高中数学复习专题二 函数与导数-2025届高考数学考点剖析精创专题卷

专题二函数与导数——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．已知，函数若，则a的值为()A.3 B.1 C.-4 D.21．答案：D解析：由题意，可得，则，解得.2．已知函数在R上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是()A. B. C. D.2．答案：D解析：因为函数为奇函数，所以.由，得.又函数在R上单调递减，所以，解得.3．[2023秋·高一·福建龙岩·月考校考]在平面直角坐标系内，将函数，的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得新函数的图象恒过定点()A. B. C. D.3．答案：A解析：方法一：将函数的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，再向上平移1个单位长度，得到的图象，即.令，得，，故的图象恒过定点.方法二：因为（，），令，得，，所以的图象过定点.将点向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，所以的图象恒过定点.4．设，，，则a，b，c的大小关系为().A. B. C. D.4．答案：D解析：因为，所以，因为，所以.因为，所以，所以.5．我国的5G通信技术领先世界，技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式，其中W是信道带宽，S是信道内所传信号的平均功率（W），N是信道内部的高斯噪声功率（W），其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至，使得C大约增加了，则的值大约为（参考数据：）()A.1559 B.3943 C.1579 D.25125．答案：C解析：由题意得，则，，.故选C.6．[2024届·天津蓟州区·模拟考试校考]已知函数函数.若函数有3个零点，则实数a的取值范围为()A. B. C. D.6．答案：B解析：如图，当时，函数与的图象有1个交点.要使有3个零点，则当时，与的图象有两个交点即可，若，则当时，，两函数图象没有交点，所以.画出，的大致图象，如图所示，由图象可知，函数，的图象在内至多有一个交点.若函数与的图象在上有两个交点，则在上没有交点，即直线与曲线在上有两个交点，且函数，的图象在上没有交点，即方程在上有两个解，且在上没有解.设，需满足且，解得；若在上函数与的图象只有1个交点，则在上函数与的图象有1个交点，即在上只有1个解，且在上只有1个解，又，则且，此时无解.综上，要使函数与图象在上只有两个交点，则.7．[2024春·高二·陕西西安·月考校考]已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为()A. B. C. D.7．答案：A解析：令，则，所以在R上单调递增.由，得，即，又在R上单调递增，所以，解得，即不等式的解集为.故选A.8．[2025届·福建宁德·模拟考试校考]若对任意的，且，，则实数m的取值范围是()A. B. C. D.8．答案：D解析：由题可知，，因为，且，所以，两边同时除以得，即.设函数，其中，因为当时，，所以在上单调递减，因为，令，得，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以.故选D.二、多项选择题9．[2023届·安徽·模拟考试校考]已知函数，则下列说法正确的是()A.函数的图象恒过定点B.函数在上单调递减C.函数在上的最小值为0D.若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是9．答案：ACD解析：A√，所以的图象恒过定点.B×当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增.C√当时，，所以.D√因为对任意，恒成立，且，所以，得.10．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：圆O的圆心在原点，若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”.下列说法正确的有()A.对于圆O，其“太极函数”只有1个B.函数是圆O的一个“太极函数”C.函数是圆O的“太极函数”D.函数是圆O的一个“太极函数”10．答案：BD解析：对于A选项，圆O的“太极函数”不止1个，故A错误；对于B选项，函数当时，，当时，，故为奇函数，画出函数的简图如图所示，可知函数为圆O的一个“太极函数”，故B正确；对于C选项，函数的定义域为R，，也是奇函数，画出函数的简图如图所示，当且仅当函数图象与圆O只有两个交点时，为圆O的一个“太极函数”，故C错误；对于D选项，函数的定义域为R，，故为奇函数，，，在上均单调递增，所以在R上单调递增，画出函数的简图如图所示，可知函数是圆O的一个“太极函数”，故D正确.故选BD.11．[2024年全国高考真题]设函数，则()A.当时，有三个零点B.当时，是的极大值点C.存在a，b，使得为曲线的对称轴D.存在a，使得点为曲线的对称中心11．答案：AD解析：由题可知，.对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误；对于D，解法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD.解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD.三、填空题12．[2022年天津高考真题]设，对于任意实数x，记，若至少有3个零点，则实数a的取值范围为__________.12．答案：解析：令，则关于x的方程的判别式.（1）当时，函数无零点，从而不可能有3个及以上的零点.（2）当时，或，①当时，，如图1，有2个零点，不符合要求；②当时，有3个零点，如图2，符合要求.（3）当时，或，①当时，函数图象的对称轴为直线，函数和的图象如图3，若至少有3个零点，则，即，所以；②当时，函数图象的对称轴为直线，此时只有2个零点.综上所述，.13．已知函数的定义域为R，其图象关于直线对称，且，在上单调递减，则在上的所有整数解的和为___________.13．答案：6解析：因为函数的定义域为R，且，所以函数的图象关于点对称，且.由在上单调递减，且的图象关于点和直线对称，可画出在上的大致图象，如图所示，可得在上单调递减，在上单调递增.由对称性可得，所以在上的所有整数解为1，2，3，其和为.14．[2024春·高二·山东·月考]已知则使恒成立的m的范围是______.14．答案：解析：因,令,,依题意,,,当时,,求导得,当时,,当时,,因此在上单调递增,在上单调递减,当时,取得极大值;当时,,求导得,在上单调递减,,于是得函数在上单调递减,,因此,则,所以m的取值范围是.故答案为:.四、解答题15．已知函数的定义域为R，对任意的，都有.当时，，且.（1）求的值，并证明：当时，.（2）判断并证明的单调性.（3）若，求不等式的解集.15．答案：（1），证明见解析（2）在R上单调递减.证明见解析（3）解析：（1）令，则，又，所以.当时，，所以.又，所以，即.（2）在R上单调递减.证明如下：设，则.又，所以，所以.又当时，，当时，，，所以恒成立，即，所以，即，所以在R上单调递减.（3）因为，所以，所以，即.又在R上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为.16．[2023秋·高一·云南曲靖·月考校考]已知幂函数在上为减函数.（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出其单调区间.16．答案：（1）（2）奇函数，其单调减区间为，解析：（1）由题意得，，解得或，经检验当时，函数在区间上无意义，所以，则.（2），要使函数有意义，则，即定义域为，其关于原点对称.，该幂函数为奇函数.当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，函数是奇函数，在上也为减函数，故其单调减区间为，.17．已知函数，.（1）若是偶函数，求实数a的值及函数的值域；（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.17．答案：（1）；函数的值域是（2）解析：（1）若是偶函数，则，即，则，即恒成立，所以.经验证，时，为R上的偶函数，符合题意.因为，所以，故函数的值域是.（2）因为函数在区间上单调递增，且为定义域上的增函数，所以在上单调递增，且时，，所以解得.故实数a的取值范围是.18．[2024年全国高考真题]已知函数.（1）若，且，求a的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若当且仅当，求b的取值范围.18．答案：（1）-2（2）证明见解析（3）解析：（1）的定义域为，若，则，，当时，，，则，故a的最小值为-2.（2），故曲线关于点中心对称.（3）由题知，此时，.记，，易知在上单调递减，在上单调递增，，当时，，，在上单调递增，又，故符合题意.当时，，，令，得，因为，所以，故，，所以当时，，，在上单调递减，故，不符合题意.综上，b的取值范围为.19．[2024年全国高考真题]已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.19．答案：（1）