2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）月考数学试卷（3月份） （含解析）

2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）月考数学试卷（3月份）一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的最小正周期是．2．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为．3．若，则．4．已知，则．5．已知，则．6．在△中，若，，，则△的面积是．7．函数的值域为．8．若函数的图象关于直线对称，则实数．9．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是，且当时，，则的值为．10．对于函数，则它的值域为．11．在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是．12．已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．函数的奇偶性是A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数14．在中，，，，则的解的个数是A．0 B．1 C．2 D．无法确定15．已知△内角、、的对边分别是、、，若，，则的值为A． B． C． D．16．已知函数．给出下列结论：①是周期函数；②函数图象的对称中心，；③若，则；④不等式的解集为，．则正确结论的序号是A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知．（1）求的值；（2）计算及的值．（用反三角表示）18．在中，角，，的对边分别为，，，且，．（1）若，求；（2）若的面积，求．19．如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米．现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度为5千米小时，乙的路线是，速度为8千米小时．乙到达地后原地等待．设时乙到达地．（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当时，求的表达式，并判断在，上的最大值是否超过3？说明理由．20．（16分）已知函数．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对于，，为任意实数，关于的方程恰好有两个不等的实根，求实数的值；（3）在（2）的条件下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．21．（18分）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质，（1）判断函数在区间，上是否具有性质，并说明理由；（2）若函数在区间，上具有性质，求的取值范围；（3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且（2），求证：函数在区间，上具有性质（1），

参考答案题号13141516答案BCAD一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的最小正周期是．解：因为，所以的最小正周期为．故答案为：．2．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为．解：扇形的圆心角为，半径为2，扇形的面积为．故答案为：．3．若，则．解：由，得，则，而，则，所以．故答案为：．4．已知，则．解：因为，所以，所以．故答案为：．5．已知，则．解：因为，所以．故答案为：．6．在△中，若，，，则△的面积是3．解：在△中，若，，，则．故答案为：3．7．函数的值域为，．解：令，，则，易知开口向上，对称轴为，当时，，又因为，所以时，，所以的值域为．故答案为：．8．若函数的图象关于直线对称，则实数．解：函数的图象关于直线对称，，即，，故答案为：．9．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是，且当时，，则的值为．解：因为既是偶函数，又是周期函数，其最小正周期是，又当时，，所以．故答案为：．10．对于函数，则它的值域为．解：令，令，解得，所以当时，，即，同理可得时，，又，所以当时，，此时，，即；当时，，此时，，即；综上，．故答案为：．11．在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是，．解：因为，，且三角形为钝角三角形，则角或为钝角，且，则，若角为钝角，则，所以由余弦定理可得：，解得，所以；若角为钝角，则，所以由余弦定理可得：，解得，所以，综上，边的范围为，．故答案为：，．12．已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是．解：函数，由，可得，解得，在区间内没有零点，；因为；分别取，1，2，，，，，，，在区间内没有零点，，，．故答案为：，，．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．函数的奇偶性是A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数解：因为，显然是偶函数．故选：．14．在中，，，，则的解的个数是A．0 B．1 C．2 D．无法确定解：因为，，，根据正弦定理得：，代入得到，由于，所以或故选：．15．已知△内角、、的对边分别是、、，若，，则的值为A． B． C． D．解：因为，所以由正弦定理得，又，所以，又，则．故选：．16．已知函数．给出下列结论：①是周期函数；②函数图象的对称中心，；③若，则；④不等式的解集为，．则正确结论的序号是A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④解：①，是函数的一个周期，即①正确；②，函数的图象关于对称．又是函数的周期，区间恰为函数的一个周期区间，故函数图象的对称中心为，即②正确；③，，函数为偶函数，又函数的周期为，函数关于，对称，若，则，即③错误；④当时，，在上单调递减，由于函数关于和，对称，所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，．不等式，等价于，则，解得，，故解集为，，即④正确．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知．（1）求的值；（2）计算及的值．（用反三角表示）解：（1）因为，所以，则．（2）因为，又，，故．18．在中，角，，的对边分别为，，，且，．（1）若，求；（2）若的面积，求．解：（1）由，得，由正弦定理有，，，；（2）由的面积，，，，当，由余弦定理得，，当，由余弦定理得，，或．19．如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米．现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度为5千米小时，乙的路线是，速度为8千米小时．乙到达地后原地等待．设时乙到达地．（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当时，求的表达式，并判断在，上的最大值是否超过3？说明理由．解：（1）由题意可得，设此时甲运动到点，则千米，千米；（2）当时，乙在上的点，设甲在点，，，，当时，乙在点不动，设此时甲在点，当时，，，故的最大值没有超过3千米．20．（16分）已知函数．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对于，，为任意实数，关于的方程恰好有两个不等的实根，求实数的值；（3）在（2）的条件下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，当时，可得函数，令，，得，．所以函数的单调递增区间为，．（2）当，时，，其周期，因为关于的方程恰好有两个不等实根，即恰好有两个不等实根，所以区间，的长度恰为的一个周期，所以，可得．（3）由（2）中，得，因为，所以，则，所以的值域为，不等式可化为，所以，解得，即．21．（18分）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质，（1）判断函数在区间，上是否具有性质，并说明理由；（2）若函数在区间，上具有性质，求的取值范围；（3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且（2），求证：函数在区间，上具有性质（1），解：（1）函数在，上具有性质，理由如下：若，则，因为，且，所以函数在，上具有性质．（2）由题意，存在，使得，得（舍去）或，则得，，因为，所以，又因为且，所以，即所求的取值范围是．（3）证明：设，，，则有（1），