2025年高考数学复习(新高考专用)重难点34概率与统计的综合问题【九大题型】特训(学生版+解析)

重难点34概率与统计的综合问题【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1概率的综合问题】 3【题型2超几何分布与二项分布的综合应用】 4【题型3正态分布的综合问题】 6【题型4概率与其它知识的交汇问题】 7【题型5决策型问题】 9【题型6频率分布直方图与分布列的综合问题】 11【题型7回归模型与分布列的综合问题】 14【题型8独立性检验与分布列的综合问题】 17【题型9概率、统计与数列的综合问题】 201、概率与统计的综合问题概率与统计是高考的重点、热点内容，概率与统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，往往多个知识点结合考查.从近几年的高考情况来看，题量通常为“两小一大”，选择题、填空题考查比较全面，侧重基础知识，难度不大；解答题重点考查概率统计主干知识，主要涉及古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、回归分析、独立性检验等内容，试题难度中等；复习时加强这部分内容的练习，灵活求解.【知识点1概率问题及其解题策略】1．古典概型中基本事件的求解方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x,y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.2．求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得.3．利用全概率公式的解题思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算.【知识点2频率分布直方图中的数字特征】1．众数、中位数、平均数的应用要点中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用.2．频率分布直方图的数字特征(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标；(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.【知识点3离散型随机变量及其分布的解题策略】1．离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；(3)画表格：按规范要求形式写出分布列；(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值的定义求E(ξ).(5)由方差的定义求D(ξ).【知识点4二项分布与超几何分布、正态分布的解题策略】1．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点：

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.2．超几何分布的应用

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.3．正态分布问题的解题策略解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x=μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【知识点5回归分析、独立性检验的解题策略】1．回归分析的三大常用结论(1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心.(2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.(3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大.2．独立性检验的应用问题的解题策略解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式计算；(3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断.【题型1概率的综合问题】【例1】（2024·广东江门·模拟预测）现有1000个苹果，其中900个是大果，100个是小果，现想用一台水果分选机筛选出来．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽出一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（

）A．855857 B．8571000 C．171200【变式1-1】（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：PA|B=PA．4951000 B．9951000 C．1011【变式1-2】（2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为34，小郅胜小睿的胜率为1(1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？(2)求最终小金获胜的概率.(3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）.【变式1-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）有编号为1,2,⋯,n的n个空盒子n≥2,n∈N，另有编号为1,2,⋯,k的k个球2≤k≤n,k∈N，现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记k号球能放入k号盒子的概率为(1)求P3,3(2)当n≥3时，求Pn,3(3)求Pn,k【题型2超几何分布与二项分布的综合应用】【例2】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为ξ1,ξ2，ξ1,ξA．Eξ1=EC．Eξ1<E【变式2-1】（23-24高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（

）A．1张 B．2张 C．3张 D．4张【变式2-2】（2024·山西·三模）袋中装有大小、形状、材质完全相同的n个小球，其中有m个红球.(1)若n=5,m=3，现从袋中随机摸出2个小球，其中红球的个数为随机变量X，求X的方差D(X)(2)从袋中有放回地摸取小球N次，每次摸出一个小球，其中摸到红球的次数为随机变量Y，若Y的期望E(Y)=12，方差D(Y)=2.4，求N;(3)若n=100，现从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球，记录颜色后将摸出的小球放回袋中.以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，若m=30，求红球占比估计值的误差不超过10%的概率p参考数据:k0123456789100.30.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.0000【变式2-3】（2024·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85]（单位：mm）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于65mm为不达标果，在65mm到75mm之间为标准果，在75mm到(1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为X，求X的分布列与数学期望；(2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取nn≥2个，设其中恰有2个精品果的概率为Pn.当Pn【题型3正态分布的综合问题】【例3】（2024·福建泉州·模拟预测）中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量ξ~Bn,p，则当np>5且n1−p>5时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与方差分别与η附：若：η~Nμ,σ2，则Pμ−σ<η<μ+σ≈0.6827A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773【变式3-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn∼N0,2n，要控制XA．141 B．128 C．288 D．512【变式3-2】（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为x=110．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差s(2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2，其中参数μ和σ可以分别用（1）中的x和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y=5X−10另：6≈2.4若X−Nμ,σ2，则P【变式3-3】（2024·山东日照·三模）电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N80,25，若某同学成绩满足μ−σ≤η≤μ+2σ，则该同学被评为“反诈标兵”；若η>μ+2σ（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；（ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取整）.(2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为X，求X的分布列及数学期望EX参考数据：若ξ∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤ξ≤μ+σ【题型4概率与其它知识的交汇问题】【例4】（2024·陕西铜川·模拟预测）2024年诞生的首个网红城市，非哈尔滨莫属．从“尔滨”“滨子”“南方小土豆”“广西砂糖橘”这些双方间亲密、趣味的称呼和各方的好评可以看出，哈尔滨在这个冰雪季推出的活动很受欢迎和认可．统计数据显示，今年元旦假期，拥有900多万常住人口的哈尔滨累计接待游客超过300万人次，实现旅游总收入59亿元，双双达到历史峰值．为了能够让游客感到宾至如归的服务，某校号召学生利用周末从事志愿活动，高三（2）班某学习小组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、旅游宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为1(1)在有女生参加活动的条件下，求恰有一名女生参加活动的概率；(2)记随机变量X为随机选取的两人得分之和，求X的分布列和数学期望．【变式4-1】（2024·四川·模拟预测）在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度ℎ（单位：cm)(1)估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间30,45的概率；(3)已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为3%，果苗高度位于区间40,50的棵数占该果苗总棵数的20%.从该苗圃中任选一棵高度位于区间【变式4-2】（2024·云南大理·模拟预测）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为(1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设p1（ⅰ）求三人总积分为2分的概率；（ⅱ）求比赛结束时，三人总积分X的分布列与期望(2)若p1【变式4-3】（2024·广西南宁·三模）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是23，若前一天选择绿豆汤，后一天继续选择绿豆汤的概率为13，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为(1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；(2)记该同学第n天选择绿豆汤的概率为Pn，证明：P(3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数．【题型5决策型问题】【例5】（2024·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为12；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是12；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为(1)求甲在第3局中获胜的概率；(2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的23，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的34，第4局甲失败，甲拿走奖金的【变式5-1】（2024·广西·模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）．若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布；(2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=17与n=18之中选其一，应选用哪个？并说明理由．【变式5-2】（2024·江西上饶·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为12；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为13,35(1)若m=2(2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求m的取值范围．【变式5-3】（2024·安徽·一模）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为p0<p<1，有3个选项正确的概率为1−p(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p；(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若p=1【题型6频率分布直方图与分布列的综合问题】【例6】（2024·辽宁辽阳·一模）根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%，均创造了同档期新的纪录.2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，

(1)求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；(2)估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；(3)设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为p1，小于80分的频率为p2，若甲、乙2名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看A，B影片的概率分别为p2，1−p2，乙观看A，B影片的概率分别为p1，1−p1，当天甲、乙观看哪部电影相互独立，记甲、乙这2名观影者中当天观看【变式6-1】（2024·山西晋城·一模）某果园种植了一种水果，现随机抽取这种水果的成熟果实200个，统计了这200个果实的果籽数量，得到下列频数分布表：果籽数量1234水果数100504010(1)求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数．(2)已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价，每个果实的果籽数量与果实的价格如下表所示：果籽数量1234价格/元201286以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市场售价总和为X元，求X的分布列与数学期望．【变式6-2】（2024·河南新乡·二模）根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%，均创造了同档期新的纪录．2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100）．(1)求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；(2)估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；(3)设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为p1，小于80分的频率为p2，若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看A，B影片的概率分别为p2，1−p2，乙观看A，B影片的概率分别为p1，1−p【变式6-3】（2024·云南·二模）《密室逃脱》是一款实景逃脱类游戏，参与者被困在房间内，需要根据提示寻找线索，在规定时间内依次打开每一扇房门则游戏完成，否则失败．一密室店主统计了400个顾客参与A主题密室逃脱的时间，得到顾客完成逃脱用时的频率分布直方图如图：(1)若顾客用时均值大于60分钟，且标准差小于10分钟，则认为该主题密室逃脱成功难度大．请判断A主题的成功难度；（参考数据：方差s2(2)店主计划至少80%的顾客能在规定时间m分钟内完成逃脱，试计算m(3)为吸引顾客，该店推出如下游戏规则：①在（2）的条件下，参加单人任务，在规定时间m分钟内完成则奖励1元；②组团参与者可购买一份10元组团券，3人同时进入A主题的不同房间，若60分钟内所有人完成逃脱，则每人可获10元奖励，2人完成逃脱，则每人可获7元奖励，1人完成逃脱，则每人可获3元奖励．用频率估计概率，若你是顾客，会选择哪种方案？【题型7回归模型与分布列的综合问题】【例7】（2024·全国·模拟预测）20世纪80年代初，随着我国的改革开放，经济体制和经营体制逐渐灵活，市场上的商品日益丰富，城市和农村出现小卖部．小卖部主营生活日用商品，有着经营成本小、规模小、商品种类少、分布广等特点．近几年，市场商品极大的丰富，人们的生活水平达到了新的高度，实体小卖部逐渐被应运而生的大小超市所取代．为适应市场，某小卖部经营者欲将经营规模扩大，将小卖部发展成生鲜综合超市，现将2013～2022年的年利润（单位：万元）统计如下：年限12345678910年利润（万元）28912101315161718其中，1表示2013年，2表示2014年，3表示2015年，……，以此类推，10表示2022年．(1)若年利润y（单位：万元）与小卖部营业年限x成正相关关系，在不改变经营状态的情况下，预测该小卖部2023年的年利润．（结果保留两位小数）(2)该小卖部经营者从2013～2022年中年利润不低于12万元的年限里随机抽取3个，记这3个年限中年利润超过14万元的有X个，求X的分布列和期望．附：线性回归方程y=bx+a中，b=【变式7-1】（2024·四川成都·模拟预测）数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，某线下家电商场为提升人气和提高营业额也开通了在线直播，下表统计了该商场开通在线直播的第x天的线下顾客人数y（单位：百人）的数据：x12345y1012151820(1)根据第1至第5天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求出该线性回归方程并估计该商场开通在线直播的第10天的线下顾客人数；(2)为进一步提升该商场的人气，提高营业额，该商场进行了摸球中奖回馈客户活动，商场在出口处准备了三个编号分别为1，2，3的不透明箱子，每个箱子中装有除颜色外大小和形状均相同的24个小球（其中1号箱子中有18个红球，6个白球；2号箱子中有16个红球，8个黄球；3号箱子中有12个红球，12个蓝球）且含有自动搅拌均匀装置．规则如下：在该商场购物的顾客凭购物小票均有一次参加此活动的机会，从三个箱子里各摸出一个小球（摸完后再依次放回），若摸出的3个小球颜色相同便中奖．若小明和他的3个朋友购物后均参加了该活动，且每人是否中奖相互独立，记这4人中中奖的人数为X，求X的分布列与期望．（参考公式：回归方程y=bx+a，其中【变式7-2】（2024·青海·一模）某公司自去年2月份某项技术突破以后，生产的产品质量得到改进与提升，经过一年来的市场检验，信誉越来越好，因此今年以来产品的市场份额明显提高，业务订单量明显上升，如下表是2023年6月份到12月份的订单量数据．月份6789101112月份代码t1234567订单量y（万件）4.75.35.65.96.16.46.6(1)试根据相关系数r的值判断订单量y与t的线性相关性强弱（0.75≤r ≤1，则认为y与t的线性相关性较强；r<0.75，则认为(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该公司2024年3月份接到的订单数量；(3)为进一步拓展市场，该公司适时召开了一次产品观摩与宣传会，在所有参会人员（人数很多）中随机抽取部分参会人员进行问卷调查，其中评价“产品质量很好”的占50%，“质量良好”、“质量还需改进”的分别各占30%，20%，然后在所有参会人员中随机抽取5人作为幸运者赠送礼品，记抽取的5人中评价“产品质量很好”的人数为随机变量X，求X的分布列与期望．附参考公式：r=i=1nxi−参考数据：i=17yi−y【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升.下表为重庆市20142022年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图（如图1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.（数据来源于重庆市统计局2023-05-06发布）.年份201420152016201720182019202020212022全体居民人均可支配收入（元）183522011022034241532638628920308243380335666参考数据：i=19参考公式:对于一组数据u1,v1,u2(1)设年份编号为x（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为y（单位：万元），求经验回归方程y=(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014∼2022中任取3年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为X，求随机变量X的分布列与数学期望.

【题型8独立性检验与分布列的综合问题】【例8】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）为了检测A、B两种型号的抗甲流病毒疫苗的免疫效果，某医疗科研机构对100名志愿者注射A型号疫苗，对另外100名志愿者注射B型号疫苗，一个月后，检测这200名志愿者他们血液中是否产生抗体，统计结果如下表：疫苗抗体情况有抗体没有抗体A型号疫苗8020B型号疫苗7525(1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，判断能否认为A型号疫苗比B型号疫苗效果好?(2)志愿者中已产生抗体的不用接种第二针，没有产生抗体的志愿者需接种原型号抗甲流病毒疫苗第二针，且第二针接种A型号疫苗后每人产生抗体的概率为12，第二针接种B型号疫苗后每人产生抗体的概率为23，用样本频率估计概率，每名志愿者最多注射两针．现从注射A、B型号抗甲流病毒疫苗的志愿者中各随机抽取1人，X表示这2人中产生抗体的人数，求参考公式：χ2=n【变式8-1】（2024·云南·模拟预测）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：不少于5本少于5本合计活动前3565100活动后6040100合计95105200(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析举办该读书活动对学生阅读文学名著是否有促进作用；(2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读完，求上半年读完的国内名著本数X的分布列及数学期望．附：χ2=n临界值表：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）近期一个被网友戏称为“科目三”的魔性舞蹈横空出世，欢快的场景、强烈的节奏加上夸张、土味的肢体动作，成为年轻人争相模仿学习的舞蹈新宠.然而任何事物都有其两面性，丝滑魔性的舞蹈动作在吸引人模仿的同时，脚踝的循环内翻、外翻这个动作，如果平衡节奏把握不当，就容易引起脚踝处的损伤：为了解小学生是否知道“科目三”舞蹈会带来损伤，志愿者随机走访了90名小学生，得到相关数据如下：知道不知道总计低年龄段142640高年龄段351550总计494190(1)根据统计数据，依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析“知道‘科目三’舞蹈会带来损伤”与“学生的年龄段”是否有关；(2)为了解小学生们对待新鲜事物的态度，按低年龄段、高年龄段进行分层，用分层随机抽样的方式从上述走访的知道“科目三”舞蹈会带来损伤的学生中邀请了7名学生，从这7名学生中随机抽取3名填写调查表，记X为这3名学生中为高年龄段的人数，求X的分布列和数学期望.附表及公式：α0.10.050.010.050.001x2.7063.8416.6357.87910.828χ2=n【变式8-3】（2024·黑龙江·模拟预测）2024年2月17日晚上八点，中华人民共和国第十四届冬季运动会开幕式在内蒙古冰上运动训练中心举行，开幕式以“燃情冰雪

筑梦北疆”为主题，全程共80分钟，分为开幕仪式和文体展演两部分．开幕式融合“简约、安全、精彩”的办赛要求，整场参与表演的演员仅有约800人，通过数字技术并结合利用AR虚拟视效，将内蒙古大地的“豪情、豪迈、豪放”呈现给全国人民．多首耳熟能详的内蒙古优秀歌曲，以及那达慕、安代舞、马头琴等民俗、歌舞、器乐等表演元素，都在开幕式上呈现．文体展演之后，进行了“十四冬”主火炬点火仪式．随机调查了某社区100人观看第十四届冬季运动会开幕式的情况，得到如下所示的2×2列联表．看开幕式未看开幕式合计男551065女152035合计7030100(1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析观看第十四届冬季运动会开幕式是否与性别有关；(2)将频率视为概率，用样本估计总体．继续从未观看开幕式居民中抽取3人进一步的分析，记被抽取到的男性居民的人数为ξ，求ξ的分布列，数学期望Eξ与方差D附表及公式：P0.050.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828其中χ2=n【题型9概率、统计与数列的综合问题】【例9】（2024·江苏苏州·模拟预测）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行nn∈N*次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为(1)求随机变量X1(2)求数列an(3)求证：i=1n【变式9-1】（2024·安徽阜阳·模拟预测）篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》SFSA全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到2×2列联表如下：喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？(2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第n次触球的概率为Pn，则P（i）证明：数列Pn（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.附：χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【变式9-2】（2024·河南·模拟预测）甲､乙､丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)投掷n次骰子后n∈N*，记球在乙手中的概率为pn(3)设dn=2【变式9-3】（2024·四川南充·一模）今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.星期t123456销售量y（张）21822423023223690经计算可得：y=16i=16(1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为13，选择B套餐的概率为23，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn(3)请依据下列定义，解决下列问题：定义：如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数N0，使得当n>N0时，an−a<ε（运用：记（2）中所得概率Pn的值构成数列Pnn∈N∗参考公式：b=i=1n一、单选题1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若随机变量X~Nμ,σ2，则当σB．在做回归分析时，可以用决定系数R2刻画模型回归效果，RC．一元线性回归模型中，如果相关系数r=0.98，表明两个变量的相关程度很强D．在2×2列联表中，若所有数据均变成原来的2倍，则χ2不变（χ2=2．（2024·全国·模拟预测）投掷6次骰子得到的点数分别为1，2，3，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为（

）A．16 B．13 C．123．（2024·陕西榆林·三模）在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为x1､x2､A．中位数一定不变，方差可能变大B．中位数可能改变，方差可能变大C．中位数一定不变，方差可能变小D．中位数可能改变，方差可能变小4．（2024·宁夏银川·一模）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30合计附：P（K2≥k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是（

A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”5．（2024·广东广州·模拟预测）有mm≥3个盲盒，其中有n1≤n<m−1个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为p1；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为p2，则对任意符合题意的m，A．p1<p2 B．p1=p2 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表一和下表二所示；表一X678910P0.070.220.380.300.03表二Y678910P0.090.240.320.280.07概率分布条形图如下图三和图四所示：则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（

）A．EX>EY B．EX<EY7．（2024·浙江·模拟预测）克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为p(0<p<1)，她掷了k次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X表示每掷N次硬币中正面向上的次数，现以使P(X=10)最大的N值估计N的取值并计算E(X).(若有多个N使P(X=10)最大，则取其中的最小N值).下列说法正确的是（

）A．E(X)>10 B．E(X)<10C．E(X)=10 D．E(X)与10的大小无法确定8．（2024·福建宁德·三模）2024海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华⋅福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据i,yi，其中i=1,2,3,4,5,yi为第i次入口人流量数据（单位:百人），由此得到y关于i的回归方程y=blogA．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0二、多选题9．（2024·江苏徐州·模拟预测）投掷一枚骰子，向上点数共有1-6六种可能，每一种情况的发生是等可能的，则下列说法正确的是（

）A．事件A“点数为1或2”和事件B“点数为偶数”是相互独立事件；B．每一局投两次，记较大点数为该局得分，则每局得分的数学期望为4；C．事件C“点数为1或2或3”和事件B“点数为偶数”是相互独立事件；D．连续投掷40次，记出现6点的次数X，则随机变量X的分布列中，X=6时概率最大．10．（2024·福建泉州·一模）为了研究青少年长时间玩手机与近视率的关系，现从某校随机抽查600名学生，经调查，其中有40%的学生近视，有20%的学生每天玩手机超过1小时，玩手机超过1小时的学生的近视率为50%（附：χ2=nα0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828A．如果抽查的一名学生近视，则他每天玩手机超过1小时的概率为1B．如果抽查的一名学生玩手机不超过1小时，则他近视的概率为9C．根据小概率值α=0.05的独立性检验，可认为每天玩手机超过1小时会影响视力D．从该校抽查10位学生，每天玩手机超过1小时且近视的人数的期望为511．（2024·海南·模拟预测）某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用2n+1局n+1胜的赛制，其中n∈N∗，即先赢n+1局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为p，且各局比赛结果相互独立，则（A．若n=3，p=12B．若n=1，p=13，记决赛进行了XC．若n=2，p=34，记决赛进行了YD．若n=1比n=2时对甲更有利，则0<p<三、填空题12．（2024·上海金山·二模）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：药物疾病合计未患病患病服用m50−m50未服用80−mm−3050合计8020100取显著性水平α=0.05，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则m(m≥40,m∈N)的最小值为．(参考公式：χ2=n13．（2024·陕西西安·模拟预测）某市统计高中生身体素质状况，规定身体素质指标值在[60,+∞)内就认为身体素质合格，在[60，84]内就认为身体素质良好，在[84,+∞)内就认为身体素质优秀，现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值xi(i=1,2,3,…,100)，经计算i=1100xi参考数据：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.682714．（2024·江苏苏州·模拟预测）高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧.因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞之间至少要有一名同学的规则.高三(一)班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞.则添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为.四、解答题15．（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟．时长t0,2020,4040,6060,8080,100学生人数5010020012525(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在0,20和20,40的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在0,20的概率．16．（2024·广东佛山·三模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）A,AA,BB,AB,B王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望EX(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，PM>0，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：17．（2024·辽宁·模拟预测）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值以及这批零件内径的平均值x和方差s2(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间2.45,2.55内的零件个数为Z，求Z的分布列以及数学期望；(3)已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布Nμ,σ2，现以频率分布直方图中的平均数x作为μ的估计值，频率分布直方图中的标准差s作为σ的估计值，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间2.285,2.705上的零件个数为Y参考数据：0.011≈0.105，若X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ18．（2024·江苏南通·模拟预测）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下：样本号i12345第xi12345参观人数y2.42.74.16.47.9并计算得，i=15(1)求y关于x的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数；(2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为13，从另一处门离校的概率为2附：回归直线方程y=bx+19．（2024·广西来宾·模拟预测）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：男女合计了解20不了解2040合计(1)将列联表补充完整；(2)根据α=0.05的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？(3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：χ2=P0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828重难点34概率与统计的综合问题【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1概率的综合问题】 3【题型2超几何分布与二项分布的综合应用】 7【题型3正态分布的综合问题】 11【题型4概率与其它知识的交汇问题】 14【题型5决策型问题】 19【题型6频率分布直方图与分布列的综合问题】 24【题型7回归模型与分布列的综合问题】 29【题型8独立性检验与分布列的综合问题】 35【题型9概率、统计与数列的综合问题】 401、概率与统计的综合问题概率与统计是高考的重点、热点内容，概率与统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，往往多个知识点结合考查.从近几年的高考情况来看，题量通常为“两小一大”，选择题、填空题考查比较全面，侧重基础知识，难度不大；解答题重点考查概率统计主干知识，主要涉及古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、回归分析、独立性检验等内容，试题难度中等；复习时加强这部分内容的练习，灵活求解.【知识点1概率问题及其解题策略】1．古典概型中基本事件的求解方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x,y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.2．求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得.3．利用全概率公式的解题思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算.【知识点2频率分布直方图中的数字特征】1．众数、中位数、平均数的应用要点中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用.2．频率分布直方图的数字特征(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标；(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.【知识点3离散型随机变量及其分布的解题策略】1．离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；(3)画表格：按规范要求形式写出分布列；(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值的定义求E(ξ).(5)由方差的定义求D(ξ).【知识点4二项分布与超几何分布、正态分布的解题策略】1．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点：

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.2．超几何分布的应用

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.3．正态分布问题的解题策略解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x=μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【知识点5回归分析、独立性检验的解题策略】1．回归分析的三大常用结论(1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心.(2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.(3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大.2．独立性检验的应用问题的解题策略解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式计算；(3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断.【题型1概率的综合问题】【例1】（2024·广东江门·模拟预测）现有1000个苹果，其中900个是大果，100个是小果，现想用一台水果分选机筛选出来．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽出一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（A．855857 B．8571000 C．171200【解题思路】法一：设抽取的果是大果为事件A，经过分选机筛选后是“大果”为事件B，利用全概率公式求得PB法二：具体到有1000个苹果，计算出真正的“大果”的个数和筛选出的“大果”的个数，由古典概型得到所求概率.【解答过程】法一：设抽取的果是大果为事件A，经过分选机筛选后是“大果”为事件B，则由题意可知P(A)=0.9,P(B∣A)=1−0.05=0.95,P(A所以P(B)=P(BA)+P(BA所以这颗“大果”是真的大果的概率为P(A∣B)=P(AB)法二：根据题意，从1000个苹果中机器筛选出的大果有900×0.95+100×0.02=857个，而这些机选“大果"中真正的大果有下900×0.95=855个，所以这颗“大果”是真的大果的概率为：855857故选：A．【变式1-1】（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：PA|B=PA．4951000 B．9951000 C．1011【解题思路】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到PAB【解答过程】设检验结果呈现阳性为事件A，此人患病为事件B，PABP=4.75%+1−0.05则PB故选：C.【变式1-2】（2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为34，小郅胜小睿的胜率为1(1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？(2)求最终小金获胜的概率.(3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）.【解题思路】（1）根据独立事件概率乘法公式求解即可.（2）根据互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可.（3）法一：利用条件概率求解即可；法二：根据事件的含义利用互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可.【解答过程】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意；第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意；所以需要下第四场比赛的概率为1（2）由题意，最终小金获胜的情况如下，当小金第一场轮空，第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时13第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时13则小金获胜P1当小金第一场不轮空，第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时13第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场小郅胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时13第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输，此时13所以第一场小郅与小金比赛，小金获胜概率为P2同理，第一场小睿与小金比赛，小金获胜概率为P3故小金获胜概率为P=（3）法一：设A：小金最终获胜；B：小郅第一场未轮空且获胜，则PA|B结合（2）知PAB=1∴P法二：第一场小睿轮空时，小金最终获胜概率为13第一场小金轮空时，小金最终获胜概率为2×1P【变式1-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）有编号为1,2,⋯,n的n个空盒子n≥2,n∈N，另有编号为1,2,⋯,k的k个球2≤k≤n,k∈N，现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记k号球能放入k号盒子的概率为(1)求P3,3(2)当n≥3时，求Pn,3(3)求Pn,k【解题思路】（1）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算；（2）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算；（3）分三类讨论1号球放入的盒子，1号球放入j2≤j≤k−1号盒中等效于将编号为1,2,⋯,k−j+1的球，按照题设规则放入编号为1,2,⋯,n−j+1的盒中Pn−j+1,k−j+1，做差运算可得【解答过程】（1）1号球放入1号盒中的概率为131号球放入2号盒中的概率为13,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为11号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中;综上所述：P3,3（2）1号球放入1号,4号，5号，,n号盒中的概率为n−2n1号球放入2号盒中的概率为1n,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，n号盒中，概率为n−21号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中;综上所述：P（3）1号球放入1号，k+1号，k+2号，k+3号，...,n号盒中的概率为n−k+1n,此时k号球可放入k1号球放入j2≤j≤k−1号盒中的概率为1n,此时2号，3号，剩下编号为j,j+1,j+2,⋯,k的球和编号为1,j+l,j+2,⋯,n的空盒，此时j号盒非空，j号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让k号球放入k号盒中的放法总数等效于将编号为1,2,⋯,k−j+1的球，按照题设规则放入编号为1,2,⋯,n−j+1的盒中（1号球仍然随机选择一个盒子放入）,所以概率为P1号球放入k号盒中时，此时k号球不能放入k号盒中：所以Pn,k整理得：nPn,k分别用n−1和k−1替换n和k，可得：n−1P由①②式相减，整理得：P从而Pn,kPn−k+2,2等于1号球不放在2号盒的概率，即P所以Pn,k【题型2超几何分布与二项分布的综合应用】【例2】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为ξ1,ξ2，ξ1,ξA．Eξ1=EC．Eξ1<E【解题思路】随机变量ξ1服从超几何分布,随机变量ξ【解答过程】由题意可知，ξ1的可能取值为0,1,2,3,4,5，ξ2的可能取值为随机变量ξ1服从超几何分布，随机变量ξ根据超几何分布的均值方差公式得：n=5,N=20,M=8，即E(ξD(ξ根据超二项分布的均值方差公式得：n=5,p=820D(ξ所以E(ξ1)=E(故选：A.【变式2-1】（23-24高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（

）A．1张 B．2张 C．3张 D．4张【解题思路】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大.【解答过程】设中奖的概率为p，30天中奖的天数为X，则X∼B若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为p=CEX若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为p=CEX若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率为p=CEX若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率为p=CEX根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，故选：B.【变式2-2】（2024·山西·三模）袋中装有大小、形状、材质完全相同的n个小球，其中有m个红球.(1)若n=5,m=3，现从袋中随机摸出2个小球，其中红球的个数为随机变量X，求X的方差D(X)(2)从袋中有放回地摸取小球N次，每次摸出一个小球，其中摸到红球的次数为随机变量Y，若Y的期望E(Y)=12，方差D(Y)=2.4，求N;(3)若n=100，现从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球，记录颜色后将摸出的小球放回袋中.以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，若m=30，求红球占比估计值的误差不超过10%的概率p参考数据:k0123456789100.30.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.0000【解题思路】（1）根据题意X服从超几何分布，先计算概率，再计算期望代入方差公式即可.（2）有放回的摸球，所以Y服从二项分布，利用期望，方差公式联立求出N.（3）有放回的摸球，每次摸一个球，摸10次，红球出现的次数k是服从二项分布的，想利用摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，当红球有30个时，红球实际的比例为310如果红球占比估计值的误差不超过10%，|k10−【解答过程】（1）X的取值有0，1，2.且服从超几何分布.因此P(X=0)=C22C3分布列如下：X012P133E(X)=0×1D(X)=(0−（2）因为有放回地摸取1个小球N次，每次摸到红球的概率是mn，所以E(Y)=N·mn=12，D(Y)=N·mn所以N=15.（3）设从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球中红球出现k次，所以摸出红球的频率为k10，当n=100，m=30红球所占比例为310，如果以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，且误差不超过10%，因此：|k10−310|≤【变式2-3】（2024·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85]（单位：mm）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于65mm为不达标果，在65mm到75mm之间为标准果，在75mm到(1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为X，求X的分布列与数学期望；(2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取nn≥2个，设其中恰有2个精品果的概率为Pn.当Pn【解题思路】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求得a，进而求出礼品果的个数，求出X的可能取值及对应的概率，得到X的分布列，代入期望公式求解期望；（2）根据Pn−1Pn=5【解答过程】（1）由题意(0.004+0.016+0.060+0.080+a)×5=1，所以a=0.040，所以这100个水果中礼品果的个数为0.040×5×100=20，采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，其中礼品果有20100故随机变量X的所有可能取值为0,1,2，则P(X=0)=C82C10所以X的分布列为X012P28161期望E(X)=0×28（2）由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取1个，是精品果的概率为0.080×5=0.4，则Pn所以Pn−1要使Pn最大，则Pn−1P解得4≤n≤5，因为P4所以P4=P5，所以当Pn最大时，【题型3正态分布的综合问题】【例3】（2024·福建泉州·模拟预测）中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量ξ~Bn,p，则当np>5且n1−p>5时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与方差分别与η附：若：η~Nμ,σ2，则Pμ−σ<η<μ+σ≈0.6827A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773【解题思路】先得到ξ~B2500,12，满足np>5且n【解答过程】骰子向上的点数为偶数的概率p=12，故显然np=n1−p=2500×12>5故η∼N1250,则μ+2σ=1250+50=1300，由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为0.5+1故选：D.【变式3-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn∼N0,2n，要控制XA．141 B．128 C．288 D．512【解题思路】根据题意得PXn≥【解答过程】根据题意得PXn≥即P−因为μ=0，所以P−3σ≤X≤+3σ所以3σ≤14，所以2n所以至少要测量的次数为288次，故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为x=110．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差s(2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2，其中参数μ和σ可以分别用（1）中的x和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y=5X−10另：6≈2.4若X−Nμ,σ2，则P【解题思路】（1）根据平均数为x=110，利用方差的计算公式可得方差s2=150，利用所给数据6（2）由题目提示可得X∼N110,150，σ≈12，利用正态分布的性质可得P122≤X≤134=0.1359，又因为Y=5X−10【解答过程】（1）抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2=80−1102×0.02+故估计这20000名考生数学成绩方差为150，标准差s=150（2）由（1）知μ可用x=110来估计，σ2可用s2σ=150又==0.9545−0.6827故P122≤X≤134又Y=5X−10，所以P600≤Y≤660故这20000名考生中成绩在［600,660]的人数服从二项分布B20000,0.1359，约为【变式3-3】（2024·山东日照·三模）电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N80,25，若某同学成绩满足μ−σ≤η≤μ+2σ，则该同学被评为“反诈标兵”；若η>μ+2σ（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；（ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取整）.(2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为X，求X的分布列及数学期望EX参考数据：若ξ∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤ξ≤μ+σ【解题思路】（1）根据题意，得到μ=80，σ=5，结合75<88<90，得出结论；（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，根据正态分布曲线的对称性，得到“反诈达人”的概率Pη>μ+2σ（2）根据题意，得到男生和女生了解“反诈”知识的概率，以及X的所有可能取值，结合独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【解答过程】（1）解：（i）由题意知，该校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N可得μ=80，σ=5，因为75<88<90，则该同学能被评为“反诈标兵”.（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，“反诈达人”的概率为：P则40n=0.02275，解得n≈1758，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为（2）解：由题意知，男生了解“反诈”知识的概率为34，女生了解“反诈