浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学 含解析

学年浙江省宁波市余姚市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（）A．圆柱B．圆台C．圆锥D．两个圆锥2mnαβm⊂αn⊂β）A．若m∥β，则m∥nB．若m⊥β，则α⊥βC．若m∥n，则α∥βD．若m⊥n，则m⊥β31）A．8B．2+2C．4D．84．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）ABCD5．在△ABC中，，则△ABC的最大内角等于（）A．105°B．120°C．125°D．150°6．某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下：甲/kg260250210250280乙/kg220260230250290则下列说法错误的是（）A．甲种水稻产量的众数为250B．乙种水稻产量的极差为70第页（共页）C．甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数D．甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若acosC＝2ccosA，则的最大值为（）A．B．C．D．38||＝||＝1，＝+x（x∈（x||x＝（x在上的投影向量为（）A．B．C．﹣D．﹣二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知复数z＝2﹣i，z＝2+i，则（）A．z﹣z2为纯虚数B．复数zz2在复平面内对应的点位于第四象限C．z•＝•z（注意：表示复数z的共轭复数）D．满足|z﹣z|＝|z﹣z|的复数z在复平面内对应的点的轨迹为直线10ABCabc分别为角ABCS为△ABCABC只有一个解的是（）A．a＝1，b＝2，c∈+B．a＝1，b＝2，acosB+bcosA＝2ccosBC．D．a＝1，b＝2，A+B＝2CABC﹣ABC1ABC＝90AB＝BC＝CC＝2M为线段BC）A．AB⊥AM第页（共页）B．三棱锥C﹣AMB1的体积不变C．|AM|+|CM|的最小值为DM是BC的中点时，过AMC1三点的平面截三棱柱ABC﹣ABC1外接球所得的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分。12．已知复数z＝1﹣i，i为虚数单位，则||＝．13．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ+μ，其中λ、μ∈，则λ+μ＝．14O12ABCD的中心为OEFGH为圆OABEBCFCDGADH分别是以ABBCCDDA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）已知向量与的夹角θ＝，且||＝3，||＝2．（1）求，|+|；（2）求与+的夹角的余弦值．1615分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已选出2002001组[15252组[25353组[35454组[45，555组[55，65（1）求出a的值；第页（共页）（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点（312组中用分层抽样的方法抽取55人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．17．如图，在多面体PABCDE中，PA⊥平面ABCD，DE∥PA，PA＝2DE＝2AD＝4，四边形ABCD是正方形．（1）求直线BE与平面ADEP所成角的余弦值；（2）证明：PE⊥平面ABE；（3）求平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角的大小．1817分）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试．一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但这n低对其酒味鉴别能力进行评价．现设n＝3，分别以a，a，a3表示第一次排序时被排为1，2，3的三种酒在第二次排序时的序号，并令X＝|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|X是对两次排序的偏离程度的一种描述．若两轮测试都有X＝0X≤2，且至少有一轮测试出现X≠0第页（共页）被授予“一级品酒师”称号．（1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的a，a，a3排序结果，并求出相应的X值；a，a，a3X1，2，30……（2D（D（3）甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件E＝“在这两年中甲至少有一次P（E1917分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积记为S，且满足．（1）求角B；（2）D为AC边上一点，BD＝2，且，求S的最小值．（3O是△ABCP是圆OPMPN分别切圆O于点MNb＝1的最小值．第页（共页）学年浙江省宁波市余姚市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【分析】根据圆锥的几何特征，可得答案．【解答】解：将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆锥，故选：C．【点评】本题考查的知识点是旋转体，正确理解圆锥的几何特征是解答的关键．2B【分析】通过举反例可判断ACD，由面面垂直判定定理可判断B．【解答】解：在正方体ABCD﹣ABCD1中，记平面ABCD为α，平面ADDA1为β，（1）当记AA1为n，直线BC为m时，可知A错误；（2）当记AD1为n，直线BC为m时，可知C错误；（3）记AC为m，AA1为n时，可知D错误；由面面垂直判定定理可知B正确．故选：B．【点评】本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的关系，属于基础题．第页（共页）3A图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，然后求解平行四边形的周长即可．【解答】解：还原直观图为原图形如图，因为O′A′＝1，所以O′B′＝，还原回原图形后，OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝2．OC＝＝3，所以原平面图形的周长为：3+1+3+1＝8．故选：A．【点评】本题考查了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤，是基础题．4B【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解．A中的两个事件不是互斥事件；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故B中的两个事件互斥而不对立；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，故C中的两个事件不是互斥事件；“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件．故选：B．的合理运用．5A【分析】利用正弦定理可得sinC，根据大边对大角可求C为锐角，进而可求C的值，根据三角形内角和定理可求B的值，即可得解．第页（共页）【解答】解：∵在△ABC中，，∴由正弦定理得，即，得，∵，∴A＞C，即0°＜C＜90°，∴C＝30°，B＝180°﹣A﹣C＝105°，∴△ABC的最大内角为B＝105°．故选：A．属于基础题．6D【分析】根据平均数，极差，众数，方差的计算公式计算出结果，逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于A，由题意，得甲种水稻产量的众数为250，故A正确，对于B，乙种水稻产量的极差为290﹣220＝70，故B正确，对于C，甲种水稻产量的平均数为，乙种水稻产量的平均数为，故C正确，对于D，甲种水稻产量的方差为，乙种水稻产量的方差为．所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查了众数，极差，平均数，方差的计算，属于基础题．7C【分析】由题意利用余弦定理以及基本不等式即可求解．【解答】解：因为acosC＝2ccosA，所以由余弦定理可得a•＝2c•，整理可得3a2＝b2+3c2，所以3a2＝b2+3c2≥2bc，即≤，当且仅当b＝时等号成立，第页（共页）即的最大值为．故选：C．想，属于基础题．8C【分析】根据一元二次函数的性质，投影向量的定义即可求解．【解答】解：∵||＝||＝1，＝+x（x∈∴x∈∴当x＝＝时，取得最小值，即||＝f（x）也取得最小值，∴，∴，∴在上的投影向量为＝．故选：C．【点评】本题考查一元二次函数的性质，投影向量的定义，属基础题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9AD【分析】结合复数的四则运算，复数的几何意义，复数的概念，复数模公式，即可求解．【解答】解：z＝2﹣i，z＝2+i，则z﹣z＝﹣2i为纯虚数，故A正确；zz＝（2﹣i2+i）＝5，则复数zz2在复平面内对应的点（5，0）位于x轴上，故B错误；，，二者不相等，故C错误；设z＝a+bi（a，b∈|z﹣z|＝|z﹣z|，则（a﹣2）2+（b+1）2＝（a﹣2）2+（b﹣1）2，解得b＝0，故复数z在复平面内对应的点的轨迹为x轴，即直线，故D正确．第页（共页）故选：AD．【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，复数的概念，复数模公式，属于基础题．10ABDAB，根据面积公式可得，进而得角C有两个值，可判断C，根据内角和即可判断D．【解答】解：对于A：由三角形三边关系可得：b﹣a＜c＜b+a，所以1＜c＜3，因为c∈，故c＝2，故A正确．对于B：由acosB+bcosA＝2ccosB⇒sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosB，故sin（A+B）＝2sinCcosB⇒sinC＝2sinCcosB⇒cosB＝＝，可得：c2﹣c﹣3＝0，由此解得c＝，故三角形唯一，B正确，对于C：＝＝⇒⇒或者C错误．对于D：A+B＝2C，A+B+C＝π，故，两边及其夹角，此三角形唯一，故D正确．故选：ABD．用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．ABD【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A；，由底面积和高判断体积验证选项B；|AM|+|CM|转化为点和点（2，2）到点（0，t）的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D．【解答】解：连接AB，如图所示，第页（共页）直三棱柱ABC﹣ABC1中，AB＝BC＝CC＝2，ABAB1为正方形，AB⊥AB，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABBA，AB⊂平面ABBA，BC⊥AB，AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，AB⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，AB⊥AM，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥C﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，，，，其几何意义是点和点（2，2）到点（0，t）的距离之和，最小值为点到点（2，2）的距离，为，C选项错误；当M是BC的中点时，，，，，设点C到平面MAC1的距离为h，由，得，直三棱柱ABC﹣ABC1是正方体的一半，外接球的球心为AC的中点O，外接球的半径，点O到平面MAC1的距离为，则过A，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣ABC1外接球所得截面圆的半径为，截面面积为选项正确．故选：ABD．第页（共页）【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分。12【分析】利用共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z＝1﹣i，∴＝1+i．则||＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了共轭复数的定义、模的计算公式，属于基础题．13＝，＝和＝（+＝λ+μλ和μ的值．【解答】解析：设＝，＝，那么＝+，＝+，又∵＝+，∴＝（+λ＝μ＝，∴λ+μ＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的共线定理的应用，用＝和＝作为基底，表示出，也表示出λ+μ，利用＝λ+μ，解出λ和μ的值．14【分析】连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x（x＞0）cm，则，求出x的值，再利用勾股定理求R，代入球的表面积公式，即可得答案．第页（共页）【解答】解：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x（x＞0）cm，则，因为该四棱维的侧面积是底面积的2倍，所以，解得x＝4．设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，如图，则，所以，解得，所以外接球的表面积为．故答案为：．【点评】本题考查四棱锥外接球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。151）﹣6；；（2）．1）由平面向量数量积的运算法则，可得的值；由|+|＝，再代入相关数据，得解．（2）先求出•（+）＝3，设与+的夹角为θ，由cosθ＝，得解．1）＝||•||cos＜，＞＝3×2×cos＝﹣6，|+|＝＝＝＝．（2）由题意知，•（+）＝+＝9+（﹣6）＝3，第页（共页）设与+的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，故与+的夹角的余弦值为．【点评】本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法和数量积的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．161）0.035；（2）平均数为41.5岁；中位数为42.1岁；（3）．1）由频率分布直方图的性质列方程，能求出a；（2）由频率分布直方图的性质能求出平均数和中位数；（312组的人数分别为203012组中用分层抽样的方法抽取512组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a，a，b，b，b，从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人恰好在同一组的概率．1）由频率分布直方图的性质得：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，得a＝0.035；（2）平均数为；20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5岁；设中位数为m，则10×0.010+10×0.015+（m﹣35）×0.035＝0.5，∴m＝42.1岁；（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a，a，b，b，b，从5人中随机抽取2人，包含的基本事件为：{a，a}，{a，b}，{a，b}，{a，b}，{a，b}，{a，b}，{a，b}，{b，b}，{b，b}，{b，b}共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件为：{a，a}，{b，b}，{b，b}，{b，b}共4个，所以这2人恰好在同一组的概率．法等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，是基础题．171）23）45°．第页（共页）1）先证明AB⊥平面ADEP，得出∠BEA就是直线BE与平面ADEP所成角，即可求解；（2）根据线面垂直的判定定理即可得证；（3）建立空间直角坐标系，分别求出平面BCE与平面ADEP的法向量，利用向量夹角公式即可求解．1）因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD，又AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面ADEP，所以AB⊥平面ADEP，故∠BEA就是直线BE与平面ADEP所成角，在Rt△ABE中，易得AB＝2，，所以，，所以直线BE与平面ADEP所成角的余弦值为；（2）证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，因为DE∥PA，PA＝2DE＝2AD＝4，所以四边形ADEP为直角梯形，所以，，在△PEA中，PE2+EA2＝PA2，则PE⊥EA，故∠PEA＝90°，因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，在Rt△PAB中，，在△PEB中，，PE2+BE2＝PB2，所以PE⊥EB，由（1）知PE⊥EA，又EA∩EB＝E，EA，EB⊂平面ABE，所以PE⊥平面ABE；（3）由（1）知AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，第页（共页）则A（0，0，0B（2，0，0C（2，2，0D（0，2，0E（0，2，2可得，，设平面BCE的法向量为，则，令x＝1，则z＝1，y＝0，设平面BCE的法向量为，易知AB⊥平面ADEP，所以平面ADEP的一个法向量为，设平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角为θ，则|cosθ|＝＝，结合图像，易知平面BCE与平面ADEP所成的二面角为锐角，所以θ＝45°．【点评】本题考查空间角的计算以及线面垂直的判定，属于中档题．181）见解析；（2）；（3）．1）根据题意可得第二次排序时所有可能的a，a，a3排序及相应的X值列表；（2）令A表示事件“X＝0“，B表示事件“X＝2“，C表示事件“X＝4“．由（1）知道．甲参加第一轮测试X值记为X，参加第二轮测试X值记为X，第页（共页）记事件D＝“X＝0，X＝2“，D＝“X＝2，X＝0“，D＝“X＝2，X＝2“，D＝D∪D∪D，根据相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出结论．（3Eii＝12E＝E∪E立与互斥事件