高考二次函数解答压轴题（解析版）

而考材料

专题13二次函数解答压轴题(62题)

一、解答题

1.(2023•浙江绍兴•统考中考真题)已知二次函数丁=-/+历TC.

(1)当b=4,c=3时，

①求该函数图象的顶点坐标.

②当-14x43时，求N的取值范围.

(2)当x40时，少的最大值为2：当x>0时，N的最大值为3,求二次函数的表达式.

t答案】(1延(2,7)：②当-1WXW3时，-2WyW7；(2)^=-.r+2.V+2

【分析】(1)①将，)=4,c=3代入解析式，化为顶点式，即可求解：

②己知顶点(2,7),根据二次函数的增减性，得出当x=2时，N有最大值7,当x=-l时取得最小值，即可求

解：

(2)根据题意xVO时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3,得出抛物线的对称轴x=g在，轴的

右侧，即b>0,由抛物线开口向下，x40时，y的最大值为2,可知c=2,根据顶点坐标的纵坐标为3,

求出b=2,即可得解.

【详解】(1)解：①当b=4,c=3时，J=-X2+4X+3=-(X-2)2+7,

・・・顶点坐标为(2,7).

②•・•顶点坐标为(2,7).抛物线开口向下，

当一14x42时，y随X增大而增大，

当2^x43时，V随x增大而减小，

・•.当x=2时，V有最大值7.

又2-(-1)>3-2

・••当x=-l时取得最小值,最小值歹=-2；

・••当UW3时，-2WyW7.

(2)・・・x)0时,歹的最大值为2：x>0时，一的最大值为3,

・•・抛物线的对称轴x=g在V轴的右侧，

：.h>0,

;抛物线开口向下，XWO时，y的最大值为2,

/.c=2,

4x（-l）xc-Z>:

XV-=3,

\4x；（-1n）

/）=±2»

•/A>0,

:.b=2,

・••二次函数的表达式为y=-x2+2x+2.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的

性质是解题的关键.

2.（2023・浙江•统考中考真题）已知点（一孙。）和（3肛0）在二次函数y=,7r+加+35力是常数，。/0）的图像

匕

⑴竺/“=-1时，求。和/）的值；

（2）若二次函数的图像经过点血〃,3）且点力不在坐标轴上，当-2<加<-1时，求〃的取值范围：

（3）求证：/+4a=0.

【答案】（1）。=-1,6=-2；（2）-4<〃<一2：（3）见解析

【分析】（1）由“=-1可得图像过点（1,0）和（-3,0）,然后代入解析式解方程组即可解答：

（2）先确定函数图像的对称轴为直线x=〃L则抛物线过点（小3）,（0,3）,即〃=2加，然后再结合-2<加<-1

即可解答；

（3）根据图像的对称性得-5=用.即力=-2加，顶点坐标为（〃“加+加?+3）；将点（-〃八0）和（3/〃,0）分

别代入表达式并进行运算可得am2=-1;则am2+bm+3=am2-2am2+3=-am1+3=4,进而得到

二色=4,然后化简变形即可证明结论.

4<?

【详解】（1）解：当加=7时,图像过点（1,0）和（-3,0）,

0=a+b+3fa=-1

'Q=9a-劝+3'解得b=-2'

而考材料

a=-\,b=-2.

(2)解：二•函数图像过点(-皿。)和(3也0),

・•.函数图像的对称轴为宜线x=".

•・•图像过点(〃,3),(0,3),

・•・根据图像的对称性得〃=2〃?.

-2<〃】<—1,

：•一4<〃<一2.

(3)解：•.•图像过点(-"0)和(3肛0),

・•・根据图像的对称性得

h=-2am,顶点坐标为^m,anr+bin+3).

将点(t〃⑼和(3肛0)分别代人表达式可得叫一3幺

0-9am2+3力〃+3②

①x3+②得12刖/+12=0，

,,ciiu~——1•

am2+bm+3=am2-2am2+3=-anf+3=4.

4a

\2a-h1=\6a-

/.b2+4a=0.

【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌

握二次函数的对称性是解答本题的关键.

3.(2023•浙江嘉兴•统考中考真题)在二次函数y=/-2/x+3"0)中，

(1)若它的图象过点(2,1),贝h的值为多少？

(2)”04x43时，y的最小值为-2,求出/的值：

(3)如果4/〃-2,a)1((b),C(叽a)都在这个二次函数的图象上，且求〃j的取值范围.

【答案】(l)f=5；(2)/=石；⑶3。?<4或〃>6

【分析】(1)将坐标代入解析式，求解待定参数值；

(2)确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分0<，<3,当》=/时，函数值最小，以及,>3,当x=3

时，函数值最小，求得相应的,值即可得：

(3)由4卅-2,a),C(w,a)关于对称轴对称得〃?一1=，，且力在对称轴左侧，。在对称轴右侧：确定抛物线

与y轴交点(0.3),此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3),结合已知确定出机>3：再分类讨论：45都

在对称轴左边时，A,8分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可.

【详解】⑴将(2,1)代入y=4-加入中,

得l=4-4f+3,

解得,/=|;

(2)抛物线对称轴为x=/.

若0</K3,当》=/时，函数值最小，

.•.『-2/+3=-2，

解得七土石.

vt>0,

：.t=j5

若/>3,当x=3时，函数值最小，

/.-2=9—6/+3,

解得，=：7(不合题意，舍去)

综上所述/=石.

(3)•.Y(〃L2,c/),C(,〃,a)关于对称轴对称

且/在对称却I左侧，C在对称轴右侧

•••抛物线与y轴交点为(0,3),抛物线对称轴为直线x=t,

.••此交点关于对称轴的对称点为(24-2,3)

<a<3/<3且1>0

/.4<2w-2,解得m>3.

当4。都在对称轴左边时，

'：a<h

4<加一2,

解得用>6,

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/.in>6

当a8分别在对称轴两侧时

•:a<b8到对称轴的距离大于A到对称轴的距离

.,.4-(m-1)>/?»-1-(m-2),

解得〃i<4

3<w<4

综上所述3v，”c4或用*6.

【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是

解题的关键.

4.(2023•浙江杭州•统考中考真题)设二次函数)，=0^+瓜+1,(°/0,力是实数).已知函数值N和自变

量x的部分对应取值如下表所示：

X・・・-10123・・・

y•••m1n1P・・・

(1)若机=4,求二次函数的表达式；

(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得)，随工的增大而减小.

(3)若在，八”、〃这三个实数中，只有一个是正数，求。的取值范围.

【答案】(l)y=d-2x+l；(2)当。>0时，则X<1时，歹随X的增大而减小；当4<0时，则X>1时，y随X的

增大而减小；(3)a<-1

【分析】(1)用待定系数法求解即可.

(2)利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线x=l；再根据抛物线的增减性求解即可.

(3)先把(2,1)代入y=a/+/>x+1,b=-la,从而得y=ax?-2ax+1,再求出〃?=3a+l,n=-a+\,

-a+1>0

〃=3a+l,从而得m=P,然后加、小p这三个实数中，只有一个是正数，得，,求解即可.

3a+1W0

【详解】C)解:把(T4),(2,1)代入j,=a/+A+l,得

a-b+\=4

，解得:

4a+28+1=1b=-2

**•片/一2¥+1.

（2）解：••,（0,1）,（2,1）在y=o?+&+l图象上,

・•・抛物线的对称轴为直线*=等=1，

.,.当”>0时，则x<l时，N随x的增大而减小，

当〃<0时，则x>l时，夕随x的增大而减小.

（3）解：把（2,1）代入^=〃/+瓜+1.得

1—4a+2^+1,

b=-2a

y=axz+bx+1=ax2-2ax+1

把（T,"，）代入y=ax2-2or+1得，m=a+2a+i=3a+\,

把（L〃）代入y=♦-勿x+1得，n=a-2a+\=-a+\,

把（3,p）代入y=ax2-2ax+\,"=9。一6a+1=3。+1,

:.m=p,

•・•,〃、〃、p这三个实数中，只有一个是正数,

-67+l>01

%+1工0'解得：

【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数

法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键.

5.（2023•湖南常德•统考中考真题）如图,二次函数的图象与x轴交于力（T0）,以5,0）两点，与y轴交于

点C,顶点为D。为坐标原点，tan/4CO=1.

备用图

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(1)求二次函数的表达式；

(2)求四边形力CQ8的面积：

(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若/ACO=NPBC,求P点的坐标.

【答案】⑴y=-(x+l)(x-5)；(2)30；⑶P(d)

【分析】(1)用两点式设出二次函数的解析式，然后求得。点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求

得a的值，再将a代入解析式中即可.

(2)先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案.

(3)根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立•次函数

与二次函数的解析式，求得点尸的坐标.

【详解】(1)•・•二次函数的图象与x轴交于8(5,0)两点.

.••设二次函数的表达式为y="x+iKv-5)

AO=l,tanZ.ACO-g,

AOC=5,即C的坐标为(0,5)

则5=〃(0+1)(0-5),得a=-l

・•・二次函数的表达式为y=-(x+l)(x-5)；

(2)^=-(X+1)(X-5)=-(^-2)2+9

••・顶点的坐标为(2,9)

过。作。N_L/4于N,作DM_LOC于

四边形ACDBll'J面积=Saoc+S矩形。，”“丫一^ACD.W+

=1xlx5+2x9--x2x(9-5>U^-2>9=30；

(3)如图，尸是抛物线上的•点，且在第一象限，当N/C0=NP8C时,

连接尸8,过C作CEJ.8C交8P于£.过£作防1。。于产，

VOC=OB=5,贝卜。。8为等腰直角三角形，NOC8=45。.

由勾股定理得：C8=5上,

N.4C0=ZPBC，

tanZ.ACO=tanZ.PBC，

CECE

即9而二迈,

C£=V2

由CH_LBC,得NBCE=90°,

...ZECF=180°-4BCE-NOCB=180°-90°-45°=45\

...AEEC是等腰直角三角形

...FC=FE=\

E的坐标为0,6)

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所以过8、£的直线的解析式为_)，=-3y+，15

315

y=—x+一

令＜*22

j=-(x+l)(.r-5)

1

x=—

"I或2

解得

y=027

所以族直线与抛物线的两个交点为3(5,0),叫吊

27

即所求P的坐标为p;

2U

【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的美键

是将所学的知识灵活运用.

6.(2023•山东烟台•统考中考真题)如图，抛物线)，=，标+以+5与x轴交于48两点，与J轴交于点

C,4B=4.抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线P=H-1交于点。，与X轴交于点E.

备用图

(1)求直线AD及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点M,使得是以力。为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点〃的坐标:

若不存在，请说明理由:

(3)以点8为圆心，画半径为2的圆，点尸为08上一个动点，请求出尸。+；产力的最小值.

【答案】(1)直线力。的解析式为P=x-1；抛物线解析式为旷=/-6.丫+5：(2)存在，点必的坐标为(4,-3)或

(0,5)或(5,0)：(3)741

【分析】(1)根据对称轴x=3,48=4,得到点4及8的坐标，再利用待定系数法求解析式即可;

(2)先求出点。的坐标，再分两种情况：①当ND4M=90。时，求出直线的解析式为y=r+1,解方

y=-.r+1

程组y7Y+5,即可得到点M的坐标：②当4加=9。。时，求出直线的解析式为'…+5,

y=-x+5

解方程组|二2_6x+5'即可得到点“的坐标；

RFPR

（3）在上取点尸，使3尸=1,连接CE,证得一=——，又ZPBF=/ABP,得至尸/△力〃/>,推

PBAB

出炉=；以，进而得到当点C、P、F:•点共线时，尸C+；E4的值最小，即为线段CF的长，利用勾股定理

求出CF即可.

【详解】（I）解：•・•抛物线的对称轴工=3,/8=4,

・•.M：l,0）,8（5,0）,

将力Q,0）代入直线y=履-1,得"1=0,

解得k=l,

・•・直线/。的解析式为"x-l；

将彳0,0）,8（5,0）代入丁="2+历.+5,得

a+b+5=0八\a=\

CU-uCA,解不N

25。+58+5=0b=-6

•••抛物线的解析式为y=/—6%+5：

（2）存在点“，

•••直线AD的解析式为y=x-1,抛物线对称轴x=3与x轴交于点E.

.,.当x=3时，y=x-\=2,

。(3,2),

①当/Q4W=90。时,

设直线4W的解析式为y=r+c,将点/坐标代入,

得-1+c=0,

解得c=l,

，直线4W的解析式为y=-x+i,

y=-x+l

解方程组

y=/-6x+5'

>=1或,x=4

得

L=0]y=—3'

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，点M的坐标为(4,-3)：

②当N/DW=90。时，

设宜线DW的解析式为P=f+4,蔡0(3,2)代入,

得-3+d=2,

解得d=5,

・•.直线DM的解析式为y=r+5,

y=-x+5

解方程组2,「

y=x-6A+5

八,x=0fx=5

解得〈或八，

y=5[y=0

...点M的坐标为(0,5)或(5,0)

综上，点M的坐标为(4,-3)或(0,5)或(5,0)：

(3)如图，在44上取点尸，使B尸=1,连接Cr,

,:P3=2,

.BF_\

**7?-2*

..竺二,

•————，、

彳842

.BFPB

••---=---，

PBAB

又：NPBF=NABP,

&PBFs“BP,

ppBF1即叫I轴，

PAPB22

PC+-PA=PC^PF>CF,

2

・•・当点C、P、尸三点共线时，PC+:"的值最小，即为线段6的长,

2

,:OC=S,OF=OB-\=5-\=A,

:,CF=xl0C、0产=府+42=历.

.•.PC+；4的最小值为国.

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，

勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键.

7.（2023江苏苏州•统考中考真题）如图，二次函数y=/—6x+8的图像与x轴分别交于点48（点/在点

8的左侧），直线，是对称轴.点尸在函数图像上，其横坐标大于4,连接P4P8,过点尸作PM_L/,垂足

为以点〃为圆心，作半径为「的圆，P7与。M相切，切点为T.

⑴求点48的坐标；

（2）若以OM的切线长尸丁为边长的正方形的面积与△PR?的面积相等，且OM不经过点（3,2）,求长的

取值范围.

【答案】⑴彳（2,0）,8（4,0）：⑵1＜尸“＜血或及＜p,w＜2或PM＞2

【分析】（1）令＞，=。求得点4〃的横坐标即可解答：

⑵由题意可得抛物线的对称轴为x=3,设P（刑，■-6加+8）,则M（3,〃/—6〃?+8）：如图连接MT,则

MTLPT,进而可得切线长P7为边长的正方形的面积为（〃一3『--；过点尸作尸”lx轴，垂足为"可

得・尸，=〃/-66+8；由题意可得（初一3）2-r=/-6〃?+8,解得/＞=1；然后再分当点M在点

N的上方和卜方两种情况解答即可.

而考材料

【详解】(1)解:令)，=0,则有:-_6X+8=0,解得:x=2或x=4,

J(2,0),5(4.0).

(2)解：•.,抛物线过>(2,0),5(4,0)

・••抛物线的对称轴为x=3,

设P'tn,m2-6m+8),

VW17,

I.-6，〃+8),

如图:连接A/T,则MT_L尸T,

・•.PT2=PM2-MT-=(〃-3)2—产，

・,.切线PT为边长的正方形的面积为(加-3『-r2,

过点尸作轴，垂足为〃，则：S.PAB=；ABPH="J-6/»+8,

假设。M过点N(3,2),则有以卜两种情况：

①如图1：当点M在点N的上方，即M(3,3)

mz-6/w+8=3»解得：川=5或/〃=1,

Vm>4

w=5：

②如图2：当点M在点N的上方，即M(3,l)

•'«nr-6/n+8=1>解得:m=3±^2•

9：m>4

川=3±上；

综上，PM=m-3=2或收.

・•.当。M不经过点(3,2)时，i<PM或正<PM<2或尸M>2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本

题的关键.

8.(2023•山东东营•统考中考真题)如图，抛物线过点。(0,0),£(10,0),矩形力以笫的边力8在线段OC上

而考材料

(点4在点力的左侧)，点C,。在抛物线上，设8(八0),当/=2时，8c=4.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当/为何值时，矩形/6CO的周长有最大值？最大值是多少？

(3)保持』=2时的矩形/8CQ不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且

直线GH平分矩形力8co的面积时，求抛物线平移的距离.

1s41

【答案】(1)1y=,--不口(2)当1=1付，矩形/18CQ的周长有最大值，最大值为5：(3)4

【分析】(1)设抛物线的函数表达式为^=G('-10)(。工0),求出点。的坐标，将点。的坐标代入即可求

出该抛物线的函数表达式；

(2)由抛物线的对称性得/E=08=f,则48=10-%，再得出8。=-!严+：,根据矩形的周长公式，

42

列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解：

(3)连接4C，8D相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接20,根据矩形的性质和平移的性质推

出四边形OCIIG是平行四边形，则/?=C",尸0=.求出/=2时，点力的坐标为(8,0),则CH=；OA=4,

即可得出结论.

【详解】(1)解：设抛物线的函数表达式为卜二6(、-10)(。=0).

•当1=2时，BC=4,

・••点。的坐标为(2,-4).

将点。坐标代入表达式，得2〃(2-10)=-4,

解得a=g.

4

・•・抛物线的函数表达式为y=-.

42

(2)解：由抛物线的对称性得：AE=OB=t,

：.AB=10-2t.

当尤=，时，BC=--t2+-t.

42

・•・矩形48CQ的周长为

2(A3+BC)=2(10-21)+02+方

=--z2+r+20

2

=-j(/-l)2+y.

41

・•・当，=1时，矩形/8CQ的周长有最大值，最大值为了.

(3)解：连接/C,8。相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ.

•••直线GH平分矩形ABCD的面积，

直线G〃过点R.

由平移的性质可知，四边形OC〃G是平行四边形,

APO=CH.

•.•四边形/13C。是矩形，

.,.P是/C的中点.

PO=^OA.

当/=2时，点力的坐标为(8,0),

:.CH=-OA=4.

2

・•・抛物线平移的距离是4.

【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题

的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性

而考材料

质，以及平移的性质.

Q

9.（2023•内蒙古通辽•统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物浅j，=ad+§x+c（aw0）与x轴交于

点力Q,。）和点8,与），轴交于点。（0,-4）.

（1）求这条抛物线的函数解析式:

（2*是抛物线上一动点（小与点儿B,C重合），作POlx轴，垂足为。，连接PC.

①如图，若点。在第三象限，且〔an/CPQ=2,求点。的坐标:

②直线产。交直线3c于点区当点E关于直线尸。的对称点£落在y轴上时，请直接写出四边形尸ECE'的

周长.

…i、48,1377）^35385

【C英】（l）y=彳.厂2+彳.丫-4；（2）0>^2J丁或

33\o10744

【分析】（1）将儿。两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a,c,进而求得结果;

⑵①设小,#+24；

,过点。作点1尸。于点£,求出尸瓦以，根据tan/C'PD===2列出方程

求出x的值即可：②可推出四边形PEC?是菱形，从而得出PE=CE,分别表示出PE和CE,从而列出方

程，进一步求得结果.

【详解】（I）•・•抛物线y="x2+gx+c（〃+0）与x轴交于点力。,0）,与）•轴交于点。（0,-4）,

把彳（1,0）,C（0,-4）代入y=a/+gx+c（a工0）得，

c=-4

4

解得，”3，

42

・•.抛物线的函数解析式为歹=§/+］工一4；

(2)①设,过点C作CE，/5。于点£,如图,

•・•C(O,-4),

・•.OC=4,

,.,PD_Lx轴，

:."00=90。、

又NDOC=90°,

二四边形。OCE是矩形，

:.DE=0C=4,D0=CE=-x,

・•.PE^PD-DE=-\-X2+-X-4|-4=-%2_0

U3J33

CE

'：tanZCTO=—=2,

PE

$=-：,电=0(不合题意，舍去)

o

.4,8/77

..—x~+-x-4=-----,

3316

.P|_2_21L

一I-16〉

②设+g机—4),

4242

对于y=：/+2x-4,当)，=0时，-X2+-X-4=0,

3333

而考材料

解得，玉=1，七=一3,

・•・5(-3,0),

♦：OC=4,

由勾股定理得，BC=y]OB2+OC2=5;

当点P在第三象限时，如图，过点E作£尸，），轴于点尸，

/.EF=DO=-m,

•・•点E与点£关于尸。对称，

:.NECP=ZE'CP,CE=CE；

•・•PE〃y轴，

/.乙EPC=4CE;

...ZEPC=ZECP,

:,PE=CE,

：,PE=CE\

・•.四边形PECE'是平行四边形,

・•.四边形尸EC£是菱形，

'：EF//OA,

:.&CEF

.CEEF

..—=----,

BCBO

.CE-m

••----=-----,

53

.八r*5

..Ct=--7W,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

-3"6=0

把风-3,0）,C（0,-4）代入得,­

b=-4

解得，卜T,

b=-4

4

・•・直线BC的解析式为y=~x-4,

/4八

..Em,——nt—4

.DC（4284J4212

..PL=-1+-m-41+1--m-4|=--—

乂CE=-汕且PE=CE,

.4125

••—nr2---?w=—m.

333

解得，町=一］,九=0（舍去）

4

四边形PECE'的周长C=4CE=4x子=芋:

164

当点，在第二象限时，如图,

417S

同埋口J得：=

解得，叫=一：,〃?2=0（舍去）

而考材料

二•四边形PECE'的周长。=4C£=4x—=—；

.64

ISRS

综上，四边形PECE的周长为f或

44

【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数盘.

4

10.(2023•四川自贡・统考中考真题)如图，抛物线_＞，=-：/+尿+4与X轴交于/(-3,0),3两点,与V轴

交于点C.

(1)求抛物线解析式及8,C两点坐标；

(2)以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标：

(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得N4CE=45。，若存在，求出点"的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴抛物线解析式为尸+4(1,0),C(0,4)；⑵0(-2,-4)或。(-4,4)或。(4,4)：

k田

【分析】(1)将点4-3,0)代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令x/=0,即可求得反C两

点的坐标；

(2)分三种情况讨论，当AB,4cBe为对角线时，根据中点坐标即可求解；

(3)根据题意，作出图形，作4G_LCE交于点G,厂为/C的中点，连接GO,GF,则4O，CG在O"上,

根据等弧所对的圆周角相等，得出G在y=-x上，进而勾股定理，根据八7=g建立方程，求得点G的坐标,

进而得出CG的解析式，即可求解.

4

【详解】(1)解：•・•抛物线)，=-：/+岳'+4与x轴交于力(-3,0),

••.3X(-3『-36+4=0

Q

解得：6=4，

4»

.•・抛物线解析式为二丁2_24,

当x=0时，y=4,

••.C(0,4),

4ft

当y=o时，0=--X2--X+4

解得：玉=-3,毛=1,

8：1,0)

(2);/(TO),8(1,0),C(O,4),

设Dim.n),

,以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形

m+0_一3+14十〃_0+0

当4B为对角线时,2=2'~2~=~2~

解得：m--2.??=-4.

:.。(一2,-4)；

..._1-3+01+m4+00+?z

当力C为对角z线时，)一=F一，=一=工一

2222

解得：w?=-4,??=4

.♦・以-4,4)

-3+〃？_0+10+4_0+〃

当为对角线时,

8c~2~~~2~f2~2

解得：w=4./?=4

・•・仇4,4)

综上所述，以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，。(-2,-4)或。(-4,4)或。(4,4)

(3)解：如图所示，作4G_LCE交于点G,产为/C的中点，连接GO,G/\

而考材料

,/Z.1C£-45°

...“GC是等腰直角三角形,

・•.40,C,G在。尸上，

•・,H-3,0),C(O,4),

•**F[-P2yAC=>JAO2+CO2=5»==|

V/.4OG=//CG=45。，

••.6在)'=一工上，

设G(E,T),贝I]GF2=,+|J+

7

解得：=二1二。（舍去）

设直线CG的解析式为），=kx+4

-=—4+4

22

解得：

・•・直线CG的解析式y=；x+4

•••彳（-3,0）,8（1,0）,

・•・抛物线对称轴为直线x=萼=-1.

127

当产一1时，yX（-l）+4=—,

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾

股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键.

11.（2023•四川达州•统考中考真题）如图,抛物线y=o?+加+c过点4（-L0）,5（3,0）,C（0,3）.

⑴求抛物线的解析式；

（2）设点P是直线8c上方抛物线上一点，求出APBC的最大面积及此时点P的坐标；

（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以8C为边，点8、C、M、N为顶

点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1方—一一十2—3；（2）d，C的最大面积为充，PR：｝（3）存在，［，河）或［，而）或

（-2,714+3）,（-2-^+3）,见解析

【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可：

（2）利用待定系数法先确定直线8c的解析式为y=-x+3,设点尸（工-/+2*+3,0＜、＜3）,过点尸作

产。Lx轴于点。，交BC于点、E,得已尸/?=-』+3》，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；

（3）分两种情况进行分析：若8C为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可.

【详解】（1）解：将点/（T0），8（3,Q）,C（0,3）代入解析式得：

a-b+c=0

9。+36+c=0,

。=3

a=-\

解得：•b=2,

c=3

•••抛物线的解析式为y=-F+2*+3；

（2）设直线8c的解析式为卜=去+3将点8、。代入得:

而考材料

3k+b=0

t=3

k=-\

解得：

6=3

・,・直线BC的解析式为y=-x+3,

V5(3,0),

：・OB=3,

设点。卜,一/+2工+3)(0＜》＜3),过点。作尸O_Lx轴于点。，交3C于点E,如图所示:

PE=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,

SQPBC=5xPExOB=—x(-+3x)x3=-5工~+］刀=一5(丫-5)+»

327

••・当x=彳时，APBC的最大面积为---»

2o

44

“2国

(3)存在，义(2,2)或(4,历)或卜,一后)或42,至+3),(-2,-714+3),证明如下:

813,0),C(0,3),

V抛物线的解析式为y=-/+2x+3,

，对称轴为：x=\,

设点N(x,y),

若8c为菱形的边长，菱形BCMN,

则BC2=CM2,即18=『+（”3）2,

解得：6=如+3,/,=-717+3,

••3+1=0+.v

•[0+/=3+y，

/.,v=4,y=/-3,

A/V（4,Vi7）,A<2（4,-717）；

若8c为菱形的边长，菱形BCNM,

则8c2=8历2,即|8=（3-1）2+/，

解得：/|=V14,t2=-V14,

••3+x=0+1

*[o+y=3+1'

x=-2,y=3+t,

・•.乂（-2,旧+3）,7V4（-2-V14+3）；

综上可得：

卜，屈）或（4,一折）或卜2,而+3）,卜2,-指+3）.

【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四

边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

12.（2023,四川泸州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xO_F中，已知抛物线y=ar2+2x+c与坐标轴

分别相交于点儿B,C（O.6）三点，其对称轴为x=2.

⑴求该抛物线的解析式:

而考材料

(2)点尸是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线/尸分别与歹轴，直线8c交于点。，E.

①当CO=CE时，求CQ的长：

②若A。。，ACDF,△C。'的面积分别为S-S3,且满足S1+5=2S2,求点尸的坐标.

【答案】⑴歹=一3犬+2》+6；(2)①8-2也：②尸(4,6)

71

【分析】(1)根据抛物线对称轴为x=2,可得-彳=2,求得。二-十，再将C(0,6)代入抛物线，根据待定系

数法求得。，即可解答：

(2)①求出点〃，点A的坐标，即可得到直线8c的解析式为y=-x+6,设CQ=。，则。(0,6-°),求得

力。的解析式，列方程求出点E的坐标，最后根据CO=C£列方程，即可求出C0的长：

②过及尸分别作力4的垂线段，交AB于点GJ/,过点。作EG的垂线段，交EG于点/,根据B+S3=2S?,

可得力D+EF=2DE,即空=5，证明△OE/sZX/q,设人,一)尸+2%+6],得到直线/尸的解析式，

AF3k2)

求出点。的坐标，即可得到点E的坐标，将点£的坐标代入P=T+6解方程，即可解答.

【详解】(1)解：根据抛物线的对称轴为1=2,

得；=2,

2a

解得°=-；，

将C(O,6)代入抛物线可得6=c,

抛物线的解析式为歹=一Jx?+2x+6；

(2)解：当y=o时，得0=-；/+2K+6,

解得演=6,々=一2,

.•.4(一2,0),5(6,0),

设C8的解析式为y=h+3将。(0,6),/6,0)代入〉，=6+力，

?』6=6

'“0=6攵+力’

••.C6的解析式为y=-x+6,

设CD=a,则。（0,6-。）,

设4D的解析式为3=小+”,将。(0,6—〃)，4―2,0)代入)，=不+4.

6-a=l\

得

0=-2k}+b、

.6-o

k.=------

解得2

b]=6-a

/.力8的解析式为y=^y^x+6-a,

y=-x+6

联立方程6-a,

y=-----x+6-。

2

2a

x=-----

解得《8-。

48-8a

y=--------

8-a

48—8。/

根据。。=。£,得“=-----------O

8-a

解得q=8-2四，生=8+2后,

经检验，q=8-2拒，/=8+2&是方程的解,

•••点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点,

在y轴正半轴,

二a<6,

即CD的长为8-2人；

②解：如图，过£尸分别作48的垂线段，交AB于点G,H,过点。作EG的垂线段，交EG于点/,

而考材料

,/S1+S3=2S2,

AD+EF=2DE,

DE1

/.——=-,

AF3

设上,(人,一］，厂+2〃+6),则/1，=力+2,

EG1AB、FH上AB,

/.EG//FH,

：.Z.DEI=Z.AFB,

•••DllEG,

/DIE=90°,

:.△DEIs^AFB，

AO/=；/»+：,即点D的横坐标为:〃+：,

EI=-FH=--h2+-h+2,

363

设”的解析式为y=«2X+&，将彳(-2,0),rK-^h2+2h+(A,

0=-2k1+b2

代入得

2

~h+2h+6=k^+b2'

1,c

:,=—力+3

解得2,

b、=一力+6

AF的解析式为y=卜/+3卜i+6,

D\O,—h+6),U|JDO=—//+6,

/DOG=90°,

.•・四边形。OG/是矩形，

IG—DO=—力+6,

EG=EI+IG=--h2-i//+8,dpE\-h+-,--h2--h+S

63(3363

<1711\

将E—h+―,—h~—//+8代入y=~x+6,

(3363J

得」好，?+8=_。一％,

6333

解得％=4,A2=-4<0(舍去),

・••尸(4,6).

【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和•次函数，二次函数与一元二次方程，

两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

13.(2023•全国•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线j=-f+2x+C经过点力(01).点尸,

。在此抛物线上，其横坐标分别为肛2Mm>0),连接4。，AQ.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)”点。与此抛物线的顶点重合时，求〃I的值.

(3)出N/MQ的功与x轴平行时,求点P与点。的纵坐标的差.

(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点尸)的最高点与最低点的纵坐标的差为九,在点A与

点。之间部分(包括点A和点。)的最高点与最低点的纵坐标的差为生.当力2-九=加时，直接写出加的值.

【答案】⑴尸-x2+2x+l；(2)〃?=g；(3)点尸与点。的纵坐标的差为1或8：(4)〃?=；或〃?=：

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解：

(2)化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点。的横坐标为2加，即可求解；

(3)分力O〃x轴时，力，〃工轴时分别根据抛物线的对称性求得。的横坐标与尸的横坐标，进而代入抛物

线解析式，求得纵坐标，即可求解；

(4)分四种情况讨论，①如图所示，当P,。都在对称轴x=l的左侧时，当尸,。在对称轴两侧时，当点P在

x=l的右侧时，当。的纵坐标小于1时，分别求得",生，根据灰-4=〃?建立方程，解方程即可求解.

【详解】(1)解：•••抛物线y=-f+2x+。经过点40J).

...抛物线解析式为y=+2x+l：

2：

⑵解：•.•y=-.r+2x+l=-(x-l)+2,

顶点坐标为(1,2),

而考材料

•・•点。与此抛物线的顶点重合，点。的横坐标为2,”

2«=1»

解得：w:=—；

(3)①40〃x轴时，点4。关于对称轴x=l对称，

xQ=2m=2,

・•.次=1，则-V+2xl+l=2，-22+2x2+1=1，

・・.尸(1,2),0(2,1)

/.点。与点。的纵坐标的差为2-1=1：

②当4P