应的y值。15．高一共有54名同学参加了数学竞赛，现在已有这54名同学的竞赛分数。请设计算法，【答案与解析】【答案与解析】【解析】“提示内容”的主要作用是能够让程序运行者更清楚地在计算机屏幕上看到程序指令，可以是中文也可以是英文；输入语句可以给多个变量赋值。选D。【解析】①②这两个问题只需用顺序结构即可，所以没有用到条件语句。【解析】该程序的作用是求分段函数的函数值。【解析】对于WHILE语句，条件为真则执行循环体，而本题k=8，不满足条件k=0，所以循环体语句一次也不执行。故选C。【解析】将A→T，T→A。故A仍然为1，B仍然2。S2S3句的嵌套或叠加编写程序。程序如下：,显然需利用条件语【学习目标】1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序；3.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率4.了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换.【要点梳理】要点一、辗转相除法也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的.利用辗转相除法第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r0=0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；一个EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(商),…)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(q),…)2和一个余数r2；rn－1依次计算直至rnrn－1即为所求的最大公约数.用辗转相除法求最大公约数的程序框图为：INPUT“m=”;mINPUT“n=”;nm=nn=xr=mMODnWHILEr<>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTnEND辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数，考虑到算法中的赋值语句可以对同一变量多次赋值，我们可以把较大的数用变量m表示，把较小的数用变量n表示，这样式子就是一个反复执行的步骤，因此可以用循环结构实现算法.要点二、更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.第一步：任意给出两个正整数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数.由a-b=r→a=b+r，得与有相同的公约数第一步，输入两个正整数；第二步，如果a=b，则执行s3，否则转到s5；第三步，将a-b的值赋予；第四步，若b>r，则把赋予，把r赋予，否则把r赋予，重新执行2；第五步，输出最大公约数.程序:WHILEa<>ba=a-b;ELSEb=b-aWENDENDPRINTbWHILEaMOD2=0ANDbMOD2=0a=a/2b=b/2WENDDOb=tc=a－bb=cLOOPUNTILa=bPRINTa^iEND用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单.要点三、秦九韶计算多项式的方法其中.这样，我们便可由依次求出显然，用秦九韶算法求n次多项式的值时只需要做n次乘法和n次加法运算要点四、进位制进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.INPUT“a,k,n=”;a,k,nb=0b=b+t*k^(i-1)WENDPRINTbEND第一步，将给定的十进制整数除以基数k，余数便是等值的k进制的最低位；第二步，将上一步的商再除以基数k，余数便是等值的k进制数的次低位；第三步，重复第二步，直到最后所得的商等于0为止，各次所得的余数，便是k进制各位的数，最后一次余数是最高位，即除k取余法.1、在k进制中，具有k个数字符号.如二进制有0，1两个数字.2、在k进制中，由低位向高位是按“逢k进一”的规则进行计数.3、非k进制数之间的转化一般应先转化成十进制，再将这个十进制数转化为另一种进制的数，有的也可以相互转化.【典型例题】类型一：辗转相除法与更相减损术例1．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并且用更相减损术检验你的结果：【总结升华】比较辗转相除法与更相减损术的区别计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.由该题可以看出，辗转相除法得最大公约数的步骤较少.对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.（2）分别用辗转相除法和更相减损术求105与357的最大公约数．【答案】21【解析】（1）123=2×48＋2748=1×27＋2127=1×21＋621=3×6＋36=2×3+0（2）辗转相除法：357=105×3+42，105=42×2+21，42=21×2．更相减损术：357－105=252，252－105=147，147－105=42，105－42=63，63－42=21，42－21=21．【答案】6【解析】【总结升华】求最大公约数通常有两种方法：一是辗转相除法；二是更相减损术，对于3个数的最大公约数的求法，则是先求其中两个数的最大公约数m，再求m与第三个数的最大公约数．同样可推广到求3个数以上的数的最大公约数．类型二：秦九韶算法例3．已知一个一元五次多项式为，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值．【思路点拨】可根据秦九韶算法原理，先将所给的多项式进行改写，然后由内向外逐层计算即可．【答案】17255.2【解析】(x⃞=5x+2x'+3.5x2-2.5x2+1.7x-0.8v=27×5+3.5=138.5，24v5=3451.2×5－0.8=17255.2．【总结升华】利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写，结果的准确性．【变式1】用秦九韶算法求多项式f(x⃞)=【答案】1397【解析】.的值时，需做加法和乘法的次数和是()【答案】C【解析】．类型三：进位制【答案】1010111=2×(2×(2×(2×(22+1)+0)+1)+1)+1=…=1010111．【总结升华】（1）本题的算法叫除2取余法．上述解法可以推广到把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法．（2）本题还可以用下面的除法算式表示如图：把上式各步所得的余数从下到上排列，得87=1010111．（2）把十进制数48转化为二进制数．（2）将十进制数48转化为二进制数的除法算式如图所示．把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到48=110000．注意避免．例5．把下列各数化为十进制数．（34）【总结升华】k进制数转化为十进制数的方法是把k进制数表示为各位上的数字与k的幂的乘积之和，从右边起，第i位数字对应k的幂为,那么在五进制中,那么在五进制中数码2004折合成十进制为()【答案】B【答案】110000【解析】将十进制数48转化为二进制数的除法算式如图所示．把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到48=110000．【巩固练习】【巩固练习】2．用辗转相除法求得459和357的最大公约数是().3.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x8+5x'+3x2+2当x=4时的值4．用秦九韶算法计算j(x⃞=6x-4x*+x'-2x2-9x，需要加法（或减法）与乘法运算的次数分别为().5.用秦九韶算法计算多项式je6．把67转化为二进制数为().（2222）8.下列各数中最小的数是().9．将383化成四进位制数的末位是。72,120,15810.三个数的最大公约数是。72,120,15812.已知函数，用秦九韶算法求的值.324,243,13513.用辗转相除法或者更相减损术求三个数的最大公约数.324,243,13514.把“五进制”数转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数。【答案与解析】【答案与解析】九韶算法求多项式f(x)=7x8+5x'+3x2+2当x=4时的值时，先算的是7×4+6=34。【解析】n次多项式当最高次项的系数不为1时，需进行n次乘法，若各项均不为零，则需进行n次加法（或减法），缺一项就减少一次加法（或减法）运算，而这个五次多项式与【解析】,然后由内向外计7.【答案】C（64）3+19.【答案】1【解析】，末位是第一个余数，注意：余数自下而上排列10.【答案】24120=?2x1+48,72=48xl+24,48=24x2,168=24x了【解析】2+7r+5=125，得12.【答案】9756【解析】根据秦九韶算法，我们需要处理多项式的系数，以及最高次项的系数，该多项式函数没有中间的三次项，应该把多项式变形为f(x⃞=x"+0xx"-2x2-5x+6再处理13.【答案】27【解析】324=243×1＋81243=81×3＋081=54×1＋2754=27×2＋0所以，三个数324、243、135的最大公约数为27.另法324-243=81,243-81=162,12-81=81;135-1=54,81-54=27?,54-2?=2?:27为所求.14.【答案】194302【解析】【学习目标】1.通过实例体会算法的思想，了解算法的含义.2.理解流程图的3种基本逻辑结构：顺序结构、选择结构和循环结构.能用这3种基本结构设计简单的算法流程图.会用上述基本语句描述简单问题的算法过程.4.通过算法案例的学习，加深对算法的理解.5.初步形成“算法思维”，提高逻辑思维能力，培养学生的理性精神和实践能力.6.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.【知识网络】【要点梳理】（1）古代定义：指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。（2）现代定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。（3）应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。①指向性：能解决某一个或某一类问题；②精确性：每一步操作的内容和顺序必须是明确的；算法的每一步都应当做到准确无误，从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确.“前一步”是③有限性：必须在有限步内结束并返回一个结果；算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.④构造性：一个问题可以构造多个算法，算法有优劣之分。（1)用自然语言表示算法:优点是使用日常用语,通俗易懂；缺点是文字冗长,容易（2)用程序框图表示算法：用图框表示各种操作，优点是直观形象,易于理解。要点诠释：泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定以问题为载体。要点二：流程图流程图，是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符合表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序。开始/结束框输入/输出框处理框含义用于表示算法的开始与结束用于表示数据的输入或结果的输出描述基本的操作功能，如“赋值”操作、数学运算等判断框 流程线——修连接点注释框表示流程的路径和方向用于连接另一页或另一部分的框图框中内容是对某部分流程图做的解释说明(3)除判断框图外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框是具有超过(4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（1)顺序结构：由若干个按从上到下的顺序依次进行的处理步骤（语句或框）组成。这是任何一个算法都离不开的基本结构。（2)条件结构：算法流程中通过对一些条件的判断，根据条件是否成立而取不同的分支流向的结构。它是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。（3)循环结构：根据指定条件，决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环要点三：基本算法语句程序设计语言由一些有特定含义的程序语句构成，与算法程序框图的三种基本结构相对应，任何程序设计语言都包含输入输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句。以下均为其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。每次运行程序时，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开，但最后的变量的后面同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。（1）输出常量，变量的值和系统信息；（2）输出数值计算的结果。用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。它的一般格式是：变量=表达式赋值语句中的“=”叫做赋值号。先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值②赋值号左右不能对换。如“A=B”与“B=A”的含义运行结果是不同的。④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。4.条件语句算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它的一般格式是IF-THEN-ELSE格式）语句1ELSE语句2当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THENIF条件THEN语句就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。要点诠释：条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构，即WHILE语句和WHILE条件循环体WEND其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行DO循环体LOOPUNTIL条件要点诠释：当型循环在进行循环前对控制条件进行判断，当条件满足时就反复循环，不满足就停止；直到型循环在进行一次循环后，对控制条件进行判断，当条件不满足时就反复循环，满足就停止。1．算法与框图是新课标教材中新增的内容，但也曾与其它板块知识结合出现在前几年基本结构为主，多以选择题、填空题的形式呈现。掌握算法基本语句的使用。3．仔细审题．在画流程图时首先要进行结构的选择，套用公式．若求只含有一个关系的解析式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断后才能执行后继步骤的，就必须引入选择结构；如果问题里涉及了许多重复的步骤，且数之间有相同的规律，就可引入变量，应用循环结构．当然应用循环结构里边一定要用到顺序结构与选择结构．循环结构有两种：直到型和当型，两种都能解决问题．要点四：算法案例1.利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：(1)用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数；商和一个余数；(3)若=0，则为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数除以余数得到一个依次计算直至=0，此时所得到的即为所求的最大公约数.2.更相减损术(2)以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数.用秦九韶算法求一般多项式f(x)=axn+axn-1+….+ax+a当x=x时的值.把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求v1=anx+an-1v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3nn-10的值的过程.进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行计数.我国古代数学发展的主导思想，就是构造“算法”解决实际问题.通过对这些案例的阅读、理解，同学们可以体会它们蕴含的算法及其思想.【典型例题】类型一：算法的含义例1.在《张丘建算法》中有一个很有影响的不定方程问题，即“百钱买百鸡”，其意思【思路点拨】则(3)解不定方程，应先固定一个变量的值，然后其他两个变量的值一一列举如x=0，y=0，z=100y=1，z=99y=33，z=67当x=1时，再对y，z的值进行一一列举，直到y，z的值一一列举完，再取x=2，重复进行上述过程.这时x，y，z是一组满足“百鸡”的解是否也满足“百钱”还当检验，满足则为解，否则删除.【解析】whilex<=20whiley<=33if5*x+3*y+z/3=100【总结升华】本题是解一个不定方程问题，在先确定x值后，列举出y、z的所有可能情况，重复进行检验x、y、z的值是否满足5x+3y+z/3=1=100，满足则为解，否则不是.S3输入一个学生的成绩G．S5n＝n+1．【总结升华】该题中实际是用到了算法的条件结构和循环结构，条件结构用于判断分数是否小于60；循环结构用于控制输入成绩的次数．【变式2】写出打印九九乘法表的程序框图及程序.【答案】WHILEWHILEWENDWENDEND类型二：流程图例2.写出解方程axth=0的相应程序及程序框图。【思路点拨】因为，解方程ax+b=0时需要先对最高次项的系数是否为若u=0，则需要再次判断是否为0，若b=0，则方程的解为全体实数，据此可以用条件语句来实现。IFa<>=0THENPRINTPRINTELSEIFb<>=0THENPRINT“方程无实数根”ELSEPRINT“方程的根为全体实数”END【总结升华】在写出算法时，应当对所要解决的问题有深入、全面的了解；条构的运用与分类讨论的数学思想密切相连；设计算法时，什么地方要进行分类讨论，什么地方就要用条件分支结构。【变式1】指出下列程序框图的运行的结果．【变式2】如图5的算法功能是；输出的结果为；it2=．【答案】积为624的相邻两个整数，24，26【变式3】已知函数(x)=2x-，以下程序框图(图6)表示的是给定值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填，②处应填．【答案】y=2x-1类型三：输入、输出、赋值语句的应用例3.阅读下列程序，并回答问题．（1）中若输入1，2，则输出的结果为_______；（2）中若输入3，2，5，则输出的结果为_______．【解析】分别将输入的值代入程序中逐步计算即可，要注意赋值前后变量值的变化．又根据语句B=B―A，可得B=―3，又C=C／A*B，所以输出结果为C=―3．【总结升华】赋值语句在给变量赋值时，先计算赋值号右边的式子然后赋值给赋值号左边的变量；另外可以给一个变量先后多次赋不同的值，但变量的取值只与最后一次赋值有【变式】写出下列语句描述的算法的输出结果．类型四：条件结构例4.已知函数，写出求该函数的函数值的算法并画出程序框【思路解析】分析算法→写出算法选择合适的逻辑结构→画出程序框图。第一步：输入X；y=2x-3第二步：如果，那么使y=2x-3第三步：输出y。判断框，要根据题目的要求引入判断框的个数，而判断框内的条件不同，对应的框图中的内容或操作就相应地进行变化.【变式】写出解方程【解析】第一步：判断是否等于0如果uzo，则解得x=-b；如果uzo，则执行第二步；的一个算法，并画出程序框图。第二步：计算；第四步：输出方程无实数根的信息或、。类型五：循环结构例5.设计算法求的值，并画出程序框图。（2）设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法。i=l;第二步：若成立，则执行第三步；第三步：第四步：i=i+1，返回第二步。方法二：直到型循环程序框图：【总结升华】利用循环结构表示算法，一定要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开【变式】设计一个计算10个数的平均数的算法，并画出程序框图.第一步，令S＝0.第三步，输入一个数G.第四步，令S＝S＋G.第七步，令A＝S/10.第八步，输出A.据上述算法步骤，程序框图如图.类型六：算法案例(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.【总结升华】(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法用较大的数除以较小的数，直到大数被小数除尽结束运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是用两数中较大的数减去较小的数，直到所得的差和较小数相等较小数就是这两个数的最大公约数.一般情况下，辗转相除法步骤较少，而更相减损术步骤较多，但运算简易，解题时要灵活运用.(2)两个以上的数求最大公约数，先求其中两个数的最大公约数，再用所得的公约数与其他各数求最大公约数即可.＝－【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n次.x=x0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得．按照从内向外的顺序依次进行.＝－v 【总结升华】秦九韶算法是多项式求值的最优算法，特点是：(1)将高次多项式的求值化为一次多项式求值；(3)步骤重复实施，能用计算机操作.秦九韶算法的原理是.【变式】用秦九韶算法计算多项式时的值时，需做加法和乘法的次数和是()【答案】C【解析】在x=0.4.【思路点拨】将k进制数转换为十进制数，关键是先写成幂的积的形式再求和，将十进制数转换为k进制数，用“除k取余法”，余数的书写是由下往上，顺序不为m进制(k，m≠10)，可以用十进制过渡所以136=10001000．所以1234=3412．【总结升华】（1）应注意搞清每一次除法中的被除数、除数，当商为零时停止除法，把每步所得的余数倒着排成一个数，就是相应的二进制数．（2）十进制数转化为七进制数与转化为二进制数的方法类似，要认真体会其原理．【解析】具体的计算方法如下：(3).【变式2】在十进制中，，那么在五进制中数码2004折合成十进制为()【答案】B【巩固练习】1．下列给出的赋值语句中正确的是()A.4=MB.M=－MC.B*A=3D.x+y=02．在如下图所示的算法流程图中，输出S的值为()A.11B.12C.13D.153．右边程序执行后输出的结果是()4.右边程序运行后输出的结果为()5．下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()6．下图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是()7．如果执行下面的程序框图，那么输出的S=()A．2500，2500B．2550，2550C．2500，2550D．2550，2500`72,120,1589．三个数的最大公约数是_________________．72,120,15810．若输入8时，则下列程序执行后输出的结果是.12．右图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是____________．13．用秦九韶算法求多项式当x=3时的值．14．编写一个程序，输入正方形的边长，输出它的对角线长和面积的值．15.画出为求1～1000的所有的偶数的和而设计的一个程序框图．【答案与解析】【解析】赋值语句的左边只能是一个变量．【解析】由题意知：S=0+3+4+5=12．3.【答案】D5+4+3+2<15,5+斗+3+2+1=15【解析】4.【答案】D【解析】【解析】依据题意可知，输出的结果应该是A十A;十A十AZ，由于i的初始值为4，因此判断框中应该填ix8．【解析】依据题意可知【解析】这是一个用循环结构设计的程序框图，9.【答案】24120=72x1+48,72=48xl+24,48=24x2,168=24x了【解析】10.【答案】0.7【解析】当t=8时，满足c=0.2+0.1(t－3)，则c=0.7.12.【答案】i>10PRAT"=";⃞,"S=";S【学习目标】1、了解简单随机抽样的概念，掌握实施简单随机抽样的常用方法：抽签法和随机数表2、了解系统抽样的意义，并会用系统抽样的方法从总体中抽取样本；3、了解分层抽样的概念与特征，清楚简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别和联系.【要点梳理】要点一、简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回.我们在抽样调查中用的是不放回抽取.一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本.(2)简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N；(3)从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作；(5)每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性.抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便，若标号的纸片或小球搅拌得不均匀还可能导致抽样的不公平.②把这N个号码写在形状、大小相同的号签上；③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；④从箱中每次抽取一个号签，连续抽取n次；⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的n个个体取出.要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…,9这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性.①将总体的个体编号(每个号码的位数一致)；②在随机数表中任选一个数字作为开始；③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的数码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止.①选定开始数字，要保证所选数字的随机性；②确定读数方向获取样本号码时，读数方向可向左、向右、向上、向下，样本号码不能重复，否则舍去.1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法.如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型.3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开来，避免在解题中出现错误.要点二、系统抽样当总体中的个体比较多时，将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法称为系统抽样，也称作等距抽样.(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统(3)预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.(1)采用随机的方法将总体中的N个个体编号；(2)将编号按间隔分段，当是整数时，取，当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数能被整除，这时取，并将剩下的总(3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号；(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将编号为的个体取出.1、从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想.2、系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样.要点三、分层抽样当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.(1)适用于总体是由有明显差别的几部分组成时的情况；(2)分层抽样对各个个体来说被抽取的可能性相同.(2)在各层抽样时，可灵活地选用不同的抽样方法.(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(各层可以按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)(1)分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则.(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.2、分层抽样是当总体有差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，而层之间的样本差异要大，且互不重叠.(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样.(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.3、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法.要点四、三种抽样方法的比较类别简单随机抽样系统抽样分层抽样共同点各自特点相互联系(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取将总体均分成几部分按将总体均分成几部分按事先确定的规则在各部分抽取将总体分成层，分层进行抽取各层抽样采用简单随机抽样或系统抽样各层抽样采用简单随机抽样或系统抽样适用范围总体中个体数较少总体中个体数较多总体由差异明显的几部分组成【典型例题】类型一：简单随机抽样（2）仓库中有l万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；（4）一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个（2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．（3）不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．（4）是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．【总结升华】要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样．关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点1）总体的个数有限2）逐个抽取3）是不放回的抽取4）每个个体被抽到的可能性必须是相同的．（1）某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动．（2）从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验．（3）一小孩从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件【解析】（1）不是简单随机抽样．因为这不是等可能抽样．（2）不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．（3）不是简单随机抽样．因为这是有放回抽样．用抽签法设计抽样方案．第二步：将号码分别写在形状、大小相同的纸条上，揉成团，制成号签；第三步：将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；第四步：从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号：第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．【总结升华】一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当样本容量和总体容量较小时可用抽签法．【变式1】一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随【解析】第一步：将试题的编号01～47分别写在形状、大小相同的纸条上，将纸条揉成团制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在三个不透明的袋子中，充分搅匀．第二步：从装有物理题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号．这便是所要回答的三门学科问题的序号．），【解析】使用随机数表法步骤如下：第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，任选一个方向作为读数方向，例如选出第9行第7列的数3，向右读；第三步，从选定的数3开始向右读，每次读取三位，凡不在000～119中的数跳过去不【总结升华】用随机数表法抽取样本，编号时要注意使号码的位数相同．如本题将个则先在随机数表中选定一个数，如第5行第9列的数字6，从6开始向右连续读取数字，以则对应此号的学生就是被抽取的个体；如果所抽取的数字大于1200，而小于或等于2400，则减去1200，剩余数字即是被抽取的学生号码；如果所抽取的数字大于2400，而小于或等于3600，则减去2400；依此类推．如果遇到相同的号码，则只留取第一次读取的数字，其【变式2】要从10架钢琴中抽取4架进行质量检验，请你设计抽样方案．第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第3第三步，从数“2”开始，向右读，每次读取1位，重复数字只记录一次，依次可得到第四步，以上号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．第四步，从袋子中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．第五步，所得号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．【总结升华】（1）将钢琴编号从0开始，10架钢琴用0—9就可表示，这样总体中的所有个体可用一位数表示，便于使用随机数表．（2）用抽签法抽样关键是将号签搅匀．类型二：系统抽样例4．下列抽样中不是系统抽样的是().号，再将号码为i0+5，i0+10的球也抽出B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5min抽取一件产品进行检验C．弄某项市场调查，规定在商店门口随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止来座谈【答案】C体．判断一种抽样是不是系统抽样，首先看是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体按事先规定的条件等可能入样，再看抽样过程中是否将总体分成了几个均衡的部分，是否在每个部分中进行简单随机抽样．本题C显然不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法也不能保证每个个体等可能入样，总体也没有分成均衡的几部分，故C不是系统抽样．【总结升华】系统抽样的特点：①适用于总体容量较大的情况；②剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；③是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n／N．【变式1】下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是()B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C．从某厂生产