统计学基础第08章时间序列分析与预测

第8章时间序列分析与预测重点——统计学对动态事物的分析和预测方法。介绍时间序列的含义、种类及编制原则。时间序列水平和速度分析的意义、指标和计算方法。时间序列构成要素，包含各种成分的时间序列类型分析及预测方法，以达到对客观现象变动发展趋势进行分析、预测的目的。通过学习，能够熟练运用时间序列分析的指标、方法对社会经济现象的时间序列进行分析和预测。第8章时间序列分析与预测8.1时间序列分析概述8.2时间序列描述性分析8.3平稳序列分析和预测8.4趋势序列分析和预测8.5季节型序列分析和预测8.6复合型序列分析和预测8.1时间序列分析概述时间序列（timesseries）

是同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列。经济数据大多数以时间序列的形式给出。时间序列分析的主要目的有：（1）编制时间序列，可以描述社会经济现象的变化过程、发展趋势和结果。（2）通过对时间序列的分析，可以掌握社会经济现象的发展规律。（3）可以根据时间序列建立数学模型，预测社会经济现象未来的发展趋势。时间序列的构成要素及分解1.趋势（trend）

长期内呈现出来的某种持续上升或持续下降的变动2.季节性（seasonality）

也称季节波动（seasonalfluctuation）

一年内重复出现的周期性波动。3.周期性（cyclicity）

也称循环波动（cyclicalfluctuation

呈现出来的围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动。4.随机性（random）

也称不规则波动（irregularvariations）

偶然性因素对时间序列产生影响。时间序列的构成要素及分解时间序列的构成模型乘法模型

Yi=Ti×Si×Ci×Ii加法模型

Yi=Ti+Si+Ci+Ii

本章所介绍的时间序列分解方法都是以乘法模型为基础的。

时间序列分类1）分解后包含成分不同平稳序列(stationaryseries)基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动；或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的。非平稳序列(non-stationaryseries)有趋势的序列：线性的，线性的有趋势、季节性和周期性的复合型序列时间序列分类2）统计指标的不同表现形式（1）总量指标时间序列①时期序列：可加性；时期长短有直接联系；连续登记②时点序列：不可加性；时期长短一般没有直接联系；

间断登记（2）相对指标和平均指标时间序列

相对指标和平均指标都是由总量指标派生的时间序列的编制原则（1）时间一致（2）总体范围一致（3）指标经济内容一致（4）计算口径一致8.2时间序列描述性分析图形描述年份图8-12006-2015年国内生产总值时间序列时间序列的水平分析1）发展水平

在一个时间序列中，按时间顺序记为t0，t1，t2，…，ti，…，tn-1，tn，同时可以将各个时期的发展水平记为y0，y1，y2，…，yi，…，yn-1，yn。在比较各个时期的发展水平时，把作为比较基础的那个时期称为基期，记为t0，基期对应的发展水平称为基期水平，记为y0：把考察的那个时期称为报告期，记为ti，报告期对应的发展水平称为报告期水平，记为yi。注：根据时间和研究目的的不同，最初水平、最末水平、基期水平和报告期水平会发生相应的变化。时间序列的水平分析

时间序列的水平分析

逐日登记、逐日排列以“天”为登记的时间单位，但只是在指标值发生变动时才进行记录【例8-2】某企业2017年4月产成品库存量资料如表8.2所示，计算该企业4月产成品的平均库存量。

日期4月1日4月9日4月15日4月22日4月30日库存量（kg）15018020090120时间序列的水平分析

注：“首末折半法”的首末项应分别为所计算时期的期初和期末的数据。时间序列的水平分析

【例8-4】某企业2017年产成品库存量资料如表8.3所示，计算该企业2017年产成品的平均库存量。日期1月1日4月1日5月1日7月1日9月30日12月31日库存量（台）245023802400256024902240表8-3某企业2017年产成品库存量资料

注：“间隔加权法”的首末项应分别为所计算时期的期初和期末的数据。时间序列的水平分析

（2）由相对指标或平均指标时间序列计算序时平均数

因为相对指标和平均指标都是由总量指标派生的，所以相对指标或平均指标时间序列也是派生序列，即其中各项指标都是由两个总量指标对比计算出来的。根据分子序列和分母序列的性质不同分为：分子分母同为时期序列分子分母同为时点序列分子序列与分母序列的性质不同，一个为时期序列，一个为时点序列相对数或平均数时间序列的平均发展水平

相对数或平均数时间序列的平均发展水平【例8-6】某企业2017年下半年的劳动生产率资料如表8-4所示，计算该企业2017年下半年月平均劳动生产率和下半年平均劳动生产率。月份6月7月8月9月10月11月12月总产值（万元）879194961029891月末职工人数（人）460470480480490480450劳动生产率（元/人）1948195719792000210320211957表8-4某企业2017年第二季度劳动生产率资料相对数或平均数时间序列的平均发展水平

时间序列的水平分析

时间序列的水平分析

时间序列的水平分析

时间序列的速度分析

时间序列的速度分析

时间序列的速度分析

时间序列的速度分析年份20112012201320142015GDP（亿元）484123534123588018635910676708环比发展速度/%—110.33%110.09%108.14%106.42%定基发展速度/%—110.33%121.46%131.35%139.78%【例8-9】根据表8-6中的数据，试计算我国2011-2015年各年国内生产总值的环比发展速度和以2011年为基期的定基发展速度。解：根据表8-6中的数据，计算我国2011-2015年各年GDP的环比发展速度和以2011年为基期的定基发展速度，结果如表8-6最后两行所示。表8-6我国2011-2015年国内生产总值的环比发展速度和定基发展速度

时间序列的速度分析

时间序列的速度分析

注：环比增长速度和定基增长速度之间不能直接相互推算。时间序列的速度分析

时间序列的速度分析2）平均发展速度和平均增长速度

平均发展速度是某社会经济现象各个时期环比发展速度的序时平均数，表示该现象在较长时期内速度变化的平均程度，即平均单位时间发展变化的程度。

平均增长速度是某社会经济现象各个时期环比增长速度的序时平均数，表示该现象在一个较长时期内，平均单位时间增长的程度。平均增长速度=平均发展速度-1时间序列的速度分析

时间序列的速度分析

时间序列的速度分析

在实际应用中，通常借助事先编制的“累计法平均增长速度查对表”解决。时间序列的速度分析3）速度分析中应注意的问题（1）要结合具体的研究目的适当选择基期，并注意其所依据的基本指标在整个研究时期的同质性。（2）要联系各个时期的环比发展速度来补充说明平均发展速度。（3）要结合基期水平进行分析。（4）平均速度指标应结合其所依据的各个基本指标。8.3平稳序列分析和预测移动平均法

t+1期预测值最近N个时期的实际观察值注：移动平均法应用的关键是确定合理的移动间隔长度k。移动平均法

注：加权移动平均的主要问题是各期权数（一共N个）确定起来比较困难。因此实际应用中采用得不多。指数平滑法：一次指数平滑法

注：使用指数平滑法时，关键的问题是确定一个合适的平滑系数。一般来说，当时间序列有较大的随机波动时，宜选择较大的值；当时间序列比较平稳时，宜选择较小的值。平滑系数t期的实际观察值t期的预测值t+1期的预测值【例8-14】某农业国家2000-2015年的棉花产量数据如表8-8所示，其折线图如图8-2所示，可以看出该数据没有明显的趋势，可以认为是平稳序列，因此可以用移动平均法的指数平滑法进行预测。请分别用移动平均法（N=3）指数平滑法（α=0.3）预测该国家2016年的棉花产量，并计算出预测误差。解：应用移动平均法和指数平滑法进行预测的过程及结构如表8-9所示。表8-9某农业国家棉花产量的移动平均和指数平滑预测计算表年份棉花产量移动平均法指数平滑法N=3预测误差α=0.3预测误差2000450.8————2001567.5——450.8116.72002450.8——485.8-35.02003373.9489.7-115.8475.3-101.42004434.1464.1-30.0444.9-10.82005476.8419.657.2441.635.22006420.3428.3-8.0452.2-31.92007460.3443.716.6442.617.72008450.1452.5-2.4447.92.22009382.9443.6-60.7448.6-65.72010441.7431.110.6428.912.82011532.4424.9107.5432.799.72012491.6452.339.3462.629.02013486.0488.6-2.6471.314.72014632.4503.3129.1475.7156.72015571.4536.734.7522.748.72016

563.3

537.5均方误差

4052.74680.0

8.4 趋势序列分析和预测判断时间序列趋势类型的方法：绘制散点图根据时间序列求动态指标来加以判断各逐期增长量大体相等：直线型，拟合线性趋势方程；二级增长量（即原始时间序列的逐期增长量的逐期增长量，又叫二次差）大体相等：抛物线型，拟合抛物线趋势方程；各环比发展速度（或环比增长速度）数值大体相等：指数曲线形态，拟合指数曲线趋势方程。8.4 趋势序列分析和预测中心化移动平均法

这种方法采用逐项递推移动的方法，分别计算一定间隔的数据序时平均数，将其作为中间时刻的变量值，即所谓的“中心化”。表8-10某企业各月生产机器台数的移动平均数月份机器台数3项移动平均数5项移动平均数141——24245.0—35245.744.644346.746.654546.348.865149.746.475348.048.084048.048.895146.749.8104952.050.0115653.0—1254——中心化移动平均法中心化移动平均法分析长期趋势时，应注意下列六点：（1）移动平均后的数列，比原数列项数要减少。（2）在没有循环周期的情形下，移动的项数越多，用移动平均法对原时间数列修匀的效果越好。（3）时间数列如有循环周期，则应选择现象的变动周期作为移动的时间跨度。（4）采用奇数项移动比较简单，一次即得趋势值；若选择偶数项移动平均，则需要再次移动平均进行移正。（5）这里所阐述的移动平均法是简单移动平均法，它适用于对线性趋势的测定。（6）由于移动平均法的测定值代表的是时间中项对应的数值，故无法直接用其对现象的未来趋势进行预测，否则存在着预测上滞后。回归模型法1）直线趋势的测定及预测

截距斜率时间顺序号时间序列的趋势值回归模型法1）直线趋势的测定及预测

注：我们可以假设时序t：当n为奇数时，可假设t的中间项为0，这时

时序t依次排列为：…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…；当n为

偶数时，时序t依次排列为：…，-5，-3，-1，1，3，5，…，

这时，原点0实际上是在数列正中相邻两个时间的中点。回归模型法1）直线趋势的测定及预测

注：我们可以假设时序t：当n为奇数时，可假设t的中间项为0，这时

时序t依次排列为：…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…；当n为

偶数时，时序t依次排列为：…，-5，-3，-1，1，3，5，…，

这时，原点0实际上是在数列正中相邻两个时间的中点。【例8-15】某企业自2007-2013年以来的粮食产量资料如表8-11所示，根据此资料计算该企业各年粮食产量的长期趋势值并预测2014年的粮食产量。

表8-11某企业2007-2013年粮食产量年份2007200820092010201120122013产量（吨）9209509851025104010601095逐期增长量—303545152035

年份tytyt2200719209201925.002008295019004953.572009398529559982.142010410254100161010.712011510405200251039.292012610606360361067.862013710957665491096.43合计287075291001401696.43回归模型法2）抛物线趋势的测定及预测

回归模型法3）指数曲线趋势的测定及预测

8.5 季节型序列分析和预测同期平均法——不含长期趋势

同期平均法是测定季节变动最简便的方法。同期平均法也称为直接平均法或按月（季）平均法，具体步骤如下所述。

注：如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各期的季节指数

应大于或小于100%【例8-18】红叶公司2011-2015年厨房系列家具产品的销售额如表8-17所示（单位：万元），试用同期平均法计算季节指数，并做简要分析。表8-17红叶公司厨房系列家具产品的销售额季节指数计算

红叶公司厨房系列家具产品2016年平均每季度的销售额为500/4=125万元，则各季度销售额的预测值为：第一季度125×87.09%=108.8625万元第二季度125×102.62%=128.275万元第三季度125×133.70%=167.125万元第四季度125×76.59%=95.7375万元年份第一季度第二季度第三季度第四季度合计季平均数（1）（2）（3）（4）（5）（6）201165721025829774.25201271801066532280.5201386901157236390.75201481103128683809520159512416087466116.5合计3984696113501828457同季平均79.693.8122.270365.691.4季节指数（%）87.09102.62133.7076.594001008.5 季节型序列分析和预测

【例8-19】按移动平均趋势剔除法计算表8-18中某代理商商品销售量的季节指数。表8-19季节指数计算表（一）

年份季度销售量四季度移动平均二次移动平均季节不规则值（1）（2）（3）（4）=（1）/（3）201213.6———22.94.15——34.84.404.281.1245.34.684.541.17201314.64.884.780.96245.104.990.8035.65.155.131.0946.25.255.201.19201414.85.435.340.9024.45.535.480.8036.35.605.561.1346.65.685.641.17201515.15.805.740.8924.75.955.880.8036.8———47.2———

其次，将消除趋势变动的时间序列重新按季度排列，求得同季度平均数，以消除不规则变动I，然后分别除以总平均数，求得的季节变动指数如表8-20所示。

年份第一季度第二季度第三季度第四季度2012——1.121.1720130.960.801.091.1920140.900.801.131.1720150.890.80——同季平均0.91670.80001.11331.1767调整系数0.99830.99830.99830.9983季节指数（%）91.5179.87111.15117.478.6 复合型序列分析和预测

【例8-21】根据表8-18中的资料，用剩余法计算其循环变动；不考虑循环变动前提下，简单预测2016年各季度该代理商销售量数据。表8-22循环变动计算表

年/季时间编号