2025年高考数学复习(新高考专用)重难点25直线与圆综合【九大题型】特训(学生版+解析)

重难点25直线与圆的综合【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆的弦长与中点弦问题】 2【题型2圆的切线及切线方程问题】 3【题型3直线与圆中的面积问题】 3【题型4直线与圆中的最值问题】 4【题型5距离及其新定义问题】 5【题型6阿波罗尼斯圆】 6【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 7【题型8直线与圆中的向量问题】 8【题型9直线与圆中的探索性问题】 81、直线与圆的综合直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.【知识点1直线与圆相交时的弦长求法】1．圆的弦长的求法：设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.【知识点2圆的切线及切线方程问题】1．自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2．求过圆上的一点的圆的切线方程：

(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.(2)重要结论：①经过圆上一点P的切线方程为.

②经过圆上一点P的切线方程为.

③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.【知识点3解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题的解题方法直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【题型1圆的弦长与中点弦问题】【例1】（2024·河南·模拟预测）直线l:x+y=1，圆C:x2+y2−2x−2y−2=0.则直线l被圆C所截得的弦长为（

）A．2 B．23 C．27 【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=x+m(m>0)与⊙C:(x−1)2+y2=2交于A，B两点，若A．1 B．2 C．2−1 D．【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x−22+y−4A．6 B．7 C．8 D．9【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）直线l:y=kx−2与圆C:x2+y2−6x−7=0交于A，A．7,4 B．27,8 C．3【题型2圆的切线及切线方程问题】【例2】（2024·全国·模拟预测）已知圆C:x2+y2+4x+6y+12=0，直线l过点P−1,0，则“直线l的方程为4x−3y+4=0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线y=x上的一点P向圆x−42+y2=4引切线，切点为QA．2 B．2 C．6 D．2【变式2-2】（2024·天津和平·二模）过直线y=x上的点P作圆C：x+32+y−52=4的两条切线l1，l2，当直线l1，A．1,1 B．35,35 C．【变式2-3】（2024·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线2x−y−3=0上一点P作圆C:x2+2x+y2=1的两条切线，切点分别为A．265 B．255 C．【题型3直线与圆中的面积问题】【例3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆C的圆心在直线l1:x−y−3=0上且圆C与x轴相切于点(1)求圆C的方程；(2)已知直线l2:x+2y−1=0与圆C相交于A,B两点，求【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：x2+y(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=90°时，求k的值；(2)若k=12时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形【变式3-2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆M经过A1,5(1)求圆M的方程；(2)已知斜率为−12的直线l经过第三象限，且与圆M交于点E,F，求【变式3-3】（2024·江苏苏州·三模）已知圆O:x2+y2=4，直线l1:x=m，直线l2:y=x+b和圆交于A，B两点，过(1)求实数b的取值范围;(2)若m=−4，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数b的值;(3)若直线AD和直线BC交于点E，问是否存在实数m，使得点E在一条平行于x轴的直线上?若存在，求出实数m的值;若不存在，请说明理由.【题型4直线与圆中的最值问题】【例4】（2024·四川乐山·三模）已知圆O:x2+y2=16，点E是l:2x−y+16=0上的动点，过E作圆O的切线，切点分别为A,B，直线AB与EO交于点A．2 B．5 C．6 D．7【变式4-1】（2024·广东珠海·一模）已知点A−1,0，B0,3，点P是圆x−32+yA．6 B．112 C．92 【变式4-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆C:x2+2x+y2=0，点P为直线2x+y−2=0上的一点，过P作圆C的切线，切点分别为A．455 B．38 C．−【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【题型5距离及其新定义问题】【例5】（2024·四川成都·三模）已知圆C：x2+y2=1，直线l：x−y+c=0，则“c=22”是“圆CA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）已知实数a，b满足a2+b2+1=2a+2bA．1 B．2 C．4 D．16【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线C是直线族t2−1x−2ty+2t2+2=0t∈R的包络线，则C【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知点Px,y是圆(x+2)(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值．(2)求x−2y的最大值和最小值．(3)求y−2x−1【题型6阿波罗尼斯圆】【例6】（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点O0,0，A15,25，动点Px,y满足POPA=52，若点PA．12 B．1 C．2 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点P到相异两点A和B距离比值为不等于1的定值，则动点P的轨迹是圆心在直线AB上的圆，该圆被称为点A和B相关的阿氏圆．已知P在点A和B相关的阿氏圆O:x2+y2=4上，其中点A−4,0，点QA．32−1 B．32+1【变式6-2】（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到A2,0，B−2,0的距离比为3，则点P到直线l：22A．32+23 B．2+23 C．【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A−2,0,B4,0，点P满足PAPB=12A．C的方程为(x+4)B．当A,B,P三点不共线时，则∠APO=∠BPOC．在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|D．若D2,2，则PB+2【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆A：(x+2)2+y2=25，A为圆心，动直线l过点P(2,0)，且与圆A交于B，C两点，记弦BC(1)求曲线E的方程；(2)过A作两条斜率分别为k1，k2的直线，交曲线E于M，N两点，且k1【变式7-1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆G经过点2,23,−4,0(1)求圆G的标准方程；(2)若圆G与x轴分别交于M,N两点，A为直线l:x=16上的动点，直线AM,AN与曲线圆G的另一个交点分别为E,F，求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标．【变式7-2】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知△AMN的三个顶点分别为A3,0，M0,1，N0,9，动点P(1)求动点P的轨迹T的方程；(2)若B，C为（1）中曲线T上的两个动点，D为曲线x+12+y2=4x≠−3上的动点，且【变式7-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆C与直线x−3y+2=0相切于点1,3，且圆心C(1)求圆C的方程；(2)过点A1,0作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点B4,0，直线BN和直线OM交于点G.证明：点【题型8直线与圆中的向量问题】【例8】（2024·安徽·一模）已知直线x+y−k=0k>0与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B，O是坐标原点，且有A．3,6 B．2,6 C．【变式8-1】（2024·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x−12+y2=4，P为直线l:x+y+3=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PM，切点为点M，当A．4 B．2 C．2 D．3【变式8-2】（2024·河北唐山·二模）已知圆C：x2+y−32=4，过点0,4的直线l与x轴交于点P，与圆C交于A，BA．0,1 B．0,1 C．0,2 D．0,2【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设点Pa,b，若直线l:ax+by=1与圆O:x2+y2=4交于A,BA．12,22 B．0,22【题型9直线与圆中的探索性问题】【例9】（23-24高一下·云南昆明·期末）已知直线l:y=kxk≠0与圆C:x2+y(1)若AB=14(2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期中）圆C:x(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；(2)已知a>1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=9相交于两点A，B．问：是否存在实数【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心C在直线y=−2x上，并且经过点A2,−1，与直线x+y−1=0(1)求圆C的标准方程；(2)对于圆C上的任意一点P，是否存在定点B（不同于原点O）使得PBPO恒为常数？若存在，求出点B【变式9-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为2的圆C的圆心在x轴的正半轴上，且直线l:3x−4y+4=0与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)若Q的坐标为(−2,4)，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M,N，求直线MN的方程；(3)过点A(1,0)任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E,F两点，在x非正半轴上是否存在点B，使得∠ABE=∠ABF？若存在，求点一、单选题1．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线l:kx−y−2=0与曲线C:1−(y−1)2=x−1有两个不同的交点，则实数A．(43,+∞) B．(42．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆C:x−32+y−42=9，直线l:m+3A．27 B．10 C．22 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1−x=4−y2A．17＋2，17－2 B．17＋2，5C．37，17－2 D．37，54．（2024·江西宜春·模拟预测）已知动点P到原点O与到点A(2,0)的距离之比为3:2，记P的轨迹为E，直线l:5x−53y+2=0，则（A．E是一个半径为25B．E上的点到l的距离的取值范围为2C．l被E截得的弦长为4D．E上存在四个点到l的距离为25．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圆(x−2)2+y2=9的弦AB的中点为Q1,1，点A．2 B．62−3 C．8 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点M是圆O:x2+y2=1上任一点，点Q−3,0A．1 B．43 C．53 7．（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知圆C:x−32+y−42=1，直线l:3kx−3y+5k−6=0上存在点P，过点P作圆C的切线，切点分别为A,B，使得A．34,14C．43,128．（2024·河北承德·二模）已知圆C:x2+(y−2)2=1，圆C与y轴交于A0,3,B0,1，斜率存在且过原点O的直线l与圆C相交于M,N两点，直线AM与直线BN相交于点P，直线AM､直线A．k1+6kC．2k1+二、多选题9．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线l:kx−y+k=0，圆C:x2+y2A．x0B．y0xC．直线l与圆C相切时，k=±D．圆心C到直线l的距离最大为410．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆C:(x−2)2+(y−1)2=9，直线l:kx−y+1=0与C交于A,B两点，点M为弦A．弦AB有最小值为25 B．OM有最小值为C．△OCM面积的最大值为5+12 D．11．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆C:x−12+y−12=3，直线l:x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A．PA的取值范围为6B．四边形PACB面积的最小值为3C．存在点P使∠APB=D．直线AB过定点0,0三、填空题12．（23-24高二下·上海·期中）过点A−1,3的直线l被圆x2+y2.13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数x，y满足y=8−x2+2x，则t=y+314．（2024·河南商丘·模拟预测）已知过点P(0,−2)的直线l1,l2分别与圆E:x2+y2−4y=0交于A,B两点（点B在A的上方）和C,D两点（点C在D的上方），且四边形四、解答题15．（23-24高一下·重庆·期末）已知圆C：x2+y2−4x−4y+7=0关于直线x−y+1=0的对称圆的圆心为D(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)若直线l与圆D交于A,B两点，AB=2，求直线16．（23-24高二上·北京·期中）已知圆Q:(x−6)2+y2(1)若l与圆Q相切，求直线l的方程；(2)若l与圆Q相交于不同的两点A,B，是否存在常数k，使得向量OA+OB与PQ共线？若存在，求17．（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含地界和内部），BC长为12米，在AB边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为2v，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点．(1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程；(2)若N为矩形场地BC边上的一点，若机器犬在线段EN上都能逃脱，问N点应在何处？18．（23-24高二下·河南·开学考试）已知P是圆O:x2+y2=9上的动点，点Q满足(1)求曲线E的方程.(2)直线l:m+3x+3m−2y+332−m=0与圆O交于19．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为83的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C(1)求圆C的标准方程．(2)若Mx,y是圆C上任意一点，求（(3)已知A0,−1，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点重难点25直线与圆的综合【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆的弦长与中点弦问题】 2【题型2圆的切线及切线方程问题】 4【题型3直线与圆中的面积问题】 7【题型4直线与圆中的最值问题】 11【题型5距离及其新定义问题】 14【题型6阿波罗尼斯圆】 16【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 19【题型8直线与圆中的向量问题】 24【题型9直线与圆中的探索性问题】 261、直线与圆的综合直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.【知识点1直线与圆相交时的弦长求法】1．圆的弦长的求法：设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.【知识点2圆的切线及切线方程问题】1．自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2．求过圆上的一点的圆的切线方程：

(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.(2)重要结论：①经过圆上一点P的切线方程为.

②经过圆上一点P的切线方程为.

③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.【知识点3解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题的解题方法直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【题型1圆的弦长与中点弦问题】【例1】（2024·河南·模拟预测）直线l:x+y=1，圆C:x2+y2−2x−2y−2=0.则直线A．2 B．23 C．27 【解题思路】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用勾股定理即可求解.【解答过程】圆C的标准方程为x−12由此可知圆C的半径为r=2，圆心坐标为C1,1所以圆心C1,1到直线l:x+y=1的距离为d=所以直线被圆截得的弦长为2r故选：D.【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=x+m(m>0)与⊙C:(x−1)2+y2=2交于A，B两点，若A．1 B．2 C．2−1 D．【解题思路】如图，根据点到直线的距离求出圆心C(1,0)到直线l:x−y+m=0的距离，由垂径定理求出CD，建立关于m的方程，解之即可求解.【解答过程】如图，取AB的中点D，连接CD,AC，则AB⊥CD，

圆C:(x−1)2+y2圆心C(1,0)到直线l:x−y+m=0的距离为d=1+m又d=r2−由m>0，解得m=2故选：C.【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x−22+y−4A．6 B．7 C．8 D．9【解题思路】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数.【解答过程】由题设，圆C的圆心为(2,4)，且半径r=10而2−22+1−42=9<10当直线l与2,1、(2,4)的连线垂直时，弦长最短为2r而最长弦长为圆的直径为210，故所有弦的弦长范围为[2,2所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为2,3,4,5,6，根据圆的对称性，弦长为3,4,5,6各有2条，弦长为2的只有1条，综上，共9条.故选：D.【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）直线l:y=kx−2与圆C:x2+y2−6x−7=0交于A，A．7,4 B．27,8 C．3【解题思路】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出AB的取值范围.【解答过程】由题易知直线l:y=kx−2恒过M0,−2圆C:x2+即圆心为C3,0，半径r=4圆心到M0,−2距离CM所以M0,−2在圆C则直线l与圆C交点弦AB最大值为直径即8，AB最小时即为圆心到直线距离最大，即CM⊥l时，此时AB=2所以AB的取值范围为23故选：D.【题型2圆的切线及切线方程问题】【例2】（2024·全国·模拟预测）已知圆C:x2+y2+4x+6y+12=0，直线l过点P−1,0，则“直线l的方程为4x−3y+4=0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据直线与圆相切求出切线方程，再由充分条件、必要条件得出选项.【解答过程】因为圆C:x2+所以圆C的圆心坐标是−2,−3，半径为1．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=−1，满足直线l当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，即kx−y+k=0由圆心C−2,−3到直线l的距离等于圆C的半径，得−2k+3+kk2故直线l的方程是4x−3y+4=0．综上所述，当直线l的方程是x=−1或4x−3y+4=0时，直线l则“直线l的方程为4x−3y+4=0”是“直线l与圆C相切”的充分不必要条件．故选：A.【变式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线y=x上的一点P向圆x−42+y2=4引切线，切点为QA．2 B．2 C．6 D．2【解题思路】根据已知条件，求得PQ=d2−r【解答过程】由已知有：圆的圆心4,0，半径为r=2，直线的一般方程为x−y=0，设点P到圆心的距离为d，则有PQ⊥CQ，所以PQ=所以d取最小值时，PQ取得最小值，因为直线上点P到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，所以d=4−01+1=22，故故选：B.【变式2-2】（2024·天津和平·二模）过直线y=x上的点P作圆C：x+32+y−52=4的两条切线l1，l2，当直线l1，A．1,1 B．35,35 C．【解题思路】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.【解答过程】圆C:x+32+直线l1,l2关于直线y=x对称时，所以直线CP的方程为y−5=−x+3由x+y−2=0y=x解得x=1y=1，所以故选：A.【变式2-3】（2024·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线2x−y−3=0上一点P作圆C:x2+2x+y2=1的两条切线，切点分别为A．265 B．255 C．【解题思路】由题意圆C:x2+2x+y2=1的标准方程为C:x+1+y【解答过程】如下图所示：

由题意圆C的标准方程为C:x+1+y又因为sinα=ACCP所以sin∠APB=2又圆心C−1,0到直线2x−y−3=0的距离为d=所以CP≥d=5，所以不妨设则sin∠APB=2又因为ft在0,15单调递增，所以当且仅当t=15即CPsin∠APB有最大值sin故选：A.【题型3直线与圆中的面积问题】【例3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆C的圆心在直线l1:x−y−3=0上且圆C与x轴相切于点(1)求圆C的方程；(2)已知直线l2:x+2y−1=0与圆C相交于A,B两点，求【解题思路】（1）设圆心坐标为C(a,b)，由题意a−b−3=0a=2（2）求出圆心到直线l2的距离，结合圆的弦长公式求得AB【解答过程】（1）设圆心坐标为C(a,b)，由于圆C的圆心在直线l1:x−y−3=0上且圆C与x轴相切于点可得a−b−3=0a=2，解得a=2b=−1，即圆心坐标为由于圆C与x轴相切于点M(2,0)，则半径r=−1所以圆C的方程为(x−2)2（2）依题意，圆心(2,−1)到直线l2:x+2y−1=0的距离因为直线l2:x+2y−1=0与圆C相交于所以弦长AB=2所以S△ABC【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：x2+y(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=90°时，求k的值；(2)若k=12时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形【解题思路】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解；（2）将四边形OCPD的面积的最小值转化为求S△OPD的面积最小值，根据S【解答过程】（1）当∠AOB=90°时，由垂径定理得圆心O到直线l:y=kx+4的距离为2，则41+解得k=±7（2）当k=12时，直线l:y=由已知得S又OPmin所以S△OPD的最小值为8又因为四边形OCPD的面积的为2S△OPD【变式3-2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆M经过A1,5(1)求圆M的方程；(2)已知斜率为−12的直线l经过第三象限，且与圆M交于点E,F，求【解题思路】（1）设出圆方程，代入点坐标，利用待定系数法求解圆M的方程即可.（2）设出直线方程，表示出△EFM的面积，根据参数范围即可求出△EFM的面积的取值范围.【解答过程】（1）设圆M的方程为x2+y则D+5E+F+26=04D+2E+F+20=05则圆M的方程为x2（2）

由（1）知圆M的方程为x−12即圆心M1,2，半径为r=3可设直线l方程：y=−1圆心M1,2到直线l的距离为d=由于k<0，且直线l与圆交于两点，因此d>5,0<d<3，即线段EF=29−d2，因此△EFM由于5<d<3，则d2∈所以△EFM的取值范围为0,25【变式3-3】（2024·江苏苏州·三模）已知圆O:x2+y2=4，直线l1:x=m，直线l2:y=x+b和圆交于A，B两点，过(1)求实数b的取值范围;(2)若m=−4，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数b的值;(3)若直线AD和直线BC交于点E，问是否存在实数m，使得点E在一条平行于x轴的直线上?若存在，求出实数m的值;若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）利用圆O与直线l2相交可建立关于b（2）联立圆O与直线l2的直线方程，利用韦达定理和b表示出四边形ABDC（3）表示出直线AD和直线BC交的直线方程，联立方程组得到y的值，再结合韦达定理可得实数m.【解答过程】（1）圆O的半径为2，因为直线l2和圆O交于A，B所以圆心到直线l2的距离d=解得−22则实数b的取值范围为−22（2）设Ax1,由y=x+bx2+所以x1+x则y1−y因为四边形ABDC为直角梯形，所以四边形ABDC的面积S==1令fb=8−f′b=48−bb当−22<b<2−22时，f当2−22<b<22时，f所以当b=2−22时四边形ABDC且最大值为6+22

（3）Ax1,y1,Bx由（2）x1+x2=−b,直线AD:y−y2联立得y=y=若bm+4b+2m为常数，则bm+4=kb+2m，其中可得k=m4=2mk，解得k=±所以当m=±2时点E在一条平行于x【题型4直线与圆中的最值问题】【例4】（2024·四川乐山·三模）已知圆O:x2+y2=16，点E是l:2x−y+16=0上的动点，过E作圆O的切线，切点分别为A,B，直线AB与EO交于点A．2 B．5 C．6 D．7【解题思路】根据已知条件及三角形相似，利用向量的关系及点在直线上，结合圆上的点到定点的距离的最值即可求解.【解答过程】由题意作出图形如图所示设Mx,y，Ex′,y′，由所以|OE||OM|=|OA|2所以x′所以x′所以点E16x将点E的坐标代入直线l:2x−y+16=0中，化简可得x+12+y−12所以点M的轨迹是以−1,12为圆心，所以OM的最大值为−1−0故选：B.【变式4-1】（2024·广东珠海·一模）已知点A−1,0，B0,3，点P是圆x−32+yA．6 B．112 C．92 【解题思路】求出直线AB的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线AB距离的最小值即可求得最小值.【解答过程】两点A−1,0，B0,3，则|AB|=(−1)2+圆x−32+y2=1点C到直线AB:3x−y+3=0的距离d=12因此点P到直线AB距离的最小值为d−r=6所以△PAB面积的最小值是12故选：D.【变式4-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆C:x2+2x+y2=0，点P为直线2x+y−2=0上的一点，过P作圆C的切线，切点分别为A．455 B．38 C．−【解题思路】根据给定条件，利用切线长定理，结合二倍角的余弦公式列式，再借助点到直线距离求解即得.【解答过程】圆C:x2+2x+y2依题意，cos∠APB=1−2显然当PC取得最小值时，cos∠APBPC的最小值即为点C到直线2x+y−2=0的距离，即|PC|所以(cos故选：B.【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【解题思路】利用数形结合，将面积PCOD的最值转化为求OP的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示PC⋅【解答过程】如图，当点P是AB的中点时，此时OP⊥AB，OP最短，最小值为2，当点P与点A或点B重合时，此时OP最长，最大值为2，因为PC,PD是圆O的切线，所以PC⊥OC，PD⊥OD，则四边形PCOD的面积为PCOC所以四边形PCOD的面积的最小值为2−1=1，最大值为4−1PC⋅=PC=PO2+设y=t+2t−3,t∈故选：B.【题型5距离及其新定义问题】【例5】（2024·四川成都·三模）已知圆C：x2+y2=1，直线l：x−y+c=0，则“c=22”是“圆CA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【解题思路】利用圆C上恰存在三个点到直线l的距离等于12，等价于O0,0到直线l：x−y+c=0的距离为【解答过程】因为圆C：x2+y2=1当圆C上恰存在三个点到直线l的距离等于12则O0,0到直线l：x−y+c=0的距离为1所以0−0+c1+1=1当c=22时，由上可知O0,0到直线l：x−y+c=0此时圆C上恰存在三个点到直线l的距离等于12所以“c=22”是“圆C上恰存在三个点到直线l的距离等于故选：A.【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）已知实数a，b满足a2+b2+1=2a+2bA．1 B．2 C．4 D．16【解题思路】将已知a2+b2+1=2a+2b【解答过程】依题意可知曲线fa,b=0表示一个以求3a+4b−12的最小值相当于先求d=即求圆a−12+b−12=1所以dmin即3a+4b−12故选：A．【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线C是直线族t2−1x−2ty+2t2+2=0t∈R的包络线，则C【解题思路】将切线方程转化为关于t的方程为x+2t2−2yt+2−x=0.根据一个解对应一条切线可知该方程仅有一解，利用Δ【解答过程】曲线C上任一点Px,y对应的切线方程为t将其整理为关于t的方程为x+2t由题意知，一个解对应一条切线，即关于t的方程仅有一解，所以Δ=−2y2即曲线C的方程为x2故C上的点到直线x+y=4的最小距离为d=4故答案为：22【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知点Px,y是圆(x+2)(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值．(2)求x−2y的最大值和最小值．(3)求y−2x−1【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值；（2）解法一，转化为直线x−2y−t=0与圆(x+2)2（3）首先设y−2x−1=k，再转化为直线kx−y−k+2=0与圆【解答过程】（1）圆心C−2,0到直线3x+4y+12=0的距离为d=∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=65+1=（2）解法一：设t=x−2y，则直线x−2y−t=0与圆(x+2)2∴|−2−t|12+则tmax=5−2,tmin=−2−解法二：设x=−2+cosθ,y=sinθ，则∴得−2−5≤x−2y≤−2+5，即x−2y的最大值为5（3）y−2x−1表示圆上的点Px,y与点A1,2设y−2x−1=k，即kx−y−k+2=0，直线kx−y−k+2=0与圆设d=|−3k+2|解得3−3则kmax=3+34,k【题型6阿波罗尼斯圆】【例6】（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点O0,0，A15,25，动点Px,y满足POPA=52，若点PA．12 B．1 C．2 【解题思路】由题意计算可得点P的轨迹为圆，由公切线条数可知两圆外切，借助两圆外切的性质计算即可得解.【解答过程】由题意可得x2+y即x−12+y−22=4，即动点P由C：x2+y2+6x+2y=故圆C以−3,−1为圆心，r为半径，由两圆有且仅有三条公切线，故两圆外切，即有r+2=1+32+故选：D.【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点P到相异两点A和B距离比值为不等于1的定值，则动点P的轨迹是圆心在直线AB上的圆，该圆被称为点A和B相关的阿氏圆．已知P在点A和B相关的阿氏圆O:x2+y2=4上，其中点A−4,0，点QA．32−1 B．32+1【解题思路】借助阿氏圆定义计算可得B点坐标，进而可得12【解答过程】方法一：因为圆O:x2+y2由阿氏圆定义知，点B在x轴上，设Bt,0圆O:x2+y2=4与则由阿氏圆定义知P1BP解得t=−1或t=−4（舍），故B−1,0且PBPA=1故PQ+当且仅当B，P，Q，M四点共线时，PQ+方法二：设Px0,y0故1=x02+y故PQ+当且仅当B，P，Q，M四点共线时，PQ+故选：C．【变式6-2】（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到A2,0，B−2,0的距离比为3，则点P到直线l：22A．32+23 B．2+23 C．【解题思路】先由题意求出点P的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.【解答过程】由题意，设点Px,y，则PA∴x−22+y2x+2∴点P的轨迹是以−4,0为圆心，半径r=23圆心−4,0到直线l：22x−y−2∴点P到直线l最大距离为d+r=32故选：A.【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A−2,0,B4,0，点P满足PAPB=12A．C的方程为(x+4)B．当A,B,P三点不共线时，则∠APO=∠BPOC．在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|D．若D2,2，则PB+2【解题思路】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.【解答过程】设Px,y，由PAPB=12当A,B,P三点不共线时，OAOB=12=PAPB设Mx,y,则x2+y2=2x+22+y2误；因为PAPB=12，所以PB=2PA，所以故选：C.【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆A：(x+2)2+y2=25，A为圆心，动直线l过点P(2,0)，且与圆A交于B，C两点，记弦BC(1)求曲线E的方程；(2)过A作两条斜率分别为k1，k2的直线，交曲线E于M，N两点，且k1【解题思路】（1）根据题意可得：AQ⊥BC，AQ⊥PQ，即点Q的轨迹为以AP为直径的圆，从而得到曲线E的方程；（2）讨论当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立x2+y2=4，结合韦达定理可得：x1+x2=−2ktk2+1，【解答过程】（1）因为Q是弦BC的中点，所以AQ⊥BC，即AQ⊥PQ，所以点Q的轨迹为以AP为直径的圆，所以曲线E的方程为x2（2）当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t，代入x2+y设M(x1,y1)，则Δ>0，x1+k根据根与系数的关系，得t2即(t−k)(t−2k)=0.若t−2k=0，则直线MN过点A，舍去；所以t−k=0，即t=k，直线MN的方程为y=k(x+1)，故直线过定点(−1,0).当直线MN斜率不存在时，设直线MN：x=t(−2<t<2)，与曲线E的方程联立，可得M(t,4−t2)，N(t,−4−故直线MN的方程为x=−1综上，直线MN过定点(−1,0).【变式7-1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆G经过点2,23,−4,0(1)求圆G的标准方程；(2)若圆G与x轴分别交于M,N两点，A为直线l:x=16上的动点，直线AM,AN与曲线圆G的另一个交点分别为E,F，求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标．【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM的方程和直线AN的方程，分别与圆的方程联立写出E、F的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF经过定点，并求出定点的坐标.【解答过程】（1）因为圆心在直线y=x上，设圆心为a,a又因为圆G经过点2,2则a−22+a−2所以圆心0,0,半径为0+4所以圆G的标准方程为x（2）由圆G与x轴分别交于M,N两点，不妨设M−4,0又A为直线l:x=16上的动点，设A16,tt≠0则AM方程为y=t20x+4，AN设Ex联立方程y=t20x+4所以−4x1=16t联立方程y=t12x−4所以4x2=16t当t≠±415时，kEF=所以直线EF的方程为y−化简得y=32t240−t2x−1当t=±415时，x1=x2综上，直线EF过定点1,0.【变式7-2】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知△AMN的三个顶点分别为A3,0，M0,1，N0,9，动点P(1)求动点P的轨迹T的方程；(2)若B，C为（1）中曲线T上的两个动点，D为曲线x+12+y2=4x≠−3上的动点，且【解题思路】（1）设Px,y（2）设直线AB和直线AC的斜率之积为mm≠0，设Bx1,y1，Cx2,y2，Dx0,y【解答过程】（1）设Px,y，由PN=3PM化简得动点P的轨迹T的方程为x2（2）设直线AB和直线AC的斜率之积为mm≠0事实上，若m=0，则直线BC必过原点，从而D的坐标为−3,0，不合题意，舍去．设Bx1,y1，Cx2则y1又B，C在圆O：x2+y2=9所以9−x12整理得x1因为AD=AB+从而Dx1+x2所以y1+y将①代入：9+9+2mx化简得：(m+1)x将②代入：3m2+1因为x1+x2−3≠−3，所以x【变式7-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆C与直线x−3y+2=0相切于点1,3，且圆心C(1)求圆C的方程；(2)过点A1,0作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点B4,0，直线BN和直线OM交于点G.证明：点【解题思路】（1）设圆心Ca,0（2）设直线MN方程，与圆方程联立，得到韦达定理式，求出直线OM和直线BN的方程，联立求得xG【解答过程】（1）由圆心C在x轴的正半轴上设圆心Ca,0又圆C与直线x−3y+2=0相切于点1,3，则3所以C2,0，半径r=2−12+0−（2）设Mx1,y1，N联立x−22+yΔ=−2m2+12m直线OM方程为：y=y1x1x联立y=y1x所以点G在直线x=−2上.【题型8直线与圆中的向量问题】【例8】（2024·安徽·一模）已知直线x+y−k=0k>0与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B，O是坐标原点，且有A．3,6 B．2,6 C．【解题思路】设AB中点为C，由条件得出AB与OC的关系结合点到直线的距离解不等式即可.【解答过程】设AB中点为C，则OC⊥AB，∵OA+∴2OC≥3∵OC2+1又∵直线x+y−k=0k>0与圆x2+∴OC2<4，故则4>|−k|∵k>0,∴6故选：C．【变式8-1】（2024·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x−12+y2=4，P为直线l:x+y+3=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PM，切点为点M，当A．4 B．2 C．2 D．3【解题思路】判断出PM最小时P点的位置，进而求得此时PM⋅【解答过程】由于PM是圆C的切线，所以PM⊥CM，所以PM=当PC⊥l时，PC最小，此时PM最小.C1,0到直线l:x+y+3=0的距离为1+0+3则PC⊥l时，PC=22，所以此时三角形PCM是等腰直角三角形，所以当PM最小时，则PM⋅PC的值为故选：A.【变式8-2】（2024·河北唐山·二模）已知圆C：x2+y−32=4，过点0,4的直线l与x轴交于点P，与圆C交于A，BA．0,1 B．0,1 C．0,2 D．0,2【解题思路】作出线段AB的中点D，将CA+CB转化为2CD，利用垂径定理，由图化简得CP⋅CA+CB【解答过程】

如图，取线段AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，由CP⋅CA+因直线l经过点M(0,4)，考虑临界情况，当线段AB中点D与点M重合时（此时CM⊥AB），弦长AB最小，此时CD最长，为|CD|max=|CM|=4−3=1，（但此时直线l与x当线段AB中点D与点C重合时，点P与点O重合，CD最短为0（此时符合题意）.故CP⋅CA+故选：D.【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设点Pa,b，若直线l:ax+by=1与圆O:x2+y2=4交于A,BA．12,22 B．0,22【解题思路】设AB得中点为D，根据垂径定理结合向量的线性运算可得OD>DA，进而可得【解答过程】由题意可知：圆O:x2+y2设AB得中点为D，可知OD⊥AB,OA因为OA+OB>即OD>DA，可得OD>可知圆心O0,0到直线l:ax+by=1的距离d=可得a2+所以OP的取值范围为12故选：A.【题型9直线与圆中的探索性问题】【例9】（23-24高一下·云南昆明·期末）已知直线l:y=kxk≠0与圆C:x2+y(1)若AB=14(2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由【解题思路】（1）由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由垂径定理列式求得k；（2）设Ax1,y1【解答过程】（1）由圆C:x2+y2−2x−3=0，得∵|AB|=14,∴C到AB的距离为由点到直线的距离公式可得:|k|k2+1（2）设Ax联立y=kxx2+∵Δ∴x设存在点M(m,0)满足题意，即kAM∴k∵k≠0,∴x即−61+k∴存在点M(−3,0)符合题意.【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期中）圆C:x(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；(2)已知a>1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=9相交于两点A，B．问：是否存在实数【解题思路】（1）从直线与圆相切时仅有一个公共点的特点，利用Δ=0求得参数a（2）先求出点M1,0，Na,0，设出直线AB方程，与圆O方程联立，得到韦达定理，再将∠ANM=∠BNM等价转化成NA、NB的斜率互为相反数，代入韦达定理计算即得【解答过程】（1）由x=0x2−因为圆与y轴相切，所以Δ=a2故所求圆C的方程为x2+y（2）令y=0得x2解得x=1或x=a，而a>1，即M1,0，N假设存在实数a，设Ax1,当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx−1由y=kx−1x2根据韦达定理有x1又∠ANM=∠BNM，则NA、NB的斜率互为相反数，即y1x1于是x1−1x将（*）代入可得：2(k2−9)1+k当直线AB与x轴垂直时，|AM|=|BM|,显然满足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．综上所述，存在a=9，使得∠ANM=∠BNM．【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心C在直线y=−2x上，并且经过点A2,−1，与直线x+y−1=0(1)求圆C的标准方程；(2)对于圆C上的任意一点P，是否存在定点B（不同于原点O）使得PBPO恒为常数？若存在，求出点B【解题思路】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆C的标准方程；（2）设P(x,y)，定点B(m,n)(m，n不同时为0)，根据|PA||PO|=λ(λ为常数），可得(x−m)2+(y−n)【解答过程】（1）圆心C在直线y=−2x，故设圆心为a,−2a，半径为r，则a−22+−2a所以圆的方程为x−1（2）设P(x,y)，且x−12+y+2设定点B(m,n)，(m,n不同时为0)，PBPO则(x−m)2两边平方，整理得(1−代入x2+y化简得2(1−所以，2(1−λ2)−2m=0−4(1−λ即B(3【变式9-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为2的圆C的圆心在x轴的正半轴上，且直线l:3x−4y+4=0与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)若Q的坐标为(−2,4)，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M,N，求直线MN的方程；(3)过点A(1,0)任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E,F两点，在x非正半轴上是否存在点B，使得∠ABE=∠ABF？若存在，求点【解题思路】（1）根据点到直线的距离，结合待定系数法即可求解圆心，（2）根据四点共圆可得圆D方程，进而可得公共弦的直线方程，或者利用向量垂直的坐标关系可得切线方程，进而可得直线方程，（3）根据斜率和为0，结合斜率公式以及韦达定理即可化简求解.【解答过程】（1）设圆心C的坐标为(a,0)(a>0)，则圆C的方程为(x−a)2因为直线3x−4y+4=0与圆C相切，所以点C(a,0)到直线l:3x−4y+4=0的距离d=|3a+4|因为a>0，所以a=2，所以圆C的标准方程为(x−2)2（2）法1：由条件可知Q,M,C,N四点共圆，且QC直径，记为圆D，则D0,2,半径2所以圆D的方程为x2因为圆C的方程为x2两圆方程相减可得x−y−1=0，所以直线MN的方程为x−y−1=0；法2：设M(x3,y4),N(x根据MC⊥HQ,可得切线QM的方程为因为Q在直线QM上，所以−4(x同理−4(x从而直线MN的方程为−4(x−2)+4y=4，即x−y−1=0；（3）设存在点B(b,0)(b≤0)满足条件，由题可设直线AE:x=my+1，E(x由x=my+1x−22+∵点A(1,0)在圆C内部，∴Δ>0恒成立，则y因为∠ABE=∠ABF，所以kBE=−k即是y1my从而2m×−3m2因为对任意的m∈R都要成立，所以b=−2，由此可得假设成立，存在满足条件的B，且坐标为(−2,0)．一、单选题1．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线l:kx−y−2=0与曲线C:1−(y−1)2=x−1有两个不同的交点，则实数A．(43,+∞) B．(4【解题思路】根据直线与半圆的位置关系可求k的取值范围.【解答过程】曲线C:1−(y−1)2曲线与x轴的交点为A1,0而直线l:kx−y−2=0为过0,−2的动直线，当直线l与半圆相切时，有k−31+k2当直线l过A时，有k=2因为直线l与半圆有两个不同的交点，故43故选：D.2．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆C:x−32+y−42=9，直线l:m+3A．27 B．10 C．22 【解题思路】先求出直线l所过的定点P2,3，数形结合得到当CP⊥l时，直线l被圆C【解答过程】直线l:m+3令x−y+1=03x−2y=0，解得x=2y=3，所以直线l恒过定点圆C:x−32+y−42且PC2=2−3当CP⊥l时，圆心C到直线l的距离最大为d=PC此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为2r故选：A.3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1−x=4−y2A．17＋2，17－2 B．17＋2，5C．37，17－2 D．37，5【解题思路】由题意可得曲线1−x=4−y2表示的图形为以A(1,0)为圆心，2为半径的半圆，x【解答过程】由1−x=4−y2，可知x≤1且有(x−1)2+yB

又因为x2+(y−4)又因为|PA|=1所以x2+(y−4)当动点与图中C(1,−2)点重合时，x2+(y−4)故选：C．4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知动点P到原点O与到点A(2,0)的距离之比为3:2，记P的轨迹为E，直线l:5x−53y+2=0，则（A．E是一个半径为25B．E上的点到l的距离的取值范围为2C．l被E截得的弦长为4D．E上存在四个点到l的距离为2【解题思路】设P(x,y)，则x2+y2x−22+y2=32，整理得x−1852+y2=14425，所以E是一个圆心为185，0，半径为125的圆，判断A；再利用点到直线的距离公式，求得圆心185，0到直线l的距离为2，得到E上的点到直线l的距离的取值范围，判断B；由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形求出弦长，判断【解答过程】对于A，设P(x,y)，则x2整理得x−18所以E是一个圆心为185，0，半径为12对于B，因为圆心185，0到直线l所以E上的点到直线l的距离的取值范围为[0，2+125]，即[0，22对于C，圆心185，0所以l被E截得的弦长为21252对于D，因为125−2=25，所以E上存在三个点到l的距离为故选：C．5．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圆(x−2)2+y2=9的弦AB的中点为Q1,1，点A．2 B．62−3 C．8 【解题思路】由题意，圆心M2,0，半径为3，且AB=27和PQ【解答过程】圆(x−2)2+y

∵Q1,1为弦AB的中点，∴MQ⊥AB,AB∵PQ≤MQ∴=|PQ|2−故选:D.6．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点M是圆O:x2+y2=1上任一点，点Q−3,0A．1 B．43 C．53 【解题思路】根据题目阿波罗尼斯圆的条件不妨取Px0,y0，使得|MQ|=3|MP|，从而将所求转化为|MP|+|MB|，根据题意，|MQ|=3|MP|所表示的圆与圆O相同可解得P点坐标，再利用三角形两边之和大于第三边得到|MP|+|MB|≥|BP|【解答过程】设M(x,y)，不妨取Px0,则9x−整理得8x此方程与x2所以有18x0+6=0所以P−所以13|MQ|+|MB|=|MP|+|MB|≥|BP|，当且仅当M在线段因为|OP|=13<1|OB|=1+1=2所以线段BP与圆O必有交点（记为N），当M,N重合时，|MP|+|MB|=|BP|=1+故选：C.7．（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知圆C:x−32+y−42=1，直线l:3kx−3y+5k−6=0上存在点P，过点P作圆C的切线，切点分别为A,B，使得A．34,14C．43,12【解题思路】首先得到圆C的圆心坐标与半径，依题意可得PC=2，即可得到动点P【解答过程】圆C:x−32+y−42

因为∠APB=60∘，在Rt△PAC中∠APC=所以PC=2，所以点P的轨迹方程为x−32+y−42又直线l:3kx−3y+5k−6=0上存在点P，所以直线l与x−32+y−42=4有交点，所以9k−12+5k−6即实数k的取值范围是34故选：D．8．（2024·河北承德·二模）已知圆C:x2+(y−2)2=1，圆C与y轴交于A0,3,B0,1，斜率存在且过原点O的直线l与圆C相交于M,N两点，直线AM与直线BN相交于点P，直线AM､直线A．k1+6kC．2k1+【解题思路】直线AM和直线BN分别与圆C联立方程组，求出M,N两点的坐标，由kOM=kON，得k1+3k2=0，直线AM【解答过程】由题意得直线AM:y=k1x+3，与圆C可求出点M−2k1由于M,N在直线l上，因此k12+3显然k1k2≠−1，否则点P在圆C上，再联立直线AM:y=k1x+3与直线BN:y=因此k3则k3−kk3−2k故选：A.二、多选题9．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线l:kx−y+k=0，圆C:x2+y2A．x0B．y0xC．直线l与圆C相切时，k=±D．圆心C到直线l的距离最大为4【解题思路】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【解答过程】圆C的方程可化为x−32+y2=22OC=3，P所以x02+如图所示，当直线OP的斜率大于零且与圆相切时，y0此时OC=3,PC=2,直线l:kx−y+k=0，即y=kx+1，过定点−1,0若直线l与圆C相切，则圆心C3,0到直线l的距离为2即3k+k1+k2圆心C3,0到直线l的距离d=当k=0时，d=0，当k≠0时，d=4k故选：BC.10．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆C:(x−2)2+(y−1)2=9，直线l:kx−y+1=0与C交于A,B两点，点M为弦A．弦AB有最小值为25 B．OM有最小值为C．△OCM面积的最大值为5+12 D．【解题思路】易得直线l:kx−y+1=0过定点Q0,1，根据点Q为弦AB的中点时，AB最小，即可判断A；根据点M为弦AB的中点，可得CM⊥MQ，进而可得出点M的轨迹是以CQ为直径的圆，即可判断B；要使△OCM面积取得最大值，只要点M到直线OC的距离最大即可，进而可判断C；设Ax1,y1,B【解答过程】圆C:(x−2)2+(y−1)2直线l:kx−y+1=0过定点Q0,1因为(0−2)2+(1−1)所以直线l与圆C一定相交，当点Q为弦AB的中点时，AB有最小值，此时直线l的斜率不存在，而直线l的斜率一定存在，所以AB>2因为点M为弦AB的中点，所以CM⊥AB，即CM⊥MQ，所以点M的轨迹是以CQ为直径的圆(去除0,1），圆心为N1,1，半径为1所以轨迹方程为x−12因为0−12+0−1所以OM的最小值为0−12对于C，OC=要使△OCM面积取得最大值，只要点M到直线OC的距离最大即可，直线OC的方程为y=12x圆心N1,1到直线OC的距离d=所以点M到直线OC的距离最大值为55所以△OCM面积的最大值为12对于D，设Ax联立x−22+y−1则x1+x所以点M的坐标为2k则PO⋅当k=0时，PO⋅当k>0时，PO⋅当k<0时，PO⋅当且仅当−k=1−k，即综上所述PO⋅

故选：BCD.11．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆C:x−12+y−12=3，直线l:x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A．PA的取值范围为6B．四边形PACB面积的最小值为3C．存在点P使∠APB=D．直线AB过定点0,0【解题思路】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点P的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦AB的方程，将代入直线AB的方程恒成立，可得答案.【解答过程】圆心C(1,1)到直线l:x+y+1=0的距离为d=1+1+1

所以PC≥d=322，因为圆的半径为当PC⊥l时取等号，所以PA的取值范围为62因为PA⊥AC，所以四边形PACB面积等于2×S△PAC=PA×因为∠APB=120°，所以∠APC=60°，在直角三角形APC中，ACCP=sin60°=32，所以对于D，设P(x0,y0)，则y0=−1−x0，P(x0,−1−x0)，以PC为直径的圆的圆心为联立可得x−12+y−12=3x2+y2−x0故选：ABD.三、填空题12．（23-24高二下·上海·期中）过点A−1,3的直线l被圆x2+y2x=−1或4x+3y−5=0.【解题思路】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案.【解答过程】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−1，此时直线l截圆所得弦长为22设直线l的方程为y−3=k(x+1)，即kx−y+k+3=0.由垂径定理，得圆心到直线l的距离d=22结合点到直线距离公式，得k+3k化简得k2+6k+9=k2+1，解得k=−故答案为：x=−1或4x+3y−5=0.13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数x，y满足y=8−x2+2x，则t=y+3【解题思路】方程表示以1,0为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆（含与x轴的交点），故t可以看作半圆上的动点x,y与定点−1,−3连线的斜率，画出图形结合图形可得答案．【解答过程】由y=8−x2它表示以1,0为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆（含与x轴的交点），故t可以看作半圆上的动点x,y与定点−1,−3连线的斜率．如图，A−1,−3，B4,0，则kAB=35，kAC故答案为：−∞14．（2024·河南商丘·模拟预测）已知过点P(0,−2)的直线l1,l2分别与圆E:x2