电路理论基础（第三版） 课件 第14章 网络方程的矩阵形式

第十四章网络方程的矩阵形式

本章介绍网络的矩阵描述和网络方程的矩阵形式。首先介绍基本回路和基本割集的概念，然后介绍描述网络拓扑性质的几个基本矩阵:关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵，推出两类约束条件的矩阵形式，并在此基础上导出节点方程、回路方程和割集方程的矩阵形式。本章内容是大规模电路计算机辅助分析的基础。14.1基本回路和基本割集14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵14.3节点分析法和节点方程的矩阵形式14.4回路分析法和回路方程的矩阵形式14.5割集分析法和割集方程的矩阵形式14.1基本回路和基本割集

本章介绍网络的矩阵描述和网络方程的矩阵形式。首先介绍基本回路和基本割集的概念，然后介绍描述网络拓扑性质的几个基本矩阵:关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵，推出两类约束条件的矩阵形式，并在此基础上导出节点方程、回路方程和割集方程的矩阵形式。本章内容是大规模电路计算机辅助分析的基础。14.1.1基本回路

第3章中简单介绍过网络的有向图、树、树支和连支、独立节点及独立回路的概念。一个含有b条支路、n个节点的连通图，对于其任一个树，树支数为n-1，连支数为l=b-n+1。网络的独立节点数与其树支数相同，独立回路数与其连支数相同。网络有向图中各箭头方向表示各支路电流和电压的参考方向，简称为支路方向。

第3章中介绍过选择独立回路的多种方法，下面介绍一种更系统的、更便于计算机使用的选择方法———基本回路法。

选定连通图的一个树，根据树的定义，在树的基础上再加上任一条连支都会构成一个回路，即每一连支和若干树支可构成一个回路。这种回路称为基本回路或单连支回路。l条连支对应l个单连支回路，称为基本回路组。基本回路组中各回路含有不同的连支，因此基本回路组是独立回路组，它们的KVL方程是相互独立的。14.1基本回路和基本割集

例如，对图14-1(a)所示的网络，若选定其一个树为图14-1(b)所示，则该网络的三个基本回路如图14-1(c)、(d)和(e)所示。图14-1基本回路示例

显然,基本回路与所选择的树有关。14.1基本回路和基本割集14.1.2基本割集

连通图G的一个割集Q定义为该图的一个支路集合，它满足以下两个条件:(1)若将Q的全部支路移去，则图G将分离为两部分(两部分各自是连通的);(2)少移去Q中任一条支路，则G仍是连通的。

可通过作闭合面找图的割集。在图G上作一条包围一个或若干个节点的封闭曲线(闭合面)，该曲线将图G分成两部分，一部分在曲线内部，另一部分在曲线外部。若内外两部分的图分别是连通的，则该闭合面切割的支路集合就是图G的一个割集。14.1基本回路和基本割集

例如图14-2(a)所示闭合面(虚线表示)所切割的支路集合(b、d、e、f)是一个割集,因为将这些支路移去后,图将会成为两个分离的部分,如图14-2(b)所示。但图14-2(c)所示闭合面所切割的支路集合(d、e、g、h)却不是一个割集,因为将这些支路移去后,图将会成为如图14-2(d)所示三个分离的部分。图14-2说明割集用图

将某割集支路去掉后,原连通图分成两部分,若将其中一部分看作“广义节点”,则可选定“指向”或“背离”该广义节点的方向为该割集的方向。例如,图14-2(a)中,封闭曲线处的箭头表示选定的割集Q1的方向。

由于KCL不仅适用于节点,还适用于任一闭合面,因此属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。即:集总参数电路中,在任一时刻,任一割集的所有支路电流代数和为零。其中,参考方向与割集方向一致的支路电流取正号,相反的取负号。例如,在图14-2(a)中,割集Q1的KCL方程为-ib–id+

ie-if=0将图中闭合面所包围的节点①和节点②的KCL方程相加,也可得到上式,这说明割集KCL方程是节点KCL方程的线性组合。若某闭合面只包围一个节点,则所对应的割集就是该节点所连接的支路集合,该割集的KCL方程就是该节点的KCL方程。即节点方程是割集方程的特例。14.1基本回路和基本割集

对连通图的每个割集可列出一个KCL方程，但这些方程并不都是独立的。若一组割集的KCL方程是独立方程，则该组割集称为独立割集。最多可获得多少个独立割集呢?由于割集方程的集合包含节点方程，因此其中至少有n-1个独立方程;另一方面，由于任一割集方程都是节点方程的线性组合，由线性代数理论可知，独立割集数不大于独立节点数n-1。以上分析可知，最多可获得的独立割集数与独立节点数相同，即等于网络的树支数n-1。

怎样获得n-1个独立割集呢?方法之一是选择n-1个独立节点;方法之二是每选择一个割集，让该割集包含一条新支路，选满n-1个为止;方法之三是采用基本割集法。基本割集法是一种系统的、便于用计算机辅助分析的方法。

对一个含有b条支路、n个节点的连通图G，选定其一个树，根据树的定义，在树中去掉任一条树支，都会将该树分离成两个连通的部分，这说明去掉任一条树支和足够多的连支，可将图G分离成两部分。即每一树支和若干连支可构成一个割集，这样的割集称为基本割集或单树支割集。n-1条树支对应n-1个单树支割集，称为基本割集组。基本割集组中各割集含有不同的树支，因此基本割集组是独立割集组。14.1基本回路和基本割集

例如，对前面图14-1(a)所示网络，若选定其一个树为图14-1(b)所示，支路1、2、3为树支，则三条树支对应的三个基本割集分别如图14-3(a)、(b)、(c)中虚线所示。图14-3基本割集示例基本割集与所选择的树有关。14.1基本回路和基本割集

网络的拓扑结构可用矩阵描述，以便于计算机识别和处理。本节介绍关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵以及用它们表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。14.2.1关联矩阵

若一条支路与某两节点连接，则称该支路与这两个节点相关联。支路与节点的关联关系可用关联矩阵描述。关联矩阵与网络的有向拓扑图一一对应。一个节点数为n、支路数为b的有向图，其关联矩阵Aa是一个n×b阶的矩阵。Aa的每一行对应着一个节点，每一列对应着一条支路。它的第i

行、第j列的元素aij定义如下:(1)若支路j与节点i

无关联，则aij=0；(2)若支路j与节点i

有关联，且它的方向背离该节点，则aij=1；(3)若支路j与节点i

有关联，且它的方向指向该节点，则aij=-1。14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵

例如，图14-4所对应的关联矩阵为（14-1）图14-4关联矩阵示例14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵14.2.2回路矩阵

若一个回路由某些支路组成，则称这些支路与该回路相关联。支路与独立回路的关联关系可用独立回路矩阵描述。独立回路矩阵简称为回路矩阵。

一个节点数为n、支路数为b的有向图，其独立回路数为l=b-n+1。其回路矩阵B是一个l×b阶的矩阵，B的每一行对应着一个独立回路，每一列对应着一条支路，它的第i行第j列的元素Bij定义如下:(1)若支路j与回路i

无关联，则bij=0；(2)若支路j与回路i

有关联，且支路方向与回路绕行方向相同，则bij=1；(3)若支路j与回路i

有关联，且支路方向与回路绕行方向相反，则bij=-1。14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵

例如，图14-5所示网络，若选择三个网孔作为独立回路，回路绕行方向如图中虚线所示，则所对应的回路矩阵为

若所选独立回路组为基本回路组，则对应的回路矩阵称为基本回路矩阵，用Bf表示。若支路编号采取先连支后树支的次序，且将连支序号作为其所在基本回路的序号，将连支的支路方向作为其基本回路的方向，则Bf中将出现一个l阶的单位子矩阵，即有Bf=[1l Bt]（14-3）图14-5回路矩阵示例14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵式中，下标l和t分别表示与连支和树支对应的部分。例如在图14-5中，若取支路4、5、6为树支，则支路1、2、3为连支。对应的三个基本回路如图14-6所示，基本回路矩阵为图14-6基本回路矩阵示例14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵

将网络的b条支路的电压用一个b阶列向量ub表示，称为支路电压向量，即若用回路矩阵B左乘支路电压向量，则乘积是一个l阶列向量，根据回路矩阵B的定义及矩阵乘法规则，可得该列向量的每一个元素等于每一对应回路中各支路电压的代数和。根据基尔霍夫电压定律，有Bub=0（14-4）上式即独立回路KVL方程的矩阵形式。例如，对图14-5所选独立回路，有

由于独立回路的KVL方程是独立方程组，因此网络的(独立)回路矩阵B是行满秩矩阵。14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵14.2.3割集矩阵

若一个割集由某些支路组成，则称这些支路与该割集相关联。支路与独立割集的关联关系可用独立割集矩阵描述。独立割集矩阵简称为割集矩阵。

一个节点数为n、支路数为b的有向图，其独立割集数为n-1，每一个独立割集有一个指定方向。其割集矩阵Q是一个(n-1)×b阶的矩阵，Q的每一行对应着一个独立割集，每一列对应着一条支路，它的第i

行第j列的元素qij定义如下:(1)若支路j与割集i

无关联，则qij=0；(2)若支路j与割集i

有关联，且支路方向与割集方向相同，则qij=1；(3)若支路j与割集i

有关联，且支路方向与割集方向相反，则qij=-1。14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵

例如，图14-7所示网络，若选择三个独立割集如图中虚线所示，则所对应的割集矩阵为

若所选独立割集组为基本割集组，则对应的割集矩阵称为基本割集矩阵，用Qf表示。若支路编号采取先连支后树支的次序，且按树支的先后次序给各基本割集编号，将树支的支路方向作为其所在基本割集的方向，则Qf中将出现一个n-1阶的单位子矩阵，即有Qf=[Ql

1t]（14-5）图14-7割集矩阵示例14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵

式中，下标l和t分别表示与连支和树支对应的部分。例如，在图14-7中，若取支路4、5、6为树支，则对应的三个基本割集如图14-8所示。基本割集矩阵为图14-8基本割集矩阵示例14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵14.2.4矩阵A、B、Q之间的关系

14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵14.3节点分析法和节点方程的矩阵形式

本节及后面两节以正弦电流电路为例，讨论线性电路各种分析法的矩阵方程，所讨论的电路中不含受控源。

节点分析法以节点电压为变量列方程，对于大规模电路，将基尔霍夫定律及元件特性采用矩阵方程表达，可推出节点方程的矩阵形式。

对于有n个节点、b条支路的正弦电流电路，将其n-1个节点电压用一个n-1阶列向量Un表示，称为节点电压向量，即由于每条支路的支路电压等于它所关联的两个节点的节点电压之差，而关联矩阵A的每一列，即矩阵AT的每一行，表示对应支路与节点的关联关系，因此，支路电压向量Ub与节点电压向量Un的关系可表示为（14-14）14.3节点分析法和节点方程的矩阵形式

为便于写出支路特性的矩阵方程，定义电路中的复合支路如图14-9所示。图14-9复合支路

图中Zk为该支路的阻抗，Isk和Usk分别为该支路中独立电流源的电流相量和独立电压源的电压相量。该支路的伏安关系可表示为Uk=Zk(Ik-Isk)+Usk

（14-15）或

Ik=Yk(Uk-Usk)+Isk

（14-16）式中，Yk=Zkˉ¹，为该支路的导纳。14.3节点分析法和节点方程的矩阵形式

若电路中无受控源和耦合电感，则电路中的一般支路均可看作图14-9所示复合支路的特例，各支路的方程都有(14-15)式或(14-16)式的形式，电路所有支路的伏安关系可用矩阵形式表示为

Ub=Z(Ib-Is)+Us

（14-17）

或

Ib=Y(Ub-Us)+Is

（14-18）其中，Z、Y分别是支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵；Is和Us分别是支路电流源向量及支路电压源向量。它们分别定义为（4-19）14.3节点分析法和节点方程的矩阵形式

正弦电流电路中，(14-2)式表示的节点KCL方程矩阵形式可写作：AIb=0（14-20）将(14-18)式、(14-14)式代入上式，化简可得Un=AYUs-AIs

（14-21）上式即矩阵形式的节点方程，可简写作：YnUn=Jn

（14-22）其中，Yn= ，称为节点导纳矩阵；Jn=AYUs-AIs，称为节点电流源向量。由上式求出n-1个节点电压后，可根据(14-14)式和(14-18)式求得支路电压向量Ub和支路电流向量Ib。14.3节点分析法和节点方程的矩阵形式

例14-1求如图14-10(a)所示网络的矩阵形式节点方程。图14-10例14-1题图及其拓扑图14.3节点分析法和节点方程的矩阵形式14.3节点分析法和节点方程的矩阵形式14.3节点分析法和节点方程的矩阵形式14.4回路分析法和回路方程的矩阵形式

回路分析法以回路电流为变量列方程，对于有n个节点、b条支路的正弦电流电路，将其l=b-n+1个独立回路电流用一个l阶列向量Il表示，称为回路电流向量，即Il=[Il1

Il2…Il(b-n+1)]若所选独立回路为基本回路，则回路电流向量即连支电流向量。

由于各支路电流等于它所关联的所有独立回路的电流之代数和，而回路矩阵B的每一列，即矩阵B

的每一行，表示对应支路与独立回路的关联情况，因此，按照矩阵的乘法规则不难得出，支路电流向量Ib与回路电流向量Il的关系可表示为Ib=B

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