《3.3空间两点间的距离公式》导学案

《3.3空间两点间的距离公式》导学案一、教材分析1、教材版本与章节我们使用的是北师大版高中数学必修3的教材，今天要学习的内容位于第一章统计、第二章解析几何初步之后的§3空间直角坐标系中的3.3空间两点间的距离公式。2、教学目标知识与技能目标同学们要理解空间直角坐标系的概念，能在空间直角坐标系中确定点的坐标。这就好比在一个三维的大盒子里，每个点都有它自己独特的位置标识，这个标识就是坐标。然后呢，大家要掌握空间两点间的距离公式，并且能够熟练运用这个公式去计算空间中两点的距离。比如说，给你两个点在空间里的坐标，你就能像小魔法师一样算出它们之间的距离来。过程与方法目标通过对空间直角坐标系的学习，培养大家的空间想象能力。想象一下，我们的空间就像一个充满各种可能性的梦幻世界，大家要能在这个世界里准确地找到点的位置并且理解它们之间的关系。在推导空间两点间距离公式的过程中，提高大家的逻辑推理能力。就像侦探破案一样，一步一步地根据线索推出公式。情感态度与价值观目标让同学们体验数学的严谨性和逻辑性，感受数学在解决实际问题中的强大威力。当我们用数学知识解决了一个又一个看似复杂的空间问题时，是不是会有一种成就感呢？同时，培养大家勇于探索、敢于创新的精神，在数学的海洋里大胆地畅游。3、教学重难点教学重点空间直角坐标系的建立以及空间两点间距离公式的推导和应用。这就像盖房子，建立坐标系是打地基，而距离公式的推导和应用就是在地基上盖房子，都是很关键的步骤。教学难点空间两点间距离公式的推导过程。这个过程有点像走迷宫，需要我们细心地沿着正确的路线走，一不小心就可能走错方向，所以大家要特别注意哦。二、学情分析1、知识基础同学们已经学习了平面直角坐标系，对坐标的概念和两点间距离公式有了一定的了解。这就像是我们已经学会了在二维平面上走路，现在要升级到在三维空间里探索了。但是，从平面到空间是一个不小的跨越，大家要做好心理准备哦。2、能力基础在之前的学习中，同学们已经具备了一定的逻辑思维能力和计算能力。不过，空间想象能力可能还需要进一步的提高。毕竟，三维空间比二维平面要复杂得多，就像从看平面图到看立体模型一样，需要大家慢慢适应。三、教学方法1、讲授法老师会详细地讲解空间直角坐标系的概念、性质以及空间两点间距离公式的推导过程。就像导游带着大家游览一个新的景点，把景点的各个角落都介绍清楚。2、讨论法当遇到一些问题时，比如如何更好地理解空间两点间距离公式的应用，同学们可以分组讨论。大家集思广益，说不定会有很多新奇的想法冒出来呢。3、练习法数学嘛，还是要多做题才能熟练掌握。通过做一些针对性的练习题，大家可以更好地理解和运用空间两点间距离公式。四、教学过程（一）导入（5分钟）1、故事导入老师给大家讲一个小故事。从前有一个小蚂蚁，它生活在一个平面的世界里，它觉得自己对周围的环境已经很熟悉了。可是有一天，它发现了一个神秘的洞口，当它钻进洞口后，发现自己来到了一个全新的世界，这个世界不再是平面的，而是立体的，它完全不知道自己在哪里了。同学们，我们现在就像这只小蚂蚁，从平面直角坐标系的世界来到了空间直角坐标系的世界，那我们该怎么在这个新的世界里确定自己的位置呢？2、提出问题大家回忆一下平面直角坐标系中两点间的距离公式是怎么得到的呢？那在空间中，两点间的距离又该怎么计算呢？（二）新课讲授（25分钟）1、空间直角坐标系的建立我们先来看空间直角坐标系是怎么建立的。就像在一个房间里，我们先确定一个墙角作为原点，然后从这个原点出发，沿着三条互相垂直的线（就像房间的三条边）建立坐标轴，分别叫做x轴、y轴和z轴。这样，空间里的任何一个点都可以用一个有序实数组(x,y,z)来表示它的位置了。老师在这里要强调一下，这三条坐标轴的方向是按照右手定则来确定的哦。比如说，我们可以想象一个正方体的一个顶点在原点，那么这个正方体其他顶点的坐标就可以根据它们相对于原点的位置来确定了。2、空间两点间距离公式的推导现在我们来推导空间两点间的距离公式。假设有两个点\(A(x_1,y_1,z_1)\)和\(B(x_2,y_2,z_2)\)。我们先在空间直角坐标系中找到这两个点。然后呢，我们可以把这两点间的距离看作是一个长方体的对角线的长度。我们先看在x轴方向上两点的距离是\(\vertx_2x_1\vert\)，在y轴方向上是\(\verty_2y_1\vert\)，在z轴方向上是\(\vertz_2z_1\vert\)。根据勾股定理，先在\(xOy\)平面内，点\(A(x_1,y_1,z_1)\)和\(B(x_2,y_2,z_1)\)的距离\(d_1=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)。然后点\(B(x_2,y_2,z_1)\)和\(B(x_2,y_2,z_2)\)在z轴方向上的距离是\(\vertz_2z_1\vert\)。最后，根据勾股定理，空间两点\(A(x_1,y_1,z_1)\)和\(B(x_2,y_2,z_2)\)的距离\(d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2z_1)^2}\)。这个公式看起来有点复杂，但是只要我们理解了推导过程，就会觉得它很有道理啦。（三）课堂练习（20分钟）1、基础练习例1：已知点\(A(1,2,3)\)和\(B(4,5,6)\)，求\(A\)和\(B\)两点间的距离。解：根据空间两点间距离公式\(d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2z_1)^2}\)，这里\(x_1=1,y_1=2,z_1=3,x_2=4,y_2=5,z_2=6\)，则\(d=\sqrt{(41)^2+(52)^2+(63)^2}=\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)。同学们自己动手做一下这道题，做完后同桌之间互相检查一下。练习1：已知点\(C(1,0,2)\)和\(D(3,2,4)\)，求\(C\)和\(D\)两点间的距离。（答案：\(\sqrt{(3+1)^2+(20)^2+(42)^2}=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)）2、提高练习例2：在空间直角坐标系中，点\(P(x,y,z)\)到原点\(O(0,0,0)\)的距离为1，求\(x,y,z\)满足的方程。解：根据空间两点间距离公式，\(d=\sqrt{(x0)^2+(y0)^2+(z0)^2}=1\)，即\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)。这个方程表示的是一个以原点为球心，半径为1的球面哦。练习2：已知点\(M(a,b,c)\)到点\(N(1,2,3)\)的距离等于点\(M\)到点\(O(0,0,0)\)的距离，求\(a,b,c\)满足的方程。（答案：\(\sqrt{(a1)^2+(b2)^2+(c3)^2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)，展开并化简可得\(2a+4b+6c14=0\)）（四）课堂小结（10分钟）1、知识总结今天我们学习了空间直角坐标系的建立和空间两点间的距离公式。在空间直角坐标系里，我们可以用\((x,y,z)\)来表示一个点的位置。而空间两点\(A(x_1,y_1,z_1)\)和\(B(x_2,y_2,z_2)\)间的距离公式是\(d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2z_1)^2}\)。2、方法总结在推导距离公式的过程中，我们用到了勾股定理，先从平面内的距离推导到空间的距离。在做练习题的时候，大家要先确定两点的坐标，然后再代入公式进行计算。如果遇到一些比较复杂的问题，比如求点的轨迹方程，要根据距离公式列出等式，然后再进行化简。（五）课后作业（5分钟）1、书面作业习题1：已知点