甘肃省平凉市2024届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

甘肃省平凉市2024届高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将木试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数+3x+3,g（x）=-x+〃?+2,若对任意玉E[1,3],总存在毛£口，3],使得/（与）二晨玉）

-I1

成立，则实数〃7的取值范围为（）

9B.、8,曰]U[9,+8)

179

T,2D.（一唱U[”

2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（)

_2)4+红

C.24---D.

33

3.己知i为虚数单位，实数工）满足（t+2i）i=y-i,贝（）

A.1B.y[2C.y/jD.y/5

4.已知数列｛%｝满足4用一勺=2,且q,生，4成等比数列.若｛%｝的前〃项和为S〃，则S〃的最小值为（）

A.-10B.-14C.-18D.一20

5.已知函数/（x）=k）g”（|x-2|-a）（a>0,且。wl）,贝匕八幻在（3,+oo）上是单调函数”是“0<"1”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件I）.既不充分也不必要条件

6.已知命题〃：ho>2,_r；-8>O,那么一/，为（

33

A.3x0>2,x0-8<0B.VA:>2,X-8<0

33

C.3XO<2,XO-8<OD.VX<2,X-8<0

7.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有

一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略

不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）

屋⑸「石八二2⑸「26八

A.0,B.,1C.0,-------D.------J

I6」L5）I5」L5）

8.若复数z=（3-i）（l+i）,则|z|=（）

A.25/2B・2石C.V10D.20

9.如图，在三棱柱八8C44G中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，八8=444=8.若£,尸分别是棱3%CC

上的点，且BE=B1E,c,F=lcc.,则异面直线AE与4歹所成角的余弦值为（）

V2

,而V•---------

13。・噜

10.设等差数列｛为｝的前〃项和为S”，若%=5,s）=81,则《0=（）

A.23B.25C.28D.29

11.设集合A={R%2-5/一6<。},8={_¥卜一2<0},则B=()

A.卜卜3<x<2}B.何-2</<2}

C.{乂-6cx<2}D.{x|-1cx〈2}

12.若aeR,贝U"=3”是“x（l+的展开式中广项的系数为90”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知=贝I」一一2。+1)〃展开式/的系数为.

IXz

14.设P为有公共焦点的椭圆G与双曲线的一个交点，且户耳，夕鸟，椭圆G的离心率为“，双曲线C?的

离心率为e2t若。2=3弓,则ex=.

57r\冗7T

15.四边形ABC。中，ZA=—,ZB=ZC=—,ZD=-fBC=2t则4c的最小值是____.

6123

16.已知集合A={x\x<1,xeZ},B={x\O《x«2},则.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，四棱锥。一43CQ中，PA_L底面A3CQ,ABLAD,点七在线段A。上，旦CE"AB.

(2)若乃4=45=1,AD=3,CO=夜，ZCZM=45°,求二面角P—CE—3的正弦值.

18.(12分)在如图所示的几何体中，四边形八。CO为矩形，平面人AK产_L平面人RCO,EF//AB,N身4产=90。，AD

=2,AB=AF=2EF=2t点尸在棱OF上.

(1)若P是。尸的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

(2)若二面角0-/1P-C的正弦值为迈，求?/,'的长度.

3

19.(12分)数列{〃”}满足4=,%+2《用=(),其前〃项和为S“，数列二与r的前〃项积为二二

.2〃+1J2〃+1

(1)求S”和数列{々J的通项公式;

1

（2）设q:疯（匹，求｛%｝的前〃项和了”，并证明：对任意的正整数〃，、匕均有鼠＞《.

20.（12分）在△A"中，角A3,C所对的边分别为a,Z?,c,向量〃?二（2〃-屉,Gc）,向量n=（cosB,cosC）,且机//〃・

（1）求角。的大小；

（2）求y=s讥4+65加（8-5）的最大值.

21.（12分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究

新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四

个季度）统计制成的频率分布直方图.

（1）求直方图中。的值，并估计销量的中位数；

（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计

2020年的销售量.

22.（10分）已知椭圆。：£+与=1的左右焦点分别为耳，£,焦距为4,且椭圆过点（2,1），过点F,且

a-b-3

不平行于坐标轴的直线/交椭圆与P,Q两点，点Q关于工轴的对称点为R,直线网交K轴于点M.

（2）求。耳闻面积的最大值.

参考答案

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1>C

【解析】

将函数“X)解析式化简，并求得了'(X),根据当玉w［l,3］时r(x)>0可得“X)的值域；由函数g(x)=—x+〃?+2

在々£［1,3］上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得〃z的取值范围.

【详解】

x2+3x+3_x2+x+2(x+1)+1

依题意〃x)=

X+1X+1

3

贝！)ra)=i一1',

(»1)

当了<1,3］时,r(x)>0,故函数/(X)在［1,3］上单调递增,

7

当百«1,3］时,/(x,)G

而函数以x)=T+〃z+2在［1,3］上单调递减,

7

只-u

2_

7

<-

〃2

——-

29

如-11-7-<-

+124<w.2

>-

〃7

I-4

179

故实数桁的取值范围为T，-

故选：c.

【点睛】

本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.

2、A

【解析】

观察可知，这个几何体由两部分构成，：一个半圆柱体，底面圆的半径为L高为2；一个半球体，半径为1,按公式计

算可得体积。

【详解】

设半圆柱体体积为匕，半球体体积为K，由题得几何体体积为

V=V+V,=^X12x2x—+—x^-xI3x—=—,故选A。

122323

【点睛】

本题通过=视图考察空间识图的能力,属干基础题.

3、D

【解析】

,、[x=-l

,/(x+2i)i=y-i,:.-2+xi=y-z,/.'?,

则L=|-l+2i|=6

故选D.

4、D

【解析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得S”，再利用二次函数的性质，可得当〃=4或5时，S”取到最小值.

【详解】

根据题意，可知(q｝为等差数列，公差4=2,

由4,生必成等比数列，可得〃；=%4，

，(q+4)2=q(q+6),解得“=—8.

AS.=-8H+n(Z?-1)x2=M2-9M=(n--)2--.

“224

根据单调性，可知当〃=4或5时，S“取到最小值，最小值为-20・

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前〃项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考

查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当〃=4或5时同时取到最值.

5、C

【解析】

先求出复合函数/(X)在3+0。)上是单调函数的充要条件，再看其和0<4<1的包含关系，利用集合间包含关系与充

要条件之间的关系，判断正确答案.

【详解】

/(X)=logM(|x-21-a)(a>0,且a=1),

由卜-2卜々>0得xv2-a或2+a»

即/(x)的定义域为{x\x<2-。或x>2+a},(a>0,且4w1)

令，=打一2|一其在(F,2—4)单调递减，(2+a,+o。)单调递增，

2+a<3

/(M在(3,+8)上是单调函数，其充要条件为a>0

a工1

即Ova<l.

故选：C.

【点睛】

本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.

6、B

【解析】

利用特称命题的否定分析解答得解.

【详解】

已知命题〃:叫>2,石-8>0,那么是VX>2,X3_8<0.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

7、C

【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定

此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.

【详解】

当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.

此时椭圆长轴长为J12?+6?=6石，短轴长为6,

故选：C

【点睛】

本题考查了楣圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.

8、B

【解析】

化简得到Z=(3-i)(1+i)=4+2i,再计算模长得到答案.

【详解】

z=(3-i)(l+i)=4十2i,故国=亚=26.

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.

9、B

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线AE与Ab所成角的余弦值.

【详解】

依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设A3的中点为。，建立空间直角坐标系如下图所示.所以

A(0,-2,8),E(0,2,4)M(0,-2,0),F(-2V3,0,6),所以4七二(0,4,-4),4尸二卜26,2,6).所以异面直线与

8-24x/26

所成角的余弦值为

\E•AF4ax2拒7F

故选；B

【点睛】

本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.

10、D

【解析】

由S9=81可求生=9,再求公差，再求解即可.

【详解】

解：｛4｝是等差数列

.•$=94=81

「.％=9,又；q=5,

公差为d=4,

/.Go=%+6d=29,

故选：D

【点睛】

考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.

11、D

【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.

【详解】

由题意知，集合A=｛闻-1vx<6｝,8=卜,<2),

由集合的交运算可得,Ac8=[x\-l<x<2}.

故选:D

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.

12、B

【解析】

求得x(1+ax)5的二项展开式的通项为C；x/.f”,令々=2时河得/项的系数为90,即C；x/=90，求得a，即可得出

结果.

【详解】

若a=3则x(1+at)，=x(l+3/)'二项展开式的通项为C；x3忆X』,令2+1=3,即2=2,则/项的系数为

2

C；x3=90，充分性成立;当*1+av)'的展开式中V项的系数为90,则有C；xa2=90，从而«=±3，必要性不成立.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识，考查考生的分析问题的能力和计算能力，难度较易.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-8

【解析】

先根据定积分求出〃的值，再用二项展开式公式即可求解.

【详解】

因为卜

=-x24=4

lo4

所以〃=4

(x+1)4的通项公式为Tr+i=C'x「〜

当/=2时,7；=C；xl4-r.Z=C>2=6x2

33

当r=3时，T4=C1x=4x

故+展开式中产的系数为4+(—2)x6=—8

lxJ

故答案为：-X

【点睛】

此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.

14、

【解析】

设丹=2,

根据椭圆的几何性质可得S『F\F?=b；tan0=b；

$1

'/q=—,/.q=—=a；-2=c2

ac

\ex

根据双曲线的几何性质可得，5严建、=%一=层

-tan<9

H,22|\1)

：.b；=c--a；=c11-京

JI八2AI)

)Ie2)

nc11cc石

即——H——=2,3q=e,q=—

e「约3

故答案为无

3

15、

【解析】

7Q.in-57-rTT

在A4BC中利用正弦定理得出/二12，进而可知，当NC4B=,时，AC取最小值，进而计算出结果.

sinZCAB

【详解】

.5兀.冗71.71冗71.716+四

sin—=sin—+—=sm—cos—+cos-sin—=--------

12(46J46464

ACBC

如图，在AABC中，由正弦定理可得

sinZ-BsinZ.CAB

B

即“—2^77,故当NCA8=W时，AC取到最小值为痴+,2.

~s\r\^CAB22

故答案为：二十二.

2

【点睛】

本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.

16、{0,1}

【解析】

直接根据集合A和集合B求交集即可.

【详解】

解：A={X|X<1,XGZ),

B=|x|0<x<2},

所以A[5={0,l}.

故答案为：{0,1}

【点睛】

本题考查集合的交集运算,是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析(2)当

【解析】

(1)要证明CE_L平面240,只需证明CE_LQA,CELAD,即可求得答案；

(2)先根据已知证明四边形ABCE为矩形，以A为原点，4B为x轴，A。为)'轴，AP为z轴，建立坐标系A-“，z,

求得平面尸EC的法向量为〃，平面BEC的法向量”，设二面角P—CE—8的平面角为凡cos0=|cos〈〃,|,

即可求得答案.

【详解】

(1)PA_L平面ABC。，CEu平面ABC/),

••・PAICE.

A3LAD,CE//AB,

CE±AD.

又/A4cA£>=A,

CW_L平面PAD.

(2)由(1)可知CE_LAO.

在RtAECD中,DE=CDcos45°=b

CE=CL>sin45°=l.

AE=AD-ED=2.

又AB=CE=]tAB//CEf

••・四边形ABCE为矩形.

以A为原点，43为工轴，AO为)'轴，AP为z轴，建立坐标系A一个z,

如图：

则：40.0,0),C(l,2,0),£(0,2,0),尸(0,0,1),

PC=(I,2,-1),PE=(0,2,-l)

设平面PEC的法向量为〃=(A-)，,z),

n-PC=()

n-PE=0

jr+2y-z=0

即V

2y-z=0

令y=l,则z=2,x=0

/.〃=(0,l,2)

由题_1_平面ABCD,即平面BEC的法向量为AQ=(0,0,1)

由二面角P-CE-B的平面角为锐角，

设二面角P-CE-8的平面角为。

------22亚

即cos0=|cos(n,AP)\=-j==—^―

sin0=V1-cos20=专

二•二面角P-CE-B的正弦值为：

5

【点睛】

本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查

了分析能力和计算能力，属于中档题.

18、(1)如变.(2)叵.

15

【解析】

(1)以A为原点，为x轴，AO为｝，轴，A尸为z轴，建立空间直角坐标系，贝URE=(-1,0,2),CP=(-2,

-1,1),计算夹角得到答案.

(2)设FP=^FD，计算P(0,232-2；.),计算平面APC的法向量〃=(1,-1,),平面ADF

2—2A

的法向量机二(1,0,0),根据夹角公式计算得到答案.

【详解】

(1)V5AF=90°,.\AF±AB,

又•・•平面A8EF_L平面ABCDt且平面ASEbn平面ABCD=ABf

・・・AF_L平面A3CO,又四边形A3CO为矩形，

・••以A为原点，A5为x轴，AO为y轴，A广为z轴，建立空间直角坐标系，

*：AD=2tAB=AF=2EF=2t尸是。尸的中点，

：.B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),

BE=(・L0，2)，CP=(・2，-1,1),

设异面直线BE与。尸所成角的平面角为仇

BECf\42^5

则cosO=

BE\]CP\岳・瓜—15

・•・异面直线BE与CP所成角的余弦值为皂史.

15

(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),D(0,2,0),

设尸(a,b,c),FP=ZFD>0<x<l,即(a,b,c-2)=2(0,2,-2),

解得a=。，b=2X,c=2-2z,：.P(0,22,2-22),

AP=(°，2x,2-2x),AC=(2，2,0),

设平面APC的法向量〃=(x,yfz),

AP=22y+(2-2A)z=0,22、

则-V7取x=L得〃=(1,-1»--------),

nAC=2x+2y=()2-2%

平面AOP的法向量〃7=(1,0.0),

•・•二面角。・AP・C的正弦值为理,

3

：.\cos<nun>\\m[\n\

解得％=5，・・・P(0,1,1),

・・・PF的长度|P为=«0-0)2+(1-())2+(1—2)2=V2.

【点睛】

本题考食了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

,证明见解析

【解析】

(1)利用己知条件建立等量关系求出数列的通项公式.

(2)利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结论.

【详解】

(1)=1,为+2。,*=0,得｛为｝是公比为一;的等比数列,

b\b2一1

2------

当〃之2时，数列〔要：的前〃项积为一一，贝!1??2：+12：+1,两式相除得

[2n+lJ2〃+1力红%二1

.TT2n-12n+\

1

b“=2〃+]=2〃-1

得々

2〃+1]2n+1

2n-\

又与=；得仄=1，•"“=21；

JJ

11J2.+1-J2〃-11(1_______1]

yj2n-1J2〃+1(，2〃+1+\j2n-\)~2y/2n-ly/2n+l-八,2〃-1y/2n+l)

___1___<1,

J2kI1)2，

故S,〃>Z.

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前〃项和的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主

要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.

TT

20、(1)B(2)2

6

【解析】

(1)转化条件得2sinAcosC=^sin(B+C),进而可得cosC二事，即可得解;

(2)由A+8=2化简可得)，=2sin|A+f),由A£f0,手]结合三角函数的性质即可得解.

6v3；\67

【详解】

(1)m//n，/.(2a-\/3Z?)cosC=V3ccosB，

由正弦定理得2sinAcosC-Gsin8cosc=\/3sinCeosB,

二.2sinAcosC=\/3(sinBcosC+sinCeosB)即2sinAcosC=Gsin(8+C),

又B+C=71—A,「•2sin4cosC=6sinA,

z、W

又AG(0,^),sinA^0»•'-cosC=-^-,

由。£(0,7)可得C=L

6

57r57r

(2)由(1)可得A+8=——,B=——A,

66

y=sinA+gsin(Z?-y)=siiiA+x/3sin(^~-A-y)=sinA+Gs而(/-A)

=sinA+\/3cosA=2s\n\A+—,

.(八5万、.冗(717TTY_.<7r}7,^1

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