浙江省2025年重点高中自主招生数学模拟试卷（含答案解析）

浙江省2025年重点高中提前招生针对性练习（附答案）解方程：.若方程恰有3个不同的根，求的值.解方程组：已知实数互不相等，且，求.对于，只有一个实数值满足，求的值.已知关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围.设表示不超过实数的最大整数，令，已知实数满足，求的值.若关于的方程的所有实根均是比1小的正实数，求实数的取值范围是.若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.已知为常数，关于的方程在实数范围内只有一个解，则的取值范围为.已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，求的值.已知，求的值.已知，对于满足条件的一切实数，不等式恒成立，求的最小值.解方程：.设为正整数，方程的两根为，且满足，求的值.设实数满足，，求的值.17.如图，已知扇形AOB的半径OA=3，圆心角∠AOB=,点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE.求证:是定值.18.如图，在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C所对的边分别为，若∠B=3∠C，求证：.19.10名选手参加一次诗词大赛，共有6道试题.根据下列规则记录每道题的分值;这10名选手中，若恰有n名选手没解出来某题，就规定此题分值为n分（n=0,1,2，…，10）.是否存在某位选手比其他选手做出的题目都少，但得分却最多?并说明理由.已知选手甲所得的分数比其他选手都少，求此分数的最大可能值.如图，△ABC中，设点M是边BC的中点，I是△ABC的内心，AH是BC边上的高，直线IM与AH交于点E，内切圆半径为r.求证：AE=r.参考答案解：方程化为.，或（无实数根）..解：方程化为或.或.∵原方程恰有3根不同的根，.解：原方程组化为.（1）×（2）得..，，，.则..解：，，.（舍去）或..解：等式化为.由题意可知：若，即，则；若，则或,则或.综上，，或，或.解：设，则元原方程化为.解得或.或.由题意可得，.解得.,.又，且.且.∴的取值范围为:且，.解：设，则可化为，，解得.∴.解得.经过计算可得=1.解：当时，，符合条件；当时，不符合条件，舍去；当时，方程可化为.，.由题意可得.解得.综上，的取值范围为或.解：设，则方程化为.由题意可知，方程（1）有且只有一个正实根.由（1）解得或.或.解：方程化为.由题意可知方程的解会有2种情况：①无实根，则.解得；②有2个相等的实数根，则.的取值范围为.解：方程化为，,.解得.∴方程的整数解为.分别代入（1），经检验可得解：等式化为.以为主元，，，则得.解：不等式化为.设，则在内恒成立.∴，，则得，.抛物线=的对称轴为直线，.，..的最小值为.解：，当且仅当时，等号成立.又，当且仅当时等号成立.,当且仅当时等号成立.∴原方程的解为.解：设.由题意可得，，.则.当时无解.当时，有. 取，发现符合.的最小值为13.解：等式可化为.设,则.解得或.若，则（无实数解,舍去）；若，则，.证明：作HP⊥CD于P.∵∠AOB=，CD⊥OA，CE⊥OB，∴△DPH∽△DCE.∵DG=GH=HE，∴HP=CE,CP=CD.则==..为定值.证明：设BD=，CD=y，作∠ABD=∠C，BD交AC于D.则△ABD∽△ACB.则..①，②.作∠CBD的平分线，交CD于E，则BE=CE.设DE=，BE=CE=.易得△DBE∽△DCB，...③.由①、②、③可得.解：（1）存在.假设甲只做对第一题，其它题都做错.其余9人只做对第二和第三题，其它题都做错.则甲只做对第一题得9分，其余9人都只做对第二题和第三题，各得2分.这时，甲做出的题目最少，得分却最多.某题未解出人数012345678910该题分值012345678910该题10人总得分091621242524211690设甲得分，由表格和题意可知，6道题10名选手总得分T<25×6=150(分）.,.当时，T=149.由表格可知，有且仅有一道题只有4人或6人解出.不妨设为第六题.则第1至第5题有且仅有5人做出.∴做错第6题的选手得分均为5的倍数，做出第6题的选手的得分为或.，∴甲做出第6题，且该题有6人做出.则总共做出的题数为5×5+6=31.而实际上每人仅做出3题，10人共做出30题，矛盾.∴次分数最大可