2025年安徽高中九年级自主招生数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年自主招生考试数学学科温馨提示：亲爱的同学，你拿到的试卷共八大题，满分150分，时间120分钟．希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃，相信你一定会取得好成绩．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下面的数中，最小的数是（

）A． B． C．2 D．02．今年1月11日，四川甘孜雅砻江道孚抽水蓄能电站开工建设，项目场址海拔4300米，是全球海拔最高的大型抽水蓄能电站，设计年发电量约30亿千瓦时．建成后，每天可存储电量1260万千瓦时，可满足200万户家庭一天的用电需求．其中1260万用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（

）A． B． C． D．4．小明在学习了《二次函数》这一章后，利用网络画板建立坐标系画出了抛物线的图象，他想通过平移得到的图象，平移方法是（

）A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位5．对于抛物线，下列说法正确的是（

）A．开口向上 B．顶点坐标是C．与y轴的交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小6．如图，在中，，，若，则（

）A． B． C． D．7．如图，已知抛物线与直线交于、两点，与x轴交于，当时，x的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．或8．已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是：（

）A． B． C． D．9．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，，边与相交于点E，且，则的值为（

）A． B． C． D．10．如图1，在等边中，是高，点E是上靠近点A的三等分点，点P是上一动点，设的长为x，为y．图2是y关于x的函数图象，点M为图象上的最低点且纵坐标为，则函数图象的右端点N的坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知函数，自变量的取值范围是．12．如图，在中，，点D是的中点，过点B作的垂线，垂足为E，则．13．小华同学在学习了反比例函数的图象和性质后，在信息科技课中，利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数的图象，并打印了出来，善于思考的小明同学把自己的三角板（含）按照如图放置在打印纸上，点C的坐标为，将三角板沿翻折后，发现点C正好落在反比例函数的图象上，则k的值为．14．在数学活动实验课上，张老师用一张大的矩形纸片，画出宽的三等分点E、F且满足，沿着翻折后再展开，然后再把翻折，折痕为，B点的对称点为H．（1）当点H正好落在上时，．（2）善于动手实验的小明同学按照张老师的思路，继续利用圆规和直尺作出和的角平分线，发现正好交于F点，若延长交于点M，则．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：16．已知抛物线过（1，0），（0，-3）两点，且对称轴为直线：x=2，求此抛物线的解析式．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点（网格线的交点）上．(1)以点B为位似中心，在B点的左侧画出使得和的位似比为．(2)_______．(3)用无刻度直尺在边上作出一点D，使得（保留作图痕迹）．18．我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥．【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放．（1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样．【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）．【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．【研究背景】如图是被称为天书奇楼的安徽广播电视中心，此建筑结合了前沿的科技成果和现代的建筑理念，建筑整体平面布局如飞翔的凤凰，而立面灵感则来自于“龙”之精神，隐喻安徽“蓬勃向上”的发展态势，更是以2.64万方汉字墙幕创下世界之最，立面用篆书字体打乱，书写着安徽的78个市县名、河名、山名等，将艺术和建筑完美的融合．小明同学想利用所学的知识来测量该建筑物的高度．【数据采集】他先在B处用测倾器测得电视中心顶端E的仰角为，再从B沿BF方向走了250.6米到达D处，在D处竖立标杆，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与该建筑物的顶端E恰好在一条直线上，已知米，测得米．【数据应用】点B、M、D、F在同一条直线上，，根据上述数据，计算安徽广播电视中心的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：）20．如图，在中，于点D，E是的中点，的延长线与的延长线交于点F．

(1)求证：．(2)若，求．六、（本题满分12分）21．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．(1)求反比例函数与一次函数的表达式．(2)当时，请直接写出x的取值范围：_______．(3)点E为y轴上一个动点，若，求点E的坐标．七、（本题满分12分）22．如图1，点A、B、C的坐标为分别为，，，抛物线经过这三点．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标．(2)点P为射线上方抛物线上的一个动点，过P点作射线的垂线，垂足为E，设P点的横坐标为m，求的最大值．(3)如图2，点D的坐标为，连接，将抛物线的图象向下平移n个单位，得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则n的取值范围是_______．八、（本题满分14分）23．在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学们用两张长、宽比相同（即）的长方形纸片和展开探究活动，其中．【思考尝试】(1)小明同学把两张长方形纸片按如图1放置，连接、、，兴趣小组在探究过程中，发现小长方形纸片在绕着点C的旋转过程中，线段和之间的数量关系不变，请你猜想这个数量关系，并说明理由．【实践探究】(2)小睿同学受此问题的启发，思考并提出新的问题：将小长方形纸片绕点C旋转至如图2所示位置，此时A、G、E共线，且交于点M．若，，求的长．【拓展迁移】(3)小聪同学深入研究小睿提出的问题，继续研究发现并提出新的探究点：如图3所示，在图2的基础上延长交于点H，若，，求的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】本题考查了有理数的大小比较；正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．据此解答即可．【详解】解：∵，∴四个数中，最小的数是，故选：A．2．D【分析】本题主要考查了用科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．在确定的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，为它的整数位数减1；当该数小于1时，为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．【详解】解：1260万用科学记数法表示为．故选：D．3．B【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．结合题意，根据反比例函数的性质可得，即可求出m的取值范围．【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内y都是随着x的增大而减小，，解得：．故选：B．4．A【分析】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．先将化成顶点式，再根据二次函数的平移规律即可解答．【详解】解：，想通过平移得到的图象，平移方法是向左平移1个单位，再向下平移2个单位．故选：A．5．D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，对选项逐个分析判断即可．【详解】解：A、抛物线开口向下，故此选项说法不正确，不符合题意；B、抛物线顶点坐标为，故此选项说法不正确，不符合题意；C、抛物线与y轴的交点坐标是，故此选项说法不正确，不符合题意；D、抛物线开口向下，且对称轴为，所以当时，y随x的增大而减小，故此选项说法正确，符合题意；故选：D．6．C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由可得，结合，即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：C．7．B【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用函数交点求不等式的解集是解题的关键．结合函数图象，找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量x的取值范围即可解答．【详解】解：结合图象得，当时，x的取值范围是或．故选：B．8．B【分析】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质．由抛物线的对称的性质求得，当时，，推出，则，再根据一次函数和反比例函数性质即可求解．【详解】解：由二次函数的图象知，开口向上，∴，由抛物线的对称轴知，∴，即，当时，，∴，∴，对于正比例函数，∵，∴正比例函数的图象是经过原点且在第二、四象限的直线，对于反比例函数，∵，∴反比例函数的图象分布在第二、四象限的双曲线，观察四个选项，选项B符合题意，故选：B．9．C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质．由直角三角形的性质可得，，，，可证，由相似三角形的性质可求得，再证明，进一步计算即可求解．【详解】解：，，，，，，，，，则，∵，，∴，∴，∴，故选：C．10．C【分析】本题考查动点问题的函数图象，等边三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质得到关于直线对称，，当共线时，的值最小，最小值为的长，在和中，利用勾股定理结合函数的知识求解即可．【详解】解：连接交于点，连接，作于点，设等边的边长为，则，∵是等边的高，∴，∴关于直线对称，∴，∴，∴当共线时，的值最小，最小值为的长，∵等边，，∴，∵点E是上靠近点A的三等分点，∴，∴，在中，，在中，，由函数图象知的最小值为，∴，解得，∴，函数图象中点表示当即最大时，所对应的的值，∵点P是上一动点，∴点P与点A重合时，有最大，即的值最大，如图，∵，，是等边的高，∴，∴，∴，∴，点N的坐标为．故选：C．11．【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件得出，，求解即可．【详解】解：由题意可得：，，∴，故答案为：．12．##【分析】本题主要考查直角三角形的性质，锐角三角函数，在直角三角形斜边中线的性质．利用余弦定义很容易求得，，然后由已知为斜边上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，，求得，再根据即可求解．【详解】解：在中，∵，即，设（），则，由勾股定理得，即，解得，∴，，，∵点D是的中点，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．13．##【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．作轴于点，证明是等边三角形，设，求得点A的坐标为，点D的坐标为，利用反比例函数的性质列式计算求解即可．【详解】解：将三角板沿翻折后，发现点C正好落在反比例函数的图象上的点，连接，，作轴于点，如图，∵，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，，设，则，∴，，∵点C的坐标为，∴点A的坐标为，点D的坐标为，由题意得，解得，∴点A的坐标为，∴，故答案为：．14．或或【分析】（1）先证明四边形是矩形，得到，再根据点E是的三等分点，得到或，利用翻折的性质分别求出2种情况对应的的长，再利用正切的定义即可求解；（2）过点作交于点，利用角平分线的定义和角的和差关系得到，，得到是等腰直角三角形，进而推出，得到，，再通过证明，得到，，根据点F是的三等分点，得到或，再通过证明得到，分别求出2种情况对应的的长，即可得出结论．【详解】解：（1）四边形是矩形，，，，，又，四边形是矩形，，点E是的三等分点，或，由翻折的性质得，，设，则，①当，则，，，；②当，则，，，；综上所述，或．故答案为：或．（2）如图，过点作交于点，由翻折的性质得，，，，，，，，，，平分，平分，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，即，又，，，，，，又，，，，，点F是的三等分点，或，设，则，，①当，则，，，，，，，即，解得：，，；②当，则，，，由①得，，即，解得：，，；综上所述，或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、矩形中的翻折问题、锐角三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握相关知识点，运用分类讨论的思想方法解决问题是解题的关键．15．【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的定义计算即可．【详解】解：．16．y=-x2+4x-3【详解】试题分析：根据题意设出抛物线的解析式为y=a（x-2）2+k．把A（1，0），B（0，-3）的坐标代入，利用待定系数法求得即可．试题解析：设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+k.把A(1,0),B(0,−3)的坐标代入,得解得.∴y=−(x−2)2+1=−x2+4x−3.即这个二次函数的解析式为y=−x2+4x−3.17．(1)见解析(2)(3)见解析【分析】本题主要考查位似图形及旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形；（1）根据网格的特点位似可进行作图；（2）利用割补法求解即可；（3）取格点、和，连接交边于点D，点D即为所求．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；；（2）解：，故答案为：；（3）解：如图所示，点D即为所求；由作图知，，，，，∴，∴，∴，∴是直角三角形，且，∵，，∴．18．（1），；（2）；（3）存在，是第个和第个图形【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键．（1）根据前三个图形中纹样的个数即可得解；（2）根据（1）即可得出规律；（3）根据（2）中的规律，列出方程，解方程即可得解．【详解】解：（1）由图形可得：第一个图形有个纹样，第二个图形有个纹样，第三个图形有个纹样，故第四个图形有个纹样，第五个图形有个纹样；（2）由（1）可得：第n个图形有个纹样；（3）由题意可得：，解得：或（不符合题意，舍去），∴存在相邻的两个图形的纹样个数和为，是第个和第个图形．19．安徽广播电视中心的高度为米【分析】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，延长交于，则四边形，，均为矩形，得到，米，解直角三角形可得，证明，得出，求解即可．【详解】解：如图，延长交于，，由题意可得：，米，∵，∴四边形，，均为矩形，∴，米，∴，∵，∴，∴，∴，∴，由①②解得：米，∴安徽广播电视中心的高度为米．20．(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形的性质、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由题意可得，从而可得，由直角三角形的性质可得，由等边对等角结合对顶角相等可得，即可得证；（2）解直角三角形求出，再由相似三角形的性质即可得解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∴，∵E是的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴．21．(1)反比例函数为，一次函数为(2)或(3)或【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）代入到求出反比例函数的表达式，代入点B的坐标求出的值，再利用待定系数法求出一次函数的表达式，即可得出答案；（2）观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的自变量x的范围即可；（3）设一次函数与轴交于点，求出点的坐标为，设点E的坐标为，利用列出方程，求出的值即可解答．【详解】（1）解：代入到，得，反比例函数的表达式为，代入到，得，解得：，，代入，到，得，解得：，一次函数的表达式为．反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为．（2）解：结合图象得，当时，x的取值范围为或．故答案为：或．（3）解：如图，设一次函数与轴交于点，当时，，，设点E的坐标为，则，由图可得，，，整理得：，解得：或，点E的坐标为或．22．(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出直线的解析式为，作轴于，交于，，设，则，得出，证明，从而可得，进而可得，再由二次函数的性质求解即可；（3）求出直线的解析式为，由二次函数图象的平移法则可得抛物线的解析式为：，结合当抛物线经过时，抛物线与直线有两个交点，代入可得：，求解即可；联立消去可得：，再由根的判别式求解即可，即可得解．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，∵点A、B、C的坐标为分别为，，，抛物线经过这三点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：设直