第五章 数列教学课件 (二)

第五章数列

第一节数列的概念与简单表示法

内容要求考题举例考向规律

1.了解数列的概念和几种2020全国I口卷T17⑴（求数列的通项公考情分析：以考杳S与%的关系为

简单的表示方法（列表、图式）主，简单的递推关系也是考查的热

象、通项公式）2018•全国I卷子式小与用的关系）点。在高考中以选择、填空的形式

2.了解数列是自变量为2016・浙江高考工3（小与S”的关系）进行考查，难度为低档

正整数的一类函数2015•全国I卷子7（递推、通项、求和）核心素养：逻辑推理

教材回扣基础自测

自主学习•知识积淀

、战础会口梳理b•国七*-HB*■修

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照定顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

数列的通项数列｛G｝的第股项。？

通项公式如果数列｛小｝的第，1项为与序号/I之间的关系能用公式生三皿表示，

这个公式叫做数列的通项公式

前n项和

数列｛4〃｝中，Sn=ai+。2~1-------叫做数列的前n项和

•「・

数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性a

2.数列的表示方法

列表法列表格表示n与口”的对应关系

图象法把点（门，a”）画在平面直角坐标系中

通项

公把数列的速项用公式表示

公式

式

递推

法使用初始值a\和=以d）或⑺，a和a„+a”—。等表示数列的方法

公式2

3.小与S2的关系

若数列｛a“｝的前〃项和为Sn,

|Si9n—1,

则a,尸，——

4.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列"“十\>a

项与项间的n

递减数列"“十\<Cln其中"巨K

大小关系

常数列a”+1=Un

、小虺汆演练

一、常规题

1.数歹ijO»1Q,—1,0,1,。，一1,…的一个通项公式a”等于（)

(­1)"+1一以旅

A.2B.cos~2

〃+1〃+2

C.cos~2~71D.cos~2一五

解析令〃=1,2,3,…，逐一验证四个选项。故选D。

答案D

a„=1"522),贝I］出等于(

2.在数列｛，“｝中，G)

£ln-1

A.|R&

D.3

2

D.

c-t3

"守=2,《,="曰7，值=1++=3,"=1+守=半

解析a2=

a.\a?n〃4J

答案D

3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式为

解析由d=l=5Xl—4,(72=6=5X2—4,=11=5X3—4,…，归纳a”=5题一4

答案5"-4

—、易车昔题

4.（忽视数列的函教特征）在数列一1,0,…，巧^中，0.08是它的第项。

解析依题意得普3=言，解得”=10或”=会合）.

答案10

2,

5.（忽视项教为整数的情况）数列｛.“｝中，«„=­/I+ll/i（nSN）.则此数列最大项的值是:

解析a„=—n2+Ilw——一当"于十3L因为“GN”,所以当”=5或〃=6时，取得最大值30。

答案30

6.（忽视”=1的特殊情况）己知数列｛sj的前n项和S“="2+i,则a“=。

解析当”=1时，ai=St=2,当rN2时，。”=S“一S“-i=M+i—[5—I）2+1]=2〃-1,G=2不满足上

上J2,«=1,

式.O故C/M=|,__

1273—1,〃音2,

2,n—1,

答案

271—1,42,nRN

考点例析对点微练

互动课堂•考向探究

考点一归纳数列的通项公式自主练习

1.数列一]，—冷，24^一言，…的一个通项公式为小=（

刀+1〃+1

A.B.

(T)“*5n—2(-'^5^2

M+1"+1

C.(一1尸D.

5+1)2—11产(“+1)J

3+14+1

解析敬列转化为一寻壮p（2奇_「（5+]）2—[9…，所以该教

(3+1)2—］，(44-1)2—r

f]-I-1

列的一个通^页公式为曰“=（一]尸/12----7。

（K-r1y、—1

答案D

2.（多选）数列12,1,2,…的通项公式可能为（）

3+（—ir3+（—ir*1

Ak•ctrxrB>Q/ir

2H+I

_3+cOSJ?7l3+sin2兀

-dn>>D.2

与工=1,当〃为偶数时，%=%'=2,故A中通项公式正确：对

解析对于A,当〃为奇数时

于B,当门为奇数时，m=带」=2,当〃为偶数时，盘”=与q=1，故B中通项公式不正确：对于C,当门

为奇数时，④=21=1,当〃为偶数时，a”=3*।=2,故C中通项公式正确；对于D,当〃为奇数时，an

=与1=1,当门为偶数时，&,=8^=2,故D中通项公式正确。故选ACD。

答案ACD

3.己知数列｛d｝的前5项为坐，当惠弓,则｛小｝的一'个通项公式为a〃=

解析因为2,6,12,20,30分别可分解为1X22X3,3X4,4X5,5X6,所以｛&“｝的第n项的分子可表示为

7。5+1）；因为3,5,3,5,3分别减4得一1,1,—1」，一1,所以数列｛a“｝的第，2项的分母可表示为（-1）"+4。

故数列｛a“｝的一个通项公式为

公~”5+1)

0藻(―ir+4

4.一[L，，3,一，4,，中，一的一个通项公式是o

解析这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所

以它的一个通项公式是a=(-1)"X/1、，N"0

ri〃(，+1)

答案—=(一1)心仆；])・门巨N"

5.5,55,555,5555,…的一个逋项公式是。

解析将原数列改写为^X9,^X99,1x999,…，易知数列9,99,999,…的一个通项为ICT—1,故所

求的数列的一个通项公式为6t„=^(i(yj—1)©

答案由=会10”-1)

国曾

由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策咯

1.常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想《联想常见的

数列)等方法。同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式

求得所给数列的通项公式。

2.具体策略：

(1)分式中分子、分母的特征。

(2)相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于"的一次递增或以2工3”等形式递增。

(3)拆项后的特征。

(4)各项的符号特征和绝对值的特征。

(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系。

(6)对于符号交替出现的情况，可用(一1尸或(一1尸七，来处理。

考点二由数列的缶与S”的关系求通项公式

【例1】(1)己知数列1小｝的前股项和S0=，产+2〃+15右1<),贝Ua“=。

(4,w=1,

解析当冏N2时，a„=S—S„-i=2,n-^1;当〃=1时，a.=5i=4^2X1+1。因此

n[2〃+1,"三2。

答案1[24,”+n1=,1,42

I7

(2)已知数列｛为｝的前n项和£=可用+亍则｛小｝的通项公式a„=o

解析当n=l时，a\=S\=^a\4-^,所以ai=lo当"N2叶，an=Sn—Sn-\=^an—1,所以+^=—4,

所以数列｛小｝为首项①=I,公比“=一/的等比数列，故由=(一分一、

答案[一/一‘

n

(3)已知数列｛小｝满足+2«2+3a3+…+nan=2,则Jan=。

n

解析当H=1时，由已知，可得⑶=2|=2。因为a14-2^2+3^3H----\-natt=2.①。故©+2^2+3/十…

2“一上

,1-1

4-(^—1｝an-1=2(71^2)②，由①一②得以m=2。一2"一|=2"一\所以出=:-。显然当〃=1时不满足上式。

2,n=1,

所以a„=\2'Li

-^，心2。

2,n—1,

答案\2n~]

Hr，心2

已知S求a“的方法

(Si,n=1r一一

己知S”求为，的常用方法是利用为=｛〃Gw转化为关于小的关系式，再求通项公式。主要分

三个步骤完成：

1.先利用G=SI，求得aio

2.用，7—1替换S”中的〃得到一个新的关系式，利用麽=s“一Sx1Ts22）便可求出当以22,"WN”时的

通项公式。

3.对〃=1时的结果进行检验，看是否符合"22,"RN’时小的表达式，如果符合则可以把数列的通项

公式合写；如果不符合，则应该分力=1与两段来写。

【变式训练】（1）（202，贵阳适应性考试）设£,为数列｛由｝的前〃项和，若25”=3为一3,则小等于（）

A.27B.81

C.93D.243

解^9^艮1^居2Sj7—3,可彳导25«+1—3。“十］3,彳寻2z>??+1—3a”+1,即a“十i—3cin,当n—I

时，2si=3m—3,解得。i=3,所以散列｛&｝是以3为首项，3为公比的等比数列，所以口=q丁=34=81。

故选Bo

答案B

（2）已知数列｛仇｝的前〃项和为S“，且满足"i=l,a“（2S〃-1）=28522,"三N*）,则=°

解析因为当打22时，1）=252,an=Stl—Sn-i,所以（S“一£T>（2S〃一1）=2与，所以S”—1一S»=

2S„-iS„,即^—/—=2,故是以《=1为首项，2为公差的等基数列，所以!=1+25—1）=2”-1,所以

DwOn-II，"All

I,n==I,

S,=士。因为当"=2时,m=S"

Sn-|•所以a?=<2

〃22。

、(2n—1)(2w—3)'

1,n=1,

答案\_________2>

.（2n-l）（2n—3）'〃一9

考点三由数列的递推关系求通项公式

【彳列2】（1）己知数列｛a"［中，ai=l,环+［=a”+2〃+1,则由=。

解析依题意将a“+i—t?n=2n+I,as=cii+（G—“）+（分一。2）+（日4—a3）+（汨—。4）=l+3+5+7+9=25s

答案25

n

（2）若m=1,a“+1=2an,则通项公式an=。

解析由a,,+i=2"a“，得马-=2”-3：2),所以。“二乌"处曰•-"a=2n-1-2n-2•2-1=2,+2+3+-+<"-|,=

CTn-lOn—\Cln-2a\1

Mrt-1）〃"什1）

22o又ai=l适合上式，故。」=22。

Jt（n-I）

答案22

（3）若m=l,%+尸令、，则数列｛。“｝的通项公式。”=

2小11

解析因为+1=。“+2,a,=1,所以a”#0,所以“+1+2'即£：；一£=》又.=],则3=1,所

以［之｝是以1为首项”/为公差的等差数列。所以三=六+（〃—l）X^=^4-^o所以由=1寺j_5EN'）。

2

答案

以十1

已知数列的递推关系求通项公式的典型方法

I.当出现a”=xa1+W—y为常数）时，构造等比数列。

2.当出现大研时,用累加法求解。

3.当出现㈤时，用累乘法求解。

［变式训练］（1）在数列｛4/中，2=100,%+|=d+3"5右1<）,则通项公式a“=。

解析由a“.j=/+3”5EN.）,得%=3"5RN.）,分别令〃=1,2,3,4,…,n—\（n^2）,得到5-

/J-1

1）个等式：6—a\=3,小一42=3-g—6=3\…，an—an-1=3o将这（门一1）个等式累加得a”=H+3+3?

3rl——3"一。1|Q7I197

H--------卜3“一」=1。0+］_3，=三3”+掾5=2）。显然m=100适合上式，故通项公式功,=京3”+年，JW.

答案点I3〃十19受7，xEN'

(2)(2021・西安检测)在数列｛〃｝中，m=2,且a”+i=ai+2s+3a3-l--------\-nan,〃WK,则通项公式an=

解析对于0J+I=4i+2S2+3GH-------\-nafT,令甩为n—1,彳导至4。7=日1+2。2+3口3+・—F(n—I

1

两式相减后得■到a〃+i—an=na»(n^2),即。附+1=(睦+l)a”(，N2),即=力+15丈2)(>于是公=3,~=4,­=

anG。3小

5,…，°n=n,将这5—2)个等式累乘起耒，得詈詈,詈=345—1)-/?,即^=g-・冷2:2。在已

dn—1«2«3田d-1。2N

、(2,n=\,

知中令相=1,得s=“=2,所以QzN2),。1=2不适合此式，因此0」=|「z

1〃！，"三2,且。

2,n=1,

答案

nI,/iN2,且，iWN'

考点四数列的函数性质微专题

微考向1：数列的周期性

【例3】己知数列｛a”｝满足">1环=为一I,6(|=2,则6021=

解析解法一：由已知得，«„+|=~~=1-7-r所以。T2=l-------=1---------^—T=--------

a”a”CTn-t-l]__!_cin-1

an

以凄攵列｛cin1的周期为3•©由==2,得生=2,由==1*所以“2021=43x673+2="2=5。

=

解法二：由an+ian=an—1,得a2ala\—1,又0=2,所以。2=乞，由202=。2—1,得见=—1,由山。3

:=田—1,将'“4=2,■以数列｛4万]的周期为3。于是，6/2021=6/3x673+2=«2=2°

答案!

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。

微考向2：数列的单调性

【例4】己知等差数列｛«,｝的前〃项和为S”，且S“7=—2,S=0,S“+I=3(E、2),则〃S〃的最小值

m

为()

A.-3B.-5

C.—6D.—9

解析由S”T=—2,S“=0,S”+i=3(mN2)，可知a”=2,G-I=3,设等差数列｛m｝的公差为d,则d

,.~.n(n-5)n^(n-5)__x^(x-5)

====

1,因为Sm0»所母ct\—q"r=-2,则□“=，？-3,S〃=2*ftSn°)殳，3>0,

3in

则/(*)=衬一5x,x>0,所以力x)的极小值点为x=w，因为n《N*,且贝3)=-9,#4)=—8,所以(〃S“)mM

=—9o

答案D

应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个

1.利用数列对应的函数的单调性判断。

2.对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断。

【题组对点练】

1.(微考向I)数列｛““｝满足5=—3,0”=："']:,其前〃项积为T”，则八。2|=()

十I

A.2B.I

C.1D.-3

解析由-=」+■工:,得andn+X-ha,=On+I-1,即缶+口=o又0=-3,所以。2=—。3=!，"4

Cin+1I1r1Cin/J

==

2,«5=3,所以数,列｛an)是>周期数列，周期为4,且aiaR3a41»所以72gi=74x505+|=乃=卬=-3。■i攵

选D。

答案D

2.(微考向2)己知数列1为｝的通项公式为何=/一2^56N'),则“2vl”是“数列｛以｝为递增数列”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

角辛析若数列｛。“｝为递增数列，贝4—小>0,得2,?+]>22,对任意的N"都成立，于是2<1\>

由/Ivl可推得；1<1,反过来，由；不能得到2V1,因此“2vl”是“数列｛由｝为递增数列”的充分不必要条

件。故选A。

答案A

3.（微考向2）己知数列｛%｝的通项公式为以=写4,若数列｛小｝为递减数列，则实数k的取值范围为

解析因为。^一m=一拳?=2：工，由数列｛〃｝为递减数列知，对任意。”+1—

3—3/1—k

a„=—2，」+|V0,所以心>3—3〃对任意nRN.恒成立，所以大三（。，+8）。

答案（0,4-oo）

4.（加强练）（多选）己知函数y（x）=21nx+：,数列｛呢｝的前〃项和为S“，旦满足。1=2,外t=大小）（〃巨N'）,

则下列有关数列｛访｝的叙述正确的是（）

A.a2<a\B.a^>\

C.SooVlOOD.+1v2a”

解析G=21n2Hr^=ln4+^<]n弓+；=2,A正确：因为/（x）=?一2="丁^,所以当x>l时（JL）>0,

所以JU）单调递增，所以#因为9=2>1,所以为+|=爪由）>1,所以外>1,B正确；因为分>1,

所以S2100,C错误；令人⑸=lnx+±—h'（x）=（一表='^>0,所以—（x）在（1,+f单调递增，

所以A（x）>力（1）=0,所以111小+卜—贝421na“+看一2乂），所以（21nm十月+券>2,即如+|+，二>2,所以

a田,什|+1>2小，所以D错误.故选AE。

答案AB

M教师备用题

2

【例1】（配合例1使用）若数列｛为｝是正项数列，且-----b\[^r=n-hn,则皆■十号H-------F-=

22

解析当n=1时，A/O?=1+1=2,a\=4（>当n^2时，+-----byjan-1=Qn—1）+（M—1）,+

2

—•+-\]an-i-byfa^T=n+n,两式相减可得/工=2耳，即a“=4/?\又6=4也符合该式，所以a“=4/产，则

号=4",则年十年H-------F^=4X1+4X2+。—F4/1=2/r-F2n（nN*）<»

答案27产+2,?5eN"）

【例2】（配合例3使用）若0=1,对任意的〃RN"者R有"”>0,且〃a，1一（2，?一1）"1小一2鬲=0。设

"3表示整数x的个位数字，贝ljM（a202]）=o

解析由已知得5%+1+m）（外+1—2«）=0,因为a〃>O,所以a”+i—2。”=0,则°二十'=2,因为.=1,所

raCin

以数列｛d｝是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a“=1X2Li=2k[5£N*）。所以。2=2,s=4,由=8,

£25=16,416=32,£17=64,汨=128,…，所以当〃、2时，”（a,）依次构成以4为周期的敬列。所以“（生旧）

=M（«5）=6,故答案为6。

答案6

【例3】（配合例4使用）己知数列｛a〃｝满足m〃+2—（H-+-2）afT=-F2w）,其中.=1,s=2,若a“va”

+i对任意的nWN*恒成立，则实数2的取值范围是o

解析由的十2—5+2）@=〃,产4-2〃）=及5+2）得^^一誉=/1,所以数列楞1的奇数项与偶数项均是以2

为公差的等差数列，因为。1=1,出=2,所以当门为奇数时，誉=]+，[”\1-]；=♦21"+1，所以由=-2-

z4-Wo当鹿为偶数时，詈=1，="22+1,所以%="2当M为奇数时，由anVa,*+\,得“2"

/1+.Iv（”+1）2；2（"+1+德+]pp2（W—1）>—2,若"=1,则2ER,若71>1,则》—白]所以2—0。当

—2FT（17112--（fj-I-1\2

n为偶数时，由仇va”+i,得丁二2+〃<2A+，z+l,即3L4一2,所以尢>一而，即ANO。综上，

实数4的取值范围为10.+°°)»

答案[0,+8)

深度探究素养达成

课外阅读•增分培优

三类递推公式求通项公式

一、形如。"+尸二：sP,“为常数，r>0,p,q,O”X0)的数列的通项公式的探求

ps，"»q

【例1】在数列｛瓦｝中，b\=~I,.+口=3匕""2"冏WN',则通项公式儿=。

【思路分析】将递推公式两边同时取倒数，转化为an=Aan-^B(n^2,A.B为常数)的形式，即可

轻松解题。

【解析】对递推公式生+|=二竺)的两边同时取倒数,得/~=3纥『即合一=2・9+3,因此/一+3

3瓦+2bn+Rbnbn+ibnEri

=2昼+3),*+3=2,故｛/+3｝是以2为首项，2为公比的等比数列，于是上+3=2・2”一|,可得儿=占占"，

t答案】会不，"RN”

【名师微点】一般地，形如％.1=空(r,p,“是常数，r>0,p,q,小壬0)结构的递推公式往往可

P^dn~\q

以通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推公式d=Ab,,T+B5"2,A,B是常数)，进而求出原数列

的通项。

【变式训练1]己知数列｛。《｝满足0=1,。,,+1=渭豆(“仁1\*)。若b=10g2质+1).则数列降”｝的通项

公式是b„=｛)

A.品B.n—1

C.nD.2w

解析由―=心上，得」一