高二数学开学考卷01（人教A）-2025年春季开学考

1/22025年春季开学考高二数学（一）班级_________姓名_________考号_________第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以，所以.故选：C2．已知等差数列的前项和为，则（

）A．36 B．64 C．72 D．88【答案】C【详解】由可得，故，进而可得，故，故选：C3．已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，由题意，点，，直线的斜率为，因，故，设点，则，两式相减，可得：（*），因的中点为，则，且，代入（*），化简可得：①又②，联立①②，解得：，故该椭圆的方程为.故选：B.4．过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为满足圆的方程，所以点在圆上，又，所以，因，则，解得，故切线：，即.因为切线与直线平行，所以，解得，故直线：，则平行直线与间的距离为.故选：A.5．等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．12 B．10 C．5 D．【答案】B【详解】由是等比数列可得，因为，所以可得，所以故，故选：B6．一条光线从点射出，经直线：反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的斜率为（

）A．或 B．或 C． D．不存在【答案】B【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，即，由题意知切线的斜率存在，设切线方程为：，即，由，可得，半径，则圆心到切线的距离等于半径，得，解得，所以.所以反射光线所在直线的斜率为或.故选：B.7．正四棱柱的底面边长为1，点E，F分别为，的中点，且已知与所成角的大小为60°，则直线与平面之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：以为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，

因为点分别为，的中点，则，，，，所以，，因为与所成角的大小为60°，所以，解得，所以，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为n=x,y,z，由得，解得，令，得，所以，因为，又平面，所以平面，所以直线与平面之间的距离为点到平面的距离，因为，所以直线与平面之间的距离为：.故选A.8．如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，，设，与的内切圆切于点，，由对称性可得内切圆圆心在轴上，结合切线长定理可得，，则，即，故，则，因此，.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知某双曲线系的方程为，则下列结论正确的是（

）A．所有双曲线的焦点均在轴上B．所有双曲线的焦距均相等C．双曲线不可能为等轴双曲线D．当增大时，双曲线的离心率减小【答案】ABD【详解】由题设，结合已知方程知，所有双曲线的焦点均在轴上，A对；且，则焦距为，B对；当时，此时方程为为等轴双曲线，C错；由，故当增大时，双曲线的离心率减小，D对.故选：ABD10．已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（

）．A．数列是等比数列 B．数列是等差数列C． D．【答案】ACD【详解】当时，，所以，当时，，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．故选：ACD．11．如图，四棱锥中，底面为菱形，，，面面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有（

）A．异面直线与所成角的余弦值为B．当时，平面平面C．点到平面的距离为D．存在，使得【答案】AD【详解】取的中点，连接，，为等腰直角三角形，且，，又面面，面面，面，面，又，底面是菱形，是等边三角形，，则以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，则A2,0,0，，，，，，，，，，且，故选项A正确；当时，，设平面的一法向量为n1=x1,y则，，可取平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以选项B错误；设面的法向量，则，取，即平面的法向量为，又，则点到平面的距离为，故选项C错误；又，所以时，，故选项D正确．故选：AD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数，则在处的切线方程为.【答案】【详解】由，则，，故，则，即.又切线过，所以在处的切线为，即.故答案为：.13．已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则.【答案】2【详解】因为为等差数列，所以，又，所以.故答案为：2.14．“中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛物线，一条光线经过，与轴平行照射到抛物线上的点处，第一次反射后经过抛物线的焦点到抛物线上的点处，第二次反射后经过，则的坐标为，的值为．【答案】10【详解】由已知，，，所以点的纵坐标为，代入抛物线方程，可得，所以点的横坐标为，所以的坐标为，又抛物线的准线方程为x=−1，且，设点的横坐标为，点的横坐标为，则，，由抛物线定义可得，，所以的值为，所以的值为10.故答案为：，10.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由.【详解】（1）因，则线段的中点的坐标为，且直线的斜率,于是线段的垂直平分线所在直线方程为,

则由，解得，

∴圆心，半径,

∴圆的方程为；（2）由圆得：

∴圆心，半径，∵圆的圆心坐标为，半径，由，，因，故圆与圆相交；设圆与圆的两个交点分别为点，如图，由左右分别相减，整理得,∴直线的方程为,∴圆心到直线的距离,∴，综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为.16．如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，点D是线段的中点．(1)求点C到平面的距离．(2)求平面与平面夹角的大小．【详解】（1）如图所示，利用等体积法，，设点C到平面为，则,因为所以,则，所以，，所以，解得：，即点C到平面的距离为.（2）作于点，∴平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，B−1,0,0，，.∴，，.设是平面的法向量，所以，即.令，则，，∴是平面的一个法向量.由题意可知是平面的一个法向量，∴，∴二面角的大小为.17．已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为．(1)求椭圆的离心率；(2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程．【详解】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、，依题意，整理得（*），因点Px0,y0在椭圆上，则代入（*），化简得：，又，所以，则椭圆的离心率；（2）

如图，设Ax1,y1则由，消去并整理得，此时，解得，由韦达定理得，，所以，又原点到直线的距离，所以的面积，解得，故椭圆的方程为．18．已知各项都为正数的等差数列的前项和为，且，且，，构成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)若，求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由，解得，因，，构成等比数列，则有，即，整理得解得（因，故舍去)，或，故数列的通项公式为；（2）因，设数列的前项和为，则；（3）由（1）可知，，设数列的前n项和为则，①，②由，.19．记集合中的元素的个数为，设、，，集合，集合是的一个子集，满足：，且中的任意两个元素之和都不等于和．(1)当时，写出的所有可能结果；(2)记的最大值为，①当时，直接写出，并写出使得的；②求．【详解】（1）当时，，则集合中任意两个元素之和不等于和，所以或或或或．（2）①．．解释：构造数列、、、、、、、、，该数列共项，且数列中任意相邻两项和为或，若，则必然会在上述数列中选出相邻两项，不符合要求，故，当时，由于只能间隔取数，故选择第、、、、项构成集合，即，且此时的集合的个数只有一个，是；②当且为奇数时，构造数列、、、、、、、、、、、、、，在前项与后项中各任选一项，两项的和一定大于，所以无论前k项怎么选，不影响后项的选择，对于前项．