双曲线（教师版）

第页第23讲双曲线1．双曲线的定义平面内动点与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫双曲线的焦距．若点满足，，其中、为常数且，(1)当时，点的轨迹是双曲线；(2)当时，点的轨迹是两条射线；(3)当时，点不存在．2．双曲线的标准方程及性质双曲线的标准方程及性质图形标准方程焦点在坐标轴上时的方程已知双曲线方程为，双曲线方程可性质焦点，，范围[x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴；坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)【例1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，则．又∵，∴，∴是直角三角形．∴．【例2】已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【解析】椭圆的焦点坐标为，，离心率为.由于双曲线与椭圆有相同的焦点，因此.又双曲线的离心率，所以＝eq\f(2\r(7),4)，所以，，故双曲线的方程为.【例3】求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程【解析】双曲线的渐近线方程为设双曲线方程为，又∵在双曲线上，∴，∴所求的双曲线方程是．【例4】（1）双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则等于（2）若方程表示双曲线，则的取值范围是【解析】（1）∵双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,∴，．（2）∵，∴．【变式】（1）若方程表示双曲线，则的取值范围是（2）若方程表示椭圆，则的取值范围是（3）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（4）若方程表示圆，则的值是【解析】（1）∵，∴（2）∵，∴且（3）（4）∵第21课双曲线的课后作业1.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵双曲线标准方程为∴，∴．2.设、分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则()A．5B．3C．7D．3或7【解析】由已知，得||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7或3.故选D.3．已知、，，则动点的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线【解析】因为，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支，又因为，所以点的轨迹为双曲线的右支．故选C.4.双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,∴，．5.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵6.在平面直角坐标系中，若双曲线的焦距为，则________.【解析】因为为双曲线，所以，焦点在轴。，，，又双曲线的焦距为8，，即解得或(舍)．答案：37.根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）双曲线的一个焦点与圆的圆心重合,离心率等于（2）双曲线的焦点是椭圆的长轴上的两个顶点，且过点【解析】（1）由已知圆心坐标为,双曲线的