专题01 一元二次方程的概念及其解法5大题型-备战2024-2025学年九年级数学上学期期末（河南专用）

PAGE1PAGE2专题01一元二次方程的概念及其解法5大题型题型一一元二次方程的一般形式1．（23-24九年级上·河南周口·期末）一元二次方程常数项为（

）A． B．3 C．100 D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫作一次项系数；c叫做常数项，据此可得答案．【详解】解：一元二次方程常数项为，故选D．2．（22-23九年级上·河南濮阳·期末）将方程化成一般形式，其一次项系数是（

）A．−7 B．2 C． D．7【答案】C【分析】根据一元二次方程一般形式解答即可．【详解】解：化成一元二次方程一般形式是，它的二次项系数是2，一次项系数是，常数项是−7，故选：C．3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）方程化为一般形式后，常数项为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】把原方程化为一般式，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴常数项为．故选：D4．（22-23九年级上·河南郑州·期末）方程化为一般形式后的一次项系数、常数项分别是（

）．A．， B．，10 C．8， D．10，8【答案】A【分析】先把方程化为一般式为，然后确定一次项系数和常数项．【详解】解：方程化为一般式为，所以一次项系数、常数项分别是，．故选：A．5．（21-22九年级上·河南郑州·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（

）A．和 B． C． D．【答案】D【分析】根据的形式去判断即可．【详解】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是，故选D．6．（21-22九年级上·河南南阳·期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式去括号，进而得出答案．【详解】解：，去括号得：x2-5+4x2-4x+1=0，整理得：5x2-4x-4=0．故选：B．7．（20-21九年级上·河南平顶山·期末）方程（x+2）（3x﹣1）＝6化为一般形式后，常数项为（）A．6 B．﹣8 C．2 D．﹣4【答案】B【分析】利用多项式乘法法则展开，合并同类项，按降幂排列化为一元二次方程一般式，按定义，不含未知数的项是常数项即可确定．【详解】（x+2）（3x﹣1）＝6，，，，常数项是-8，故选择：B．8．（22-23九年级上·河南信阳·期末）一元二次方程（x－2）（x＋3）＝2x＋1化为一般形式是．【答案】x2－x－7＝0．【分析】把方程化为ax2+bx+c=0的形式即可求解．【详解】解：（x-2）（x+3）=2x+1，去括号得x2+3x-2x-6=2x+1，移项得x2+3x-2x-6-2x-1=0，合并同类项得x2-x-7=0．故答案为：x2-x-7=0．题型二一元二次方程的解与参数9．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．2022【答案】A【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键．【详解】解：是方程的一个根，，即，，故选：A．10．（23-24九年级上·河南漯河·期末）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解以及已知式子的值，求代数式的值：先把代入，得，再把代入，即可作答．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴把代入，得，则故选：A11．（23-24九年级上·河南焦作·期末）关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是（

）A．3或 B．3 C． D．9【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将代入方程即可求解．【详解】解：将代入方程得：，解得：，∵，∴，故选：C．12．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）若是方程的根，则代数式的值为(

)A．1 B．2016 C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义和代数式求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，再根据进行代值计算即可．【详解】解：∵是方程的根，∴，∴，∴，故选B．13．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下：x00.511.525.2513则该方程必有一个根满足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围．【详解】解：∵时，，时，，∴当在1与之间取某一个数时，可使，即方程的其中一个解满足的范围是．故选：B．14．（23-24九年级上·河南周口·期末）根据下列表格的对应值，判断方程．（，、、为常数）一个解的范围是（

）xA． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的图象与直线的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围．【详解】解：函数的图象与直线的交点就是方程的根，由表中数据可知：在与之间，∴对应的x的值在与之间，即．故选：D．15．（23-24九年级上·河南信阳·期末）已知一元二次方程有一个根为，则k的值为．【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把代入一元二次方程得：，，，故答案为：2．16．（23-24九年级上·河南郑州·期末）若是方程的一个根，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可．【详解】解：把代入得：，解得．故答案为：．17．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是．【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：1．18．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）已知a是关于x的方程的一个根，则．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，解决本题的关键是能够根据要求的问题对得到的等式进行变形；将代入方程中，然后将得到的等式进行变形即可求得答案．【详解】a是关于x的方程的一个根，，，故答案为：19．（23-24九年级上·河南周口·期末）当时，关于x的一元二次方程(的一个根是．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，把方程的解代入方程求出a的值，再结合一元二次方程的定义即可求解．【详解】解：把x=0代入方程有：，∴；又∵当时，方程不是一元二次方程，∴，故答案为．题型三配方法解一元二次方程及配方法的应用20．（23-24九年级上·河南南阳·期末）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法，将转化为的形式即可，灵活掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．【详解】解：，，，，∴，故选：．21．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，利用配方法解出方程即可，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．【详解】解：，∴，∴，∴，故选：．22．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）用配方法解方程，则方程可变形为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．【详解】解：，，，，故选D.23．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）将关于的一元二次方程化成的形式，则．【答案】14【分析】先移项，再在方程的两边都加上配方后可求解的值，从而可得答案．【详解】解：∵，移项得：，，，．故答案为：14．24．（22-23九年级上·河南许昌·期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．．解：二次项系数化为1，得，第一步

移项，得，第二步配方，得，第三步变形，得，第四步开方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．【答案】(1)转化思想，完全平方公式(2)三，解答过程见详解【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键．（1）根据解答过程判断依据即可；（2）根据配方法判断即可．【详解】（1）解：中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；故答案为：转化思想，完全平方公式；（2）解题过程，从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下：解：，，，，，解得，．25．（23-24九年级上·河南新乡·期末）计算：(1)；(2)配方法解方程：．【答案】(1)；(2)，【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则和解题步骤是解题关键．（1）先计算乘方和二次根式，再合并同类项即可；（2）利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：；（2）解：，，，，或，解得：，．26．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）阅读与思考：【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如：求代数式的最小值．，可知当时，有最小值，最小值是．再例如：求代数式的最大值．，可知当时，有最大值．最大值是．(1)求的最小值为_____，的最小值为_____；(2)若多项式，试求M的最小值；(3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积．【答案】(1)6；(2)(3)围成的菜地的最大面积是【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．（1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为；（2）根据，求解作答即可；（3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可．【详解】（1）解：∵，∴当时，有最小值6；∵，∴当时，代数式有最小值，最小值为，故答案为：6，；（2）解：∵，∴当时，M有最小值，最小值为；（3）解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，∴当时，S有最大值，最大值是，∴围成的菜地的最大面积是．27．（22-23九年级上·河南南阳·期末）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值．(1)代数式有最小值时，___________；(2)代数式的最小值是___________；(3)【探究】求代数式的最小值，小明是这样做的：．当时，代数式有最小值，最小值为2．请你参照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时的值．【答案】(1)3(2)5(3)最小值为，【分析】（1）根据求解；（2）根据是非负数进行求解；（3）通过配方法求解；【详解】（1）解：，，故答案为：3；（2），，最小值是5，故答案为：5；（3），当时，代数式有最小值，最小值为．题型四公式法解一元二次方程28．（23-24九年级上·河南开封·期末）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于一元二次方程若有解，则其解为．【详解】解：由题意得：，，，∴该方程为，故选：．29．（22-23九年级上·河南南阳·期末）（1）解方程（2）无论p取何值，关于x的一元二次方程总有两个不等的实数根吗？请给出答案并说明理由．【答案】（1），；（2）方程总有两个不相等的实数根，理由见解析．【分析】本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．（1）根据公式法即可求出答案．（2）根据根的判别式即可求出答案．【详解】解．解（1），，，，则，，（2）方程总有两个不相等的实数根．理由如下：原方程整理得：方程总有两个不相等的实数根．30．（23-24九年级上·河南郑州·期末）在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个一元二次方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①；②；③；④．（注意：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．）【答案】选择③；选择④【分析】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0.方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解，选择条件时要先判断方程是否成立，再求解即可．【详解】解：选①时，，，方程有两个相等的实数根，故①不符合题意；选②时，，，方程没有实数根，故②不符合题意；选择③时，，，，；选择④时，，，31．（23-24九年级上·河南许昌·期末）解方程：

用配方法解方程：(1)；(2)；用公式法解方程：(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键．（1）根据配方法解一元二次方程即可得到答案；（2）根据配方法解一元二次方程即可得到答案；（3）根据公式法解一元二次方程即可得到答案；（4）根据公式法解一元二次方程即可得到答案．【详解】（1）解：，，即，解得，，；（2）解：，，，即，解得，，；（3）解：，，，，，；（4）解：，，，，．32．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查解一元二次方程：（1）先移项，再利用直接开平方法求解；（2）利用公式法求解．【详解】（1）解：，，，，解得，；（2）解：中，，，，，则，解得，．33．（23-24九年级上·河南南阳·期末）（1）计算：；（2）解方程：．【答案】（1）1（2）．【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及解一元二次方程．（1）实数的混合运算，按照实数的混合运算法则计算即可．（2）用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）原式；（2），，解得：．34．（23-24九年级上·河南南阳·期末）计算或解方程：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)，．【分析】（）根据二次根式的除法运算和利用平方差公式运算，然后分母有理化，再合并同类二次根式即可；（）利用公式法求解即可；本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键熟练掌握运算法则和灵活选取适当的方法解方程．【详解】（1）原式，，，；（2），∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴，．35．（22-23九年级上·河南信阳·期末）（1）解方程：；（2）分式化简：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）采用公式法即可求解；（2）根据分式的混合运算法则化简即可．【详解】（1），∴，即，则，；（2）．36．（22-23九年级上·河南南阳·期末）（1）计算：；（2）解方程：(公式法)【答案】（1）0；（2），【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和法则进行计算即可；（2）利用公式法即可求解．【详解】（1）解：（2）解：，，，，37．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是_____，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．（2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过如下：，，，（第一步）．（第二步）∴．（第三步）∴，．（第四步）小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是．（3）请你写出此题正确的解答过程．【答案】（1）；（2）一，方程没有化成一般式；（3），，正确的解答过程见解析【分析】(1)根据配方法解一元二次方程，即可求得；(2)根据公式法解一元二次方程，即可解答；(3)用公式法解此方程，即可求解．【详解】解：（1）当时，由原方程得：，得，得，故，故，故答案为：；（2）由原方程得：，，，，∴小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式．故答案为：一，方程没有化成一般式；（3）方程化为，，，，．∴．∴，．题型五因式分解法求根38．（22-23九年级上·河南南阳·期末）关于x的一元二次方程的根是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案.【详解】解：，∴，则，则或，解得，故选：B39．（22-23九年级上·河南周口·期末）方程的解是（

）A．， B．， C． D．，【答案】A【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．移项后分解因式，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：，去括号，得：，移项，得：，整理，得：，分解因式，得：，解得：，，故选：．40．（23-24九年级上·河南南阳·期末）关于方程的描述，下列说法错误的是（

）A．它是一元二次方程 B．解方程时，方程两边先同时除以C．它有两个不相等的实数根 D．用因式分解法解此方程最适宜【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键．【详解】解：、方程整理得为，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解，故该说法错误，符合题意；、由得：，故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；故选：．41．（23-24九年级上·河南郑州·期末）一元二次方程的正数解是．【答案】2024【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求出方程的解，再判断出正数解即可．【详解】解：∵，∴∴∴∴一元二次方程的正数解是2024，故答案为：2024．42．（23-24九年级上·河南周口·期末）方程的解是．【答案】，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法是解题的关键．根据因式分解法进行计算解答即可．【详解】解：∵，∴，∴，．故答案为：，．43．（22-23九年级上·河南濮阳·期末）对于一元二次方程：，下列是小聪求解的推理过程：解：两边都减，得①两边分别分解因式，得②两边都除以，得③两边都减，得④推理过程，开始出现错误的那一步对应的序号是．【答案】③【分析】根据等式的性质可判断错误．【详解】解：根据等式的基本性质可判断错误．故答案为：．44．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把方程左边利用提公因式法分解因式，然后解方程即可；（2）利用配方法解方程即可