数学-江苏省南通市如皋市2025届高三第一次适应性考试试题和解析（如皋1.5模）

2025年高三适应性考试(一)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，3.在公差不为0的等差数列{a,}中，5.在复平面内，复数z=(sina-2sinß)+(cosα-2cosp)i(i为虚数单位)与点Z(√3,1)对应，则cos(a-β)=()6.已知(1+x)²+(1+x)³+…+(1+x)'=a₀+a,x+a₂x²+…+a,x°,则a₂的值为()A.60B.80C.7.已知一几何体上半部分为圆台PO,下半部分为圆锥SO,其中圆锥SO底面的半径为r,高为h.圆台PO的两底面的半径分别r和,高为2h.该几何体内接于球，则圆台PO的体积为()A.(10+√21)πB.2(10+√21)πc.4(10+√21)π上的一个动点，过点P向椭圆C直线MN恒过定点T,当MT=TN时，直线MN的方程为()A.x+2y-4=0B.x+2y+4=0C.2x-y-4=0二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)9.某市对高三年级学生进行体育测试，其中甲班的成绩X与乙班的成绩A.E(X)=120B.D(Y)=10C.P(X<80)+P(X≤160)=1D.10.把函数f(x)=√3sinox+coswx(0<w<3)的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是()A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于直线对称D.若f(x)在区间上存在极大值点和极小值点，则实数a的取值范围为C.使数列{的前n项的积取最大值时，最大正整数n的值为198D.若数列{的前n项的积大于1成立最大正整数n的值为396,则T,>1的最大正整数n的值为198三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上12.一组从小到大排列的数据：0,1,3,4,6,7,9,x,11,12,若刷去x前后它们的8013.从公比不为1的正项等比数列{a}的前8项中任取三项，则这四、解答题(本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字15.(本小题满分13分)1616(1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；(2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色16、(本小题满分15分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC,面PAC⊥底面ABCD,(1)证明：AB⊥AP;(2)求平面ACP与平面CDP夹角的余弦值.17.(本小题满分15分)已知△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,5(asinA-bsinB)=3csi(2)若;求tanC的取值范围.18.(本小题满分17分)(1)当λ=1时，求函数f(x)与g(x)在公共点处的切线方程；(2)求a的最小值；19.(本小题满分17分)双曲线E,:25x²-9y²=a²(a,>0,i=1,2,….,n),射线L:y=k,x(x≥0)和射线l₂:y=k₂x(x≥0)分别与E₁,E₂,…,E,交于点A,A₂,…,A,和点B,B₂,…,B,.(1)求双曲线E,(i=1,2,….,n)的离心率；(2)作射线l:y=hkx(x≥0)(异于l,l2)与E,E2,…,E,分别交于点P,P₂,…,P,记△AB,P₁的面积为S,(i=1,2,…,n).(ii)若k₁=1,k₂=0,0<k<1,),记证明：南通市2025年高三适应性考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，A.B.C.{a|a≤0}3.在公差不为0的等差数列{a}中，若a₅+a=2a₃,则的最小值为,选B.6.已知(1+x)²+(1+x)³+…+(1+x)⁹=ao+a₁x+a₂x²+…+agz⁹,则a₂的值为为h.圆台PO的两底面的半经分别为r和高为2h.该几何体内接于表面积为A.(10+√21)πB.2(10+√21)πC.4(10+√21)πD.6(10+√21)π和极线，每一对极点与极线是一一对应关系.当P在圆外时，其极线l是椭圆从点P所引分别为M,N,直线MN恒过定点T,当MT=TN时，直线MN的方程为A.x+2y-4=0B.x+2y+4=0C.2x-y-4=0D.2x+y-4=0MN:),即x+2y-4=0,选A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.且X~N(120,9²),Y~N(140,10²),则A.E(X)=120B.D(Y)=C.P(X<80)+P(X≤160)=1D.P(P(X<80)+P(X≤160)=P(X>160)+P(X≤160)=1,CP(X<160)≠P(Y<160),D10.把函数f(x)=√3sinwx+coswx(0<w<3)错.D.若数列{WT}的前n项的积大于1成立最大正整数n的值为396,则Tn>1的最大正整【解析】正项等比数列当且仅当n=99时，T取最大值，则0<q<1T=a₁a₁qa₁q²…a₁q"-¹=alq,Wa₁q⁹⁸>1,T的前197项都大于1,第198项开始可能小于1,第199项后一定小于1∴前197项积最大，C错.{VT}的前n项积a₁q>1成立的最大正整数为396,即,即a₁q⁹⁹<1,a₁q⁸>1,a1q₉8.5>1∴T>1的最大正整数为198,D对，选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一组从小到大排列的数据：0,1,3,4,6,7,9,x,11,12,若删去x前后它们的80百分位数相同，则x=_【解析】原来有10个数据，10×80%=8,原来第80百分位数删去x有9个数据，9×80%=7.2,第80百分位数11,.1,∴x=11.13.从公比不为1的正项等比数列{aπ}的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率【答案】【解析】公比为q有6个结果，公比为q²有4个结果，公比为q³有2个结果14.已知y=f(x)-3x是定义域为R的偶函数，f(x)的导函数f'(x)满足f'(1+x)=f'(1-x),【答案】3【解析】g(x)=f(x)-3x为偶函数，则g'(x)为奇函数，即g'(x)+g'(-x)=0∴f'(x)-3+f'(-x)-3=0,∴f'(x)+f'(-x)=6,即f'(x)关于(0,3)对称，又f'(1+x)=f'(1-x),则f'(x)关于x=1对称，∴f'(x)是周期为4的周期函数四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象.商家通过不断变换花样吸引消费者.某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色(分别记为红色、黄色、蓝色)的某一商品，开出红色、黄色、(1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；第4页，共11页(2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他.为了得到红色商品，求该顾客的平均花费.【解析】方法一：(1)恰好开出两个红色商品的概率.(2)为了得到红色商品，记该顾客打开盲盒的次数为X,X的所有可能取值为1,2,3,X1234P∵每开一个盲盒花1元钱，∴该顾客的平均花费为方法二：(1)记“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件A答：该顾客恰好开出两个红色商品的概率为(2)设该顾客的购买费用为X,X的可能取值有1,2,3,4X1234P16.(15分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC,面PAC⊥底面ABCD,PA⊥AC,PA=BC=2AB=4,∠ABC=60°.(1)证明：AB⊥AP;(2)求平面ACP与平面CDP夹角的余弦值.【解析】方法一：(1)证明：∵平面PAC⊥底面ABCD,平面平面ABCD=ACPAC平面PAC,PA⊥AC,∴PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.(2)∵AB=2,BC=4,∠ABC=60°,∴第5页，共11页∴AB²+AC²=16=BC²,∴BA⊥AC,如图建系.设平面CDP的一个法向量n₁=(x,y,z),而平面ACP的一个法向量n₂=(1,0,0),设平面ACP与平面CDP的夹角为θ设面ACD的一个法向量为m,则m=(1,0,0)设面CDP的一个法向量为n,则n=(x,y,z)D(-1,√3,0),C(0,2√3,0),P(0,0,4),CD=(-1,-√3,0),CP=(0,-cos(m,,因为两平面所成角为锐角，∴面ACP与面CDP的夹角余弦为17.(15分)已知△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,5(asinA-bsinB)=(2)若.求tanC的取值范围.→5sinC·sin(A-B)=3sin²C,∵sinC>0,∴5sin(A-B)=3s→2sinAcosB=8cosAsinB→tanA=∴5sin(A-B)=3sin(A+B),∴5第6页，共11页方法三：由正弦定理得5(a²-b²)=3c²又B18.(17分)若函数f(x)=Alnx(A>0)与函的图象在公共点处有相同的切线.(1)当λ=1时，求函数f(x)与g(x)在公共点处的切线方程；设(xo,yo)为f(x)与g(x)的一个公共点∴f(x)与g(x)在公共点处的切线方程为y=x-1.(2)设P(ro,yo)为f(x)与g(x)的一个公共点，由①→Axo=a>0,∴代入①,第7页，共11页∴h(x)max=h(1)=1,∴1,a≥1,当且仅当xo=1,λ=1时取“=”,∴amin=1.即证：对Vx>0恒成立单调递减；当x>x₀证毕!单调递增设公共点为(