二次函数中的图形的变换问题（含2023黄浦一模）（解析版）

第21讲二次函数中的图形的变换问题

二次函数中图形的变换问题在近几年的中考中属于热点、难点问题，中考24题考察。

当题目中出现旋转或平移时，根据题意，找出其中的不动点及定线段，再依据题意，画曲图形,

分析是否需要分类讨论，进而，再依据题意寻找等量关系，列出关系式，得到最后答案。

当遇到运动问题时，要善于发现题目中的“变”与“不变”的量，简化图形，化繁为简。

©【技巧点拨】

一、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：

针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。

二、二次函数中的翻折问题

当抛物线关于x轴、y轴翻折时，开口方向、顶点坐标、解析式乂会如何变化呢？

让我们先来观察下翻折变换后函数图像的变化：

通过观察图像，我们发现：当图像关于y轴翻折时，开口方向不变，顶点横坐标变为相反数，顶点纵

坐标不变；当图像关于x轴翻折时，开口方向改变，顶点横坐标不变，顶点纵坐标互为相反数。

因此归纳如下表格:

开口方向ffliS解崎式

a(-m,k)y=a(x+m)2+k

轴翻析-ay=-a(x+m)2-k

用y种翻折a(m,k)y=a(x-m)2+k

三、二次函数中的旋转问题

当抛物线绕原点和顶点180°旋转时，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？

让我们先来观察下旋转变换后函数图像的变化：

通过观察图像，我们发现：当图像关于原点旋转180。时，开口方向改变，顶点横、纵坐标变为相反数;

当图像关于顶点180。旋转时，开口方向改变，顶点横、纵坐标不变。因此归纳如下表格：

wunmna解析式

2

变换前aa(~m,k)y=a(x+m)+k

叫原始80°旋转-a(m,-k)y=-a(x-m)2-kj

叫或息用0°旋转-a(-m,k)y=-a(x+m)2+ki

!

【备注】：

1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；

2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中

的条件(相等的量、不变的量、隐藏的量等等)，使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；

3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加

强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；

4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面

有答案提示；

5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；

6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；

7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题5-7分钟。

❶【中考挑战满分模拟练】

1.(2023黄浦区一模)在平面直角坐标系xOy+,点4(-1,yi),B(0,”)，CCl,2),D(2,)w)

在抛物线y=-j^+bx+c上.

(1)当yi=0,户=)，3时，

①求该抛物线的表达式；

②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线经过点（1,0）,求利的

值；

（2）若*=0,且户、），3、），4中有且仅有一个值大于0,请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个

满足条件的。的值，再求。的取值范围.

九、

-1012工

【分析】（1）①根据），1=0,V2=），3,可得对称轴为X=2，求出b的值，再根据抛物线经过点A,求出

2

C，从而得出抛物线解析式；

②把①解析式化为顶点式，再艰据平移变换得出新抛物线解析式，然后把（0,0）代入解析式即可求出

力的值；

（2）根据题意分对称轴在），轴左侧和右侧两种情况讨论即可.

【解答】解：（1）①：抛物线＞=-»+辰+。经过月（-],yl）,B（0,y2）,C（/,”），D（2,＞-4）,

且），1=0,”="，

・•・&C为对称点，对称轴为直线x=・一

2X（-1）22

.*.y=-/+x+c,

把4（-1,0）代入y=-$+1+c得：-1-l+c=0,

解得c=2,

・•・该抛物线的表达式为y=+.计2；

②•・），=-，+户2=-（x--）2+—,

24

・•・把该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线解析式为＞'=-（x-

—+/7Z）2+--2,

24

•・•新抛物线经过点（1,0）,

（1-」■+,〃）~+-^=0»

24

解得ni=O或m=-1；

（2）当"=0时，抛物线过原点（0,0）,

且V、y3、>中有且仅有一个值大于0,

当抛物线对称轴在），轴左侧时，且经过原点，即5V0,此时"V0,>-4<0,如图:

,\yi>0,即当x=-1时,j>0,

-1-b>0,

解得b<-1；

当抛物线对称轴在），轴右侧时即/A0，且经过原点，此时，了1<0,

若想V、2、,中有且仅有一个值大于0,必然是），3>0,），4W0,如图:

-22+bX2+0<0

解得1V6W2,

综上所述，方的取值范围为8V-1或1V8W2.

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减

性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键.

2.（2022•金山区二模）己知：在直角坐标系中直线y=-x+4与x轴、y轴相交于点A、B,抛物线y=-

—x2+/?x+c经过点A和点B.

2

（1）求抛物线的解析式;

（2）如果直线A6与抛物线的对称轴相交丁点C,求OC的K;

（3）尸是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q,把△OPQ沿直线PQ翻折,

点。的对应点是点。，如果点3在抛物线上，求点〃的坐标.

6-

5

4

3

2

1

-1。II；I「

-1

【分析】（1）利用待定系数法求解即可：

（2）先求出抛物线的对称轴为直线x=l,再求出点C的坐标，即可得出结论;

（3）设点。的坐标为3,0）,先得出四边形。"OQ为矩形，再得出四边形OPOQ为正方形，最后得出点

。的坐标，列出方程求解即可.

【解答】解：（1）直线），=・"4与x轴、），轴相交于点A、B,

（4,0）、B（0,4）,

代人抛物线得：厂区+4b+c=0,

c=4

.\h=I,c=4,

・•・抛物线的解析式为：y=Ax2+x+4.

2

⑵由y=-^乂2+乂+4=-(x-1)2或,

可得抛物线的对称轴为直线x=\,

当x=1时，y=-x+4=3,

:・C(1,3),

・•・0C=710.

(3)如图，设点P的坐标为(/,0),

\'AO=BO=4,NAO8=90°,

・・・NOAB=/O84=45°,

,JPQ/ZAB,

.••NOPQ=NOQP=45°,

，NQPO=NQQO=90°,又NPOQ=90",

・•・四边形QPOQ为矩形，

•：OP=OQ,

・•・四边形DPOQ为正方形,

：.DP=DQ=OP=t,

・•・四边形DPOQ为正方形,

:,D(r,r),

•12.

・•t=~t+t+4'

解得：5=-2\回(不合题意，舍去),

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确画出图象是解题的关

键.

3.（2022•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系入Qy中，抛物线y=-』+云+C•与4轴交于点A（1,0）

和点3（3,0）,与），轴交于点C.

（1）求该抛物线的表式及点C的坐标；

(2)点尸为抛物线上一点，且在x轴下方，联结％.当/以8=NACO时，求点。的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线沿平行于)，轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q,当A。平分/

抄IC时，求抛物线平移的距离.

备用图

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；

(2)设尸(f,-T+4/-3),如图I,过点P作POJLx釉于点0,连接AC、AP,可证得

建立方程求解即可得出答案；

(3)如图2,连接AQ、PQ,过点产作交AQ于点E,过点£作EFLFQ于点F,可证得△AFO

(AAS),得出：PF=AD=LEF=PD=L即E(空，-殁)，再利用待定系数法求得直线

3999

4E的解析式为〉，=-2r+2,再求得Q(此,-11),即可求得脑物线平移的距离.

33

【解答】解：(1):抛物线)=-』+}x+c与x轴交于点4(1,0)和点8(3,0),

.f-l+b+c=O

-9+3b+c=0

解得：(X,

c=-3

,该抛物线的表达式为)，=-?+4,v-3,

当工=0时，)，=-3,

・・・C((),-3)；

(2)设P"-r+4r-3),如图1,过点P作PO_Lx轴于点D连接AC、AP,

则NAOP=N4OC=90°,AD=i-1,PD=-(-P+41-3)=P-4什3,

又0A=1,0C=3,

•・・NA48=/AC。,

/.\APDs4cA0,

・仙:PD叩tT_t2_4t+3

**0C0A，'F

工3尸-13什10=0,

解得：A=1（舍去），，2=旦，

3

当『独时，-』+4，-3=-（也）2+4x12-3=-工

3339

（3）如图2,连接AQ、PQ,过点P作PEJ•必交AQ于点E,过点E1作£7n_尸Q于点F,

由（2）知：P（卫，-工）,ZMC=90°,

39

:,PD=L人。=卫-1=t，ZADP=90°,

933

•・•将抛物线沿平行于），轴的方向平移，平移后点夕的对应点为点Q,

•••0、P、。在同一条直线上，

・・・/4尸。+/石尸产=90°,

VZPre=90°=ZADP,

:・/PEF+/EPF=9U。,

/.NAPD=NPEF,

•・YQ平分N%C,

AZ^1E=AZB4C=—X90°=45°,

22

又PEYPA,

.•.△APK是等腰直角三角形，

:・AP=PE,

:.、APDQXPEF（AAS）,

・・・P尸=40=工，EF=PD=L

39

•Ff23_28\

99

rk+d=0

设直线A£的解析式为y=H+d,则Q2328，

Tk+d=-T

解得：『=-2,

d=2

:.直线AE的解析式为y=-2x+2,

当工=22时,），=-2x+2=-2X也+2=-21,

333

・・・2（曲，-当，

33

V-Z-（-11）=35,

939

・•・抛物线），=-f+4x-3向下平移了更个单位.

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、全

等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角

形是解题的关键.

4.（2022•奉贤区二模〉如图，在平面直角坐标系xQy中，直线）•=1声2与x轴、）：轴分别交于点同、

2

B.抛物线_＞，=-»+区+c经过点4、8,顶点为C.

2

（1）求该抛物线的表达式；

（2）将抛物线沿），轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为。，如果NBQC=NQ48,求平移的距离；

（3）设抛物线上点M的横坐标为〃?，将抛物线向左平移三个单位，如果点M的对应点。落在△CM8内,

求〃?的取值范围.

【分析】（1）首先求得八、8点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式即可；

（2）求出定点C的坐标，过点月作于从由题意得，平移后所得新抛物线的顶点。在抛物线的

对称轴上，CO的长即平移的距离，根据/8OC=NQ4B,利用正切函数求出。“，可得。（3,5）,可求

2

出C。的长，即可求解；

（3）由抛物线的对称轴可得点B关于对称轴对称的点M'的坐标为（3,2）,则将抛物线向左平移三个单

位，点的对应点和点8重合，点A的对应点为（1,0）,即可得出机的取值范围.

【解答】解：（1）:直线了=・/+2与x轴、），轴分别交于点A,B,

•X（4,0）,B（0,2）,

抛物线y=-X^+hx+c经过A、8两点，可得

3

卜8+4b+c=0,解得b/

c=2c=2

，抛物线解析式为）=-工」+9计2；

22

（2）•・•）,=-l.r+lx+2=-A（A--1）2+至,

22228

AC（―,—）,对称轴为1=旦，

282

过点B作8H_LC。于”,

由题意得，平移后所得新抛物线的顶点。在抛物线的对称轴上，co的长即平移的距离,

tanZBDC=tanNOAB,

•.-BH=OB=2=19

DHOA42

:.DH=2BH,

VBH1CD,对称轴为x=2,

2

.・.8H=3,

2

:.DH=3,

,：B(0,2),

:・H(2.2),

2

：,D(旦，5),

2

C325)

28

・・・CQ=5-至=耳

88

・•・平移的距离为生；

8

(3)如图,

・••点4关于对称轴对称的点M'的坐标为（3,2）,

・••将抛物线向左平移三个单位，点的对应点和点B重合，

•••将抛物线向左平移三个单位，点A（4,0）的对应点为（I,0）,

••・3＜小＜4时,点”的对应点。落在4。48内，

・•・〃?的取值范围为3V〃?V4.

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求顶点式，抛物线的平

移，锐角三角函数等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.

5.（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，己知点A坐标是（2,4）,点8在x轴上，08=A4

（如图所示），二次函数的图象经过点0、A、B三点、,顶点为/）.

（1）求点月与点£）的坐标：

（2）求二次函数图象的对称轴与线段48的交点七的坐标；

（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点。落在线段48上，求图象平

移后得到的二次函数解析式.

【分析】（1）设B（〃?，（）），由08=人8,可求B（5,0）,设二次函数解析式为y=ax（x-5）,将（2,

4）代入可求函数的解析式，从而求。点坐标;

（2）求出直线A8解析式为y=-9x+■型，令1=立得y=・3x也■+©=曲，求得E（区，卫）；

332323323

（3）由4点的变化可知A点向右平移工个单位，则D（立，臣）向右平移』个单位后点的横坐标为3,

2262

再由平移后的。点在线段A8上，从而求出平移后。点坐标为（3,§）,可得平移后的函数解析式为），=

3

-2（x-3）2+@.

33

【解答】解：⑴设60）,

••Y坐标是（2,4）,OB=AB,

：.nr=（〃L2）2+（0-4）2,

解得in=5,

:・B(5,0),

设二次函数解析式为y=ax（x-5）,将（2,4）代入得:

解得。=-2,

3

v=-—x(x-5)=-—(x5)2+至

3326

・,・顶点。（左，—）；

26

（2）由（1）知二次函数图象的对称轴是直线x=在,

2

设直线A8解析式为>=辰+从将A(2,4),B(5,0)代入得:

[2k+b=4,

l5k+b=0

_4

T

解得《

205

T

・•・直线AB解析式为y=-3入外圆,

33

令1=立得y=-

2,3233

：.E（旦卫）；

23

（3）•・•二次函数图象的对称轴是直线尸旦

2

・•1点向右平移2个单位,

2

：・D(1,空)也向右平移2个单位后点的横坐标为3,

262

•・•平移后的。点在线段AB上，

，平移后。点坐标为(3,1),

3

・••平移后的函数解析式为)，=Q-3)2+2.

33

【点评】本题考存二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象的平移的性质是解

题的关键.

6.(2022•宝山区二模)已知抛物线y=ajr+bx-2(4#0)经过点A(1,0)、B(2,0),与y轴交于点

C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)将抛物线向左平移m个单位(机>2),平移后点A、B、C的对应点分别记作4、Bi、Ci,过点Ci

作。Q_Lx轴，垂足为点。，点E在y轴负半轴上，使得以0、E、以为顶点的三角形与△4。。相似，

①求点E的坐标；(用含，〃的代数式表示)

②如果平移后的抛物线上存在点尸，使得四边形小五砂1为平行四边形，求小的值.

【分析】(1)将点A(1,0)、B(2,0)代入产/+灰-2,即可求解；

(2)①分别求出A](1-m,0),Bi、(2-m,0),Ci(-m,-2),D(-加，0),设E(0,y),由题意

可知要使三角形相似，只需/。8£：=/。。4或2081£：=/。4。，当/08归=/。。|4,12111/。81七=

tanZDCiAi=X_£2_=则1,求出E(0,1-X//)；当/。。心=NCiAO,则_^X_=2,求出E(0,4

2m-222m-2

-2m)；

②设F(x,)，)，当E(0,1-XM)时，由题意可知四边形4石为平行四边形的对角线，可得

2

l-m=2-m+x

<1,再由y=-(x--+/z/)2+A,求出m=2(舍)或加=工；同理当E(0,4-2加)时，求

y=l-ym242

得m=5.

【解答】解：⑴将点A(1,0)、B(2,0)RAy=a^+bx-2,

・[a+b-2=0

(4a+2b-2=0，

解得(a=T,

lb=3

，)：=-/+3x-2；

(2)&y=-『+3%-2=-(x--)2+A,

24

平移先后抛物线解析式为尸・(x--1+/n)2+1,

令X=0,则y=-2,

・・・C(0,-2),

平移后Ai(I-in,0)>Bi、(2-m,0)>Ci(-〃?，-2)>

••,CiDJLx轴,

*.D(-///,0),

C\D=2,A\D=\,

设E(0,>'),

：.OE=-)，，

VZfiiOF=90°,ZCiDAi=90°,

，NOBiE=NOCi4或/OBIE=NCIAI£>,

当七=N"CiAi,

OF-vAiD-I

，tanN081E=----=一,tanZDCiAi=----=—,

B10nr2C।D2

•-y_=J

m-22

••・E<0,1Xn)；

2

当NOBIE=NCIAI。,

・・。=2,

nr2

.*.):=4-2m,

：.E(0,4-2w)；

综上所述：E点坐标为(0,1-L〃)或(0,4-2〃。；

2

②设F(x,y),

当E(0,1-X/7)时，

2

•・•四边形A\FEB\为平行四边形，

・•・四边形4芯为平行四边形的对角线,

l-m=2-m+x

."J1,

y=1-7m

，/=-1,

•••平移先后抛物线解析式为），=-（］-旦+〃］）2+2,

24

/.v=（-—+m）2+A,

”24

1--///=-（--+m）2+A,

224

解得机=2（舍）或〃?=工，

2

当〃?=工时，y=・3,F（