北师大版数学九年级下册整册教案

行者无疆_思者无域_窃者无德本/章/整/体/说/课教学目标 知识与技能1.经历探索直角三角形中边角之间关系，以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程，发展观察、分析、发现问题的能力.2.理解锐角三角函数的意义，并能够通过实例进行说明.3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐5.能够用锐角三角函数解直角三角形，发展推理能力和运算能力.6.能够解决与直角三角形有关的实际问题，培养分析问题和解决问题的能力.7.体会数形之间的关系，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.过程与方法过程与方法1.能够用锐角三角函数解直角三角形，发展推理能力和运算能力.2.能够解决与直角三角形有关的实际问题，培养分析问题和解决问题的能力.3.通过探索学习，使学生经历“观察——分析——发现——运用”的过程，掌握直角三角形边角之间的关系，进一步体会数形之间的联系.1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究，进一步激发学生学习图形中各个元素之间关系的兴趣.2.能够运用锐角三角函数解直角三角形，进一步养成分析问题、解决问题的良好学习习教材分析本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上，进一步探究直角三角形的边和角之间的关系.同时也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系(边和角之间的关系),把这种关系用数量的形式表示出来，是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学习也将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系，进一步感受数形结合思想，体会数形结合的方法.【重点】教学重难点1.三角函数及其有关的概念.2.特殊角的三角函数值的探究及应用.3.利用计算器求三角函数值或锐角的度数.4.能够用锐角三角函数解直角三角形.5.能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.【难点】1.探索直角三角形中边角之间关系和30°,45°,60°角的三角函数值的过程.行者无疆_思者无域_窃者无德2.解决与直角三角形有关的实际问题.教学建议1.注重问题情境的创设.2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.间的关系?如何类比正切的概念获得正弦和余弦的概念?的相似三角形的知识去探索对边和邻边之比与角的大小的关系，进而获得正切的概念.在引4.关注问题解决的教学过程.5.精心设计实践活动的教学流程.对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活记录.的三角函数”,但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们，也就是说没有研究随着课时划分1锐角三角函数2课时1课时1课时1课时5三角函数的应用1课时1课时回顾与思考1课时课/时/教/学/详/案知识与技能知识与技能1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义，并能够举例说明.3.能够运用tanA,sinA,cosA表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.过过程与方法1.经历三个锐角三角函数的探索过程.确信三角函数的合理性.体会数形结合的数学思2.在探索锐角三角函数的过程中，初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立，使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦，从解决实际问题中感悟数学的实用性，培养学生学习数学的兴趣.①教学重难点【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.① ①教学目标知识与技能知识与技能1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，加强数学与生活的联系.过程与方法过程与方法1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.行者无疆_思者无域_窃者无德2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义，并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.教学过程导入一：课件出示：你知道图中建筑物的名字吗?是的，它就是意大利著名的比萨斜塔，是世界著名建筑奇观，位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上，是奇迹广场三大建筑之一，也是意大利著名的标志之一，它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境，以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣，从而自然引出课题，并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二：课件出示：它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高?[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导，使学生有亲切感，滑梯与课本中引用梯子比较类似，学生的探究思路会比较顺畅.[过渡语]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”,那个梯子放的“平缓”,人们是如何判断的呢?“陡”和“平缓”是用来描述梯子什么的?一、正切的定义(一)探究新知请同学们看下图，并回答问题.探究一：课件出示：在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果：1组：梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角，发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大，梯子就越陡，可以得到梯子AB较陡.师：哪组还有不同的判定方法?2组：我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比，ED与FD的比，发现前者的比值大，根据铅直高度与水平宽度的比越大，梯子就越陡，可以得到梯子AB较陡.3组：我们组的方法和1组的大致相同，借助倾斜角来判断，不过不是测量，我们是过E作EG//AB交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组：我们组发现这两架梯子的高度相同，水平宽度越小，梯子就越陡，子AB较陡.探究二：课件出示：在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法，只要说得合理即可.课件出示：在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?行者无疆_思者无域_窃者无德多给学生思考和讨论的时间.代表发言：AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等，再加上夹角相等，可以判定两个直角三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可以证明两个倾斜角相等，所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导：我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时，梯子的倾斜度一样，请大家判断一下在问题2与问题3中，两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.课件出示：在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导：我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，可能就比较困难了能不能从上面的探究中得到什么启示呢?生讨论后得出：思路1:梯子EF较陡，因为∠EFD∠ABC,根据倾斜角越大，梯子就越陡思路2:梯子EF较陡，因根据铅直高度与水平宽度的比越大，梯子就越陡.师生共同总结：在日常的生活中，我们判断哪个梯子更陡，应该从梯子AB和EF的倾斜角大小，或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做：请通过计算说明梯子AB和EF哪一个更陡呢?∴梯子EF比梯子AB更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题，让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程，既对已学知识和生活经验进行了回味和运用，也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法：(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系，倾斜角越大，梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子就越陡.(二)再探新知[过渡语]在日常生活中，我们判断哪个梯子更陡，应该从梯子AB和EF的倾斜角大小，或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.可是小明和小亮在判断梯子AB₁的倾斜程度时发生了矛盾，我们来看一看.课件出示：(1)直角三角形AB₁G和直角三角形AB₂C₂有什么关系?生很容易得出两个三角形相似.(3)如果改变B₂在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.B即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度，在课本图1-3中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程，帮助学生理解概和解决问题的能力.邻边的比.(3)tanA不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切.行者无疆_思者无域_窃者无德(三)例题解析[过渡语]通过探究我们了解了正切的概念，下面就来进行“实[过渡语]通过探究我们了解了正切的概念，下面就来进行“实战演习”,检验一下我们的理解能力.课件出示：(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?甲想一想：要判断哪个自动扶梯比较陡，只需求出什么即可?生思考后得出：比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡，只需分别求出tanα,tanβ的值进因为tana>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度，同时规范学生的解题步骤，培养良好的解题习惯.[过渡语]正切在日常生活中的应用很广泛，例如，在建筑、工程技术中，经常用正切描述山坡的坡度.课件出示：如图所示，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tana)就是：结论：坡面与水平面的夹角(a)称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.坡比),[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛，通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义，密切数学与生活的联系，使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学，为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系：坡度越大，坡面越陡.(2)梯子的倾斜程度与tanA的关系(∠A和tanA之间的关系):tanA的值越大，梯子越行者无疆_思者无域_窃者无德故选B.4.河堤横断面如图所示，堤高BC-5m,迎水坡AB的坡度是1:√3(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.第1课时【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.【基础巩固】2.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500mB.200√5m3.已知斜坡的坡度为i=1:5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】7.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1:1.8改为1:2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.行者无疆_思者无域_窃者无德【拓展探究】【答案与解析】x²+(2x)²=10002,解得x=200√5.∴他升高了200√5m.故选B.)3.10(解析：∵斜坡的坡比是1:5,∴::∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.)5(负值不合题意，舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中，∵AD:BD=1:1.8,∴BD=5×1.8=9,∴行者无疆_思者无域_窃者无德8.解：如图所示，过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F∵BC=10,AHLBC,AB=AC,∴BF5.∵AB-13,∴AF√13²-5²=12,在Rt△ACH中，AF12,易知AH//DF,且D为AC中点，:本节课是三角函数部分的第一节概念教学，教学内容比较抽象，学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点，运用实验教学、直观教学，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的认识规律.能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程.使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手，引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与，并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程.紧紧围绕着函数概念，引出正切概念.再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中，注重了阶段性的反思小结，使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够，探究梯子倾斜程度时，学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些，所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁，并大胆放手让学生去探索、去发现，真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)2.解：根据题意，得AB=200,BC-55,则AC√AB²-BC²=√200²-55²=5√1479,习题1.1(教材第4页)行者无疆_思者无域_窃者无德学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务，做到有的放矢，然后利用“由一般到特殊”的数学思想，通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tanA的关系(∠A和tanA之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点，突破难点.学生在运用正切解决问题时，一定要注意其前提条件——在直角三角形中，找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形，也可以通过角度的转化进行求解，同时还要注意数形结合思想的运用.例题如图所示，设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为a,β.已知h=2m,a=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.(解析)如图所示，过D,C分别作下底AB的垂线，垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中，可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值，求出AE,BF的长，进而可求得AB的值.∵四边形ABCD为梯形，∴四边形DCFE为矩形.答：路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用，求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形. 知识与技能1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.行者无疆_思者无域_窃者无德1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.【重点】2.能用sinA,cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习tanA的定义以及利用tanA表示直角三角形两边比的方法.【问题】边AB和AC分别是∠ACB的什么边!我们上节课学习的正切一样吗?如图所示，我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由邻边的比值便随之确定.入今天的学习内容.行者无疆_思者无域_窃者无德[过渡语]在直角三角形[过渡语]在直角三角形ABC中，除了两条直角边的比之外，还有没有利用其他边的比值来表示梯子AB的倾斜程度的情况呢?一、正弦、余弦、三角函数的定义课件出示：如图所示，在直角三角形中，除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?生观察后思考得出：还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况，只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)教师引导：如果以∠A为例，总结一下共有几种情况.【学生活动】同伴交流，总结归纳出两种类型：对边与斜边的比、邻边与斜边的比.【教师点评】在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之确定.【师生活动】共同总结：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sinA,即∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cosA,即锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.提示：当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.[设计意图]通过探究，引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念，为下面的学习打下良好的基础.二、二、sinA,cosA与梯子倾斜程度的关系[过渡语]通过上节课的学习我们知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA,cosA有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?【想一想】在教材图1-3中，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗?【教师活动】要求小组合作交流，统一答案.【学生活动】小组同学认真思考，热烈讨论，积极总结.思路一教师引导学生分析：∵AB=A₁B,∴即sinAKsinA₁,∴梯子A₁B₁比梯子AB陡.∴梯子的倾斜程度与sinA有关系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.思路二行者无疆_思者无域_窃者无德_∴梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡.【师生总结】梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程，帮助学生理解概念.通过学生的参与、动手操作让学生学会“由特殊到一般”“数形结合”的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.例题解析[过渡语]通过探究我们掌握了正弦、余弦的定义，下面就通过例题检验一下我们对新知的理[过渡语]通过探究我们掌握了正弦、余弦的定义，下面就通过例题检验一下我们对新知的理解能力.课件出示：(教材例2)如图所示，在Rt△ABC中，∠B-90°,AC=200,sinA=0.【师生活动】生独立解答，师巡视观察学生解题的情况，随时进行指导.想一想：你还能求出cosA,sinC和cosC的值吗?生认真思考，独立写解题过程.[设计意图]例题的安排既对学生学习的内容加以巩固，也让学生体会严谨的做题思路并通过拓展得出直角三角形的三角函数之间的关系.[知识拓展]1.若∠A+∠B=90°,一个锐角的正弦等于它余角的余弦，sinA=cosB;一个锐角的余弦等于它余角的正弦，cosA=sinB.2.锐角三角函数之间的关系：三、三角函数的运用[过渡语]灵活运用三角函数能提高我们的解题效率.课件出示：【做一做】如图所示，在Rt△ABC中，∠=90°,cosAC=10,AB等于多少?sinB呢?【学生活动】要求学生独立完成，代表展示解题过程.代表展示： 行者无疆_思者无域_窃者无德[设计意图]在学习前边知识的基础上，巩固运用正弦、余弦及正切表示直角三角形中两边的比，体验数形之间的联系，学习利用数形结合思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.(2)梯子的倾斜度与三角函数之间的关系：(3)锐角三角函数之间的关系：1.如图所示，在Rt△ABC中，∠-90°,AB-6,cosB²,则BC的长为()解析：∵在Rt△ABC中，∠=90°,∴cosA,tanBBCAC²+BC=AB.∵cosA,∴设3.如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD行者无疆思者无域窃者无德..∴sin∠BDE=sinA³,cos∠BDE=cosA,tan∠BDE=tan第2课时子越陡.【必做题】1.教材第6页随堂练习第1,2题.2.教材第6页习题1.2第1,2,3,4题.【选做题】教材第7页习题1.2第5题.二、课后作业【基础巩固】行者无疆_思者无域_窃者无德【能力提升】【拓展探究】行者无疆_思者无域_窃者无德【答案与解析】选项错误.故选A.)3.解析：首先由勾股定理求得斜边AC-5,然后由锐角三角函数的定义知sin,最6.9(解析：∵BC=6,sin解得AB-9.故填9.) √x²+(2x)²=√5x,CHF(2x)²+(4x)²=2√5x,∴EMP+CMH=CE²,∴△CEM行者无疆_思者无域_窃者无德9易知△ABC是等腰三角形，由面积相等可,∴sin∠9故上节课已经学习了三角函数中的正切，所以这节课根据初中学生身心发展的特点，运用了类比教学法，想唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，运用直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.用函数的观点理解正弦、余弦和正切，是本节课的一个难点.为了更好地突破难点，在教学时发动学生及时进行讨论，产生的效果较好.在探讨梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系时，鼓励学生利用类比tanA的方法进行探究，可以比较直观地得出结论，学生比较容易接受.课堂练习题及检测题题量适中且有针对性，课后作业有分层，适合不同程度的同学.在整个教学过程中，学生探究活动始终处于主导地位，培养了学生独立思考、合作探究及分析问题、解决问题的能力.在处理梯子的倾斜度与三角函数的关系的问题时，时间安排的不是很科学，导致后面的例题以及做一做的处理稍显仓促.①再教设计在以后的教学中注意科学合理地安排课堂时间，并且大部分的知识让学生利用类比tanA的方法进行自主探究.随堂练习(教材第6页)2.解：∵sin,则AC=√AB²-BC²=√25²-20²=15,∴△ABC的周长行者无疆_思者无域_窃者无德_习题1.2(教材第6页)本节课的难点.其突破方法就是在自主探究和合作交流的过程中寻求它们之间的联系.而熟练运用三角函数进行相关的计算是对所学知识的巩固提高.当然和上节课一样，在探究的过程中数形结合思想和转化思想的运用可以使问题得以简化.容易混淆sin和cos的概念.例题在Rt△ABC中，∠=90°,AB=3,BC=2,则【错解分析】容易把sinA和cosA的概念颠倒而得出相反的结论.【正解分析】在Rt△ABC中，∠-90°,AB=3,BC=2,∴AC-√9-4=√5,∴c230°,45°,60°角的三角函数值整体设计知识与技能知识与技能1.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义.2.能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.过过程与方法通过交流探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现问题的能力，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力通过数学活动，产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心，①教学重难点【重点】探索30°,45°,60°角的三角函数值，能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算.【难点】进一步体会三角函数的意义.【教师准备】教学用三角板一副和多媒体课件.【学生准备】1.一副三角板.2.复习三角函数的概念.教学过程导入一：课件出示：同学们，老师用我们常用的三角板拼成一棵松树，你从图片中发现了哪些锐角呢?【引入】前面我们已经学会了用锐角三角函数表示直角三角形的边角关系，这节课我们将利用我们常用的三角板的两个特殊的三角形探讨30°,45°,60°角的三角函数值.[设计意图]利用三角板组成的松树图形创设情境，引导学生发现三角板中的特殊锐角使他们对本节课的学习目标和学习任务一目了然动手做一做：请测量出你们手中的三角板中30°角的对边和斜边的长度.【问题】1.你能利用你测量的边长求出sin30°的值吗?cos30°和tan30°呢?2.类比上面的做法，你们能得出45°角和60°角的三角函数值吗?[设计意图]通过动手操作，既引入了课题，又初步掌握了30°,45°,60°角的三角函数值的探究方法，一举两得.[过渡语]三角板我们经常用，但是你们知道这两个三角板的边和角之间存在什么样特殊的关系吗?一副三角板图片有关这副三角板的边角关系的知识，你已经了解哪些?生回忆后得出结论：(1)直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半；(2)45°角所在的直角三角形的两直角边相等.师出示：除了利用测量的方法外，你能利用上面的性质得出sin30°等于多少吗?你是怎样得到的?行者无疆_思者无域_窃者无德的大小无关.【师生活动】我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，可得斜边等值时就会有一种亲切感，为60°角和45°角的三角函数值的探究做好准备.[过渡语]类比30°角的三角函数值，我们同样可以得出45°,60°角的三【做一做】代表发言：求60°角的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.所以很容易求得：aa如图所示，设其中一条直角边为a,则另角西1根据30°,45°,60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们来一起观察总结表格中三角函数值的特点.①先看第一列30°,45°,60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?生观察后发现：30°,45°,60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为√1,√2,√3,随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.②再来看第二列函数值，有什么特点呢?生观察后发现：第二列是30°,45°,60°角的余弦值，它们的分母也都是2,分子从大到③第三列呢?生观察后发现：第三列是30°,45°,60°角的正切值，函数值依次扩大√3倍，并且随着角度的增大，正切值在逐渐增大.【教师点拨】第三列的函数值可以变.所以第三列的规律可以总结为它们的分母都是3,而分子从小到大分别为√3,√由于30°,45°,60°三个特殊角的三角函数值的分母都可以变化成一样的，只是分子不同，所以30°,45°,60°角的三角函数值可以利用口诀“一二三，三二一，三九二十七”进行记忆.[设计意图]运用三角函数之间的关系，引导学生推导出了9个特殊值，并利用口诀记忆三个特殊角的三角函数值，帮助学生把枯燥无味的记忆变得生动有趣，节约了学生的时间.[过渡语]通过探究我们已经掌握了特殊角的三角函数值，下面我们就利用这些特殊角的三角函数值解决一些相关的问题，以检验我们对新知的理解能力.课件出示：(2)sin²60°+cos²60°-tan【学生活动】生独立解答，两名学生板演，展示解题步骤：[设计意图]通过不同类型题目的练习，帮助学生巩固特殊角的三角函数值，让学生能更加熟练地进行三角函数值的计算.[知识拓展]计算含三角函数值的代数式的步骤：(1)求出特殊角的三角函数值；(2)根据实数的运算顺序进行计算.例2如图(1)所示，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°,且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).〔解析〕让学生探讨解决实际应用问题的关键，并结合图形说出题目的已知条件和未知条件.【学生活动】学生以抢答的形式回答：解决实际应用问题的关键是将实际问题转化为数行者无疆_思者无域_窃者无德求出OC是解此题的关键【师生活动】要求学生先独立解答，有困难的和同伴交流或向老师求助,OD=2.5m,∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.[设计意图]通过对实际问题的解决，进一步帮助学生巩固特殊角的三角函数值，并培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.1.30°,45°,60°三个特殊锐角的三角函数值.2.运用30°,45°,60°角的三角函数值进行相关的计算.2.式子2cos30°-tan45°-√(1-tan6故选B..故选B..③tanA;④tanB√3.其中正确的结论是.(只需填上正确结论的序号)∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴cosB=,故②正确；∵∠A=30°,∴tanA=tan30°故③正确；∵∠B-60°,∴tanB=tan60°=√3,故④正确.故填②③④.4.如图(1)所示，以0为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于.行者无疆_思者无域_窃者无德解析：如图(2)所示，连接AB,由画出图形的过程可知OA=OB,AO=AB,∴0A=AB=OB,即三角形5.如图所示，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B离地面的高度AB为1.5m,风筝飞到C处时的线长BC为30m,这时测得∠CBD=60°,求此时风筝离地面的高度.(结果精确到0.1答：此时风筝离地面的高度约是27.5m.230°,45°,60°角的三角函数值30°,45°,60°角的三角函数值三角函数1一、教材作业【必做题】1.教材第9页随堂练习第1,2题.2.教材第10页习题1.3第14题.【选做题】教材第10页习题1.3第5,6题.二、课后作业【基础巩固】1.(中考)计算cos²45°+sin²45°等于()【能力提升】5.点(-sin60°,cos60°)关于y轴对称的点的坐标是()日楼底部的俯角为60°,热气球A处与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高(√3≈1.732,【拓展探究】行者无疆_思者无域_窃者无德【答案与解析】C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°.故填60°.)a+β=30°+45°=75°.故填75°.)60°,cos60°)关于y轴对称的点的坐标是|.故选A.)故)=120√3(m),∴BC=40√3+120√3≈277.12≈277.1(m).答：这栋楼高约为277.1m.由于本节课的知识点比较单一，就是掌握并运用30°,45°,60°角的三角函数值解决三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”“45°角所在的直角三角形的两直角边相在轻松愉快的学习气氛中熟记了9个三角函数值.接下来的例1由于学生已经熟练掌握了三行者无疆_思者无域_窃者无德关于例2的教学想做以下尝试：题目出示之后，让学生独立完成画图，这样可以使学生的印象更加深刻.但是这样就加大了题目的难度，可能会让部分学生感觉很吃力，所以可以根据学生的程度进行选择.随堂练习(教材第9页)2.解：扶梯的长度(m)..习题1.3(教材第10页).4.树高约4.6m.[提示：树高=5tan30°+1.75≈4.6(m).]5.最多蓄水2400m³.[提示：水渠蓄水量-×[1.2+(0.8+1.2+0.8)]×0.8×1500=2400(m³).]6.至少有13个台阶.[提示：BD=AD=1.5本节课的知识比较简单，学生通过自主学习完全可以领会，重点是对30°,45°,60°角的三角函数值的探究，学生可以利用学过的直角三角形的边和角之间的关系再结合勾股定理进行探究.而三个特殊角的9个三角函数值的记忆是本节课的难点，要突破这一难点，学生可以采用适合自己的方法进行记忆.如：口诀记忆法、形象记忆法等.而最好的记忆方法是通过大量的练习题进行巩固，这样的记忆更加深刻.①链接中考B)²=0,则∠C的度数是()行者无疆_思者无域_窃者无德60°-45°=75°.故选C.[解题策略]此题考查了特殊角的三角函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角函数值，也要注意运用三角形的内角和定理.混淆特殊角的三角函数值【错解分析】往往会因为对特殊角的三角函数值记忆不牢固，而出现由cos得到∠A=30°的错误结论.【正解分析】根据绝对值及偶次方的非负性，可得cosA,sinB³∴∠A=60°,∠B=60°∴∠C=180°-60°-63三角函数的计算知识与技能知识与技能1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.2.能够运用计算器进行有关三角函数的计算.3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.过程与方法过程与方法1.借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力.2.发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力. 1.通过积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐.2.感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值.①教学重难点【重点】1.用计算器由已知锐角求三角函数值.2.能够用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.【难点】用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.【教师准备】多媒体课件.行者无疆_思者无域_窃者无德【学生准备】1.科学计算器.2.复习三角函数的计算方法.的夹角为15°,且0A=OB=3m.你能求出此时另一端A离地面的高度吗?【问题】要求A离地面的高度，实际上就是求直角三角形的直角边，所以只要求出sinB的值即可，但是15°不是特殊角怎么办呢?可以使用计算器进行解决.如图所示.已知一商场自动扶梯的长1为13m.高度h为5m.自动扶梯与地面所成的夹角为θ,你能求出夹角0的度数吗?【教师活动】要求学生注意观察夹角0,1,h三者之间的关系，确定夹角θ的三角函数.计算器求夹角θ的方法.值求角度的方法.线与水平面的夹角为∠a=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?(结果精确到0.01m)1.缆车垂直上升的距离是线段.行者无疆_思者无域_窃者无德3.这三个量之间的关系是.2.已知条件是∠a=16°,AB=200m,需要求出的是线段BC的长.3.这三个量之间的关系为sin用到sin,cos键和tan键.【学生活动】同学们用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°,cos72°【教师强调】【做一做】下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.过程中出现的问题.[过渡语]看来同学们已经能熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值了.算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题.行者无疆_思者无域_窃者无德【议一议】在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m,缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能算出什么?生的思维能力.所以缆车上升的垂直高度DE=BDsin42°=200sin42°≈133.83(m),所以缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE≈55.12+133.83=188.95(m).所以缆车从A→B→D水平移动的距离为AC+BE≈192.25+148.63=340.88(m).程.[过渡语]同学们已经掌握了用计算器计算一个锐角的三角函数值.如【想一想】为了方便行人推自行车过天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长【教师活动】由已知条件如何求出倾斜角∠A的度的大小也是唯一确定的.求角度. 2ndf键.行者无疆_思者无域_窃者无德9608给学生充分交流的时间和空间，及时引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤.学生按照教师展示的按键顺序，进行练习.【教师强调】1.显示结果是以“度”为单位的.再按'"键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.2.以后在用计算器求角度时如果没有特别说明，计算结果精确到1"即可.【做一做】你能求出上图中∠A的大小吗? 0.25=14.47751219,再按°’"键可显示14°28'39.04",即∠A≈14°28'39".[设计意图]相信学生完全可以通过自学、互助，求出锐角的度数，可由学生讲解调动其主动性，尤其让那些动手能力强的来做这项工作.然后再总结利用计算器由三角函数值求角度的按键顺序，让学生学会及时总结规律，为进一步的学习与应用做好基础.[知识拓展]用计算器根据三角函数值求角度的按键顺序：第四步：按“=”键得到相应角度：第五步：按'"键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.1.运用计算器求锐角的三角函数值及根据三角函数值求角度的方法.2.运用三角函数解决实际问题的方法.1.四位学生用计算器求sin62°20'的值正确的是(小数点后保留四位)()解析：根据科学计算器给出的结果进行判断，sin62°20'≈0.82.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24m,则旗杆的高度约为()≈0.51代入，得AB≈24×0.51≈12(m).故选D.3.利用计算器求下列各角(精确到1').(3)∵tanC=45.43,∴∠C≈88°44'.4.有人说，数学家就是不用爬树或者把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高，如图所示，她测得BC=10m,∠ACB-50°,请你帮助她算出树高AB约为多少则AB=BCXtan50°≈12,即树高约为12m.3三角函数的计算1.用计算器求锐角的三角函数值2.用计算器根据三角函数值求锐角的度数一、教材作业【必做题】1.教材第14页随堂练习第14题.2.教材第15页习题1.4第13题.【选做题】教材第15页习题1.4第4,5,6题.二、课后作业【基础巩固】列按键顺序正确的是()2.用计算器求sin20°+tan54°33'的结果等于(结果精确到0.01)()3.用科学计算器计算：√31+3tan56°≈.(结果精确到0.01)行者无疆_思者无域_窃者无德4.如图所示，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8m的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°,那么旗杆的高度约是m(结果保留整数).(参考数据：sin56°≈【能力提升】5.在Rt△ABC中，∠C-=90°,BC:AC=3:4,运用计算器计算，则∠A的度数是(精确到1°)()6.如下左图所示的是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如下右图所示的几何≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,结果精确到0.1cm,可用科学计算器)7.用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001):(3)tan44°59'59".(1)AB边上的高；(精确到0.01)(2)∠B的度数.(精确到1')9.如图所示，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据：AB=80.0m,∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5°.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道AB上的位置(以A,B为参照点，0.80,sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.89,tan【答案与解析】1.D(解析：由tan得AC=BC·tanB-5×tan26°.故选D.)2.D(解析：sin20°+tan54°33'≈0.3420+1.4045=1.7465≈1.75.故选D.)10.02.故填10.02.)5.B(解析：∵BC:AC=3:4,∴设B=3x,则AC=4x,由勾股定理得AB-5x,∴sinA用科学计算器得∠A≈37°.故选B.)行者无疆_思者无域_窃者无德6.14.1(解析：如图所示，作BELCD于E∵BC=BD,∠CBD=40°,∴∠CBE=20°.在Rt△CBE7.解：(1)sin得x≈24.6,即PD≈24.6m,∴DB≈2x=49.2(m).答：小桥PD的长度约为24.6m,小桥位于AB上距B点约49.2m处.①成功之处本节是学习用计算器求三角函数值并加以实际应用的内容，通过本节的学习，使学生充分认识了三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用.虽然本节课的知识点不是很多，但是学生通过积极参与课堂活动，提高了分析问题和解决问题的能力，并且在意志力、自信心和理性思维等方面得到了良好的发展.教学时把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.对于新知的应用，由于学生缺乏经验和思考能力，容易产生困惑，所以教师要恰当地利用好信息技术，既有利于及时点拨和调控，又有利于学生的“直接体验”,增加学生空间想象能力以及解题能力，有利于学生突破难点、提高学习效率，更有助于减轻学生的压力，进而改善教学的效果.由于学生使用的科学计算器型号不统一，所以按键的顺序不一样，这样就给教学工作带来了麻烦，要分别给学生说明，耽误了一些时间，造成后面的教学环节处理得稍显紧张.第一，力争使用型号统一的科学计算器；第二，对于计算器的使用，再多给学生一些练习的时间，使学生对计算器的操作达到熟练的程度.随堂练习(教材第14页)3.山高约242.8m.4.约为51°19'4"习题1.4(教材第15页)5.约2°51'58"6.甲、乙两地间的坡角为5°8'34".本节课学生学习的重点是熟练掌握利用计算器求三角函数值和根据三角函数值求角度鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59mile/h,18nmile/h,试估算哪艘船先赶到C处.(参考数据：cos59°≈0.52,cos44°≈0.72)长为anmile,分别在Rt△ACD中和Rt△BCD中，用a表示出AC和BC,然后除以速度即可求行者无疆_思者无域_窃者无德∵其平均速度分别是20nmile/h,18nmile/h,∴乙船先到达C处.4解直角三角形①教学目标知识与技能知识与技能1.了解解直角三角形的概念，使学生理解直角三角形中五个元素的关系.2.经历解直角三角形的过程，掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.过程与方法过程与方法1.在研究问题的过程中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化.2.通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力.1.在解决问题的过程中引导学生形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系.增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.2.通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学生学习数学的信心，养成学生良好的学习习惯.①教学重难点【重点】理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形中的未知元素.【难点】从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.①教学准备【教师准备】多媒体课件.行者无疆_思者无域_窃者无德【学生准备】复习三角函数和勾股定理的相关知识.教学过程导入一：课件出示：在日常生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题，知道直角三角形的边可以求出角，知道角也可以求出相应的边.如图所示，在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?【师生活动】复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.【学生活动】通过独立思考和与同伴交流，分析出Rt△ABC中的6个元素，并尝试利用已知元素求未知元素.[设计意图]在学生分析直角三角形6个元素的过程中，学生自然而然地会想到直角三角形的相关性质，在复习旧知的同时，又为学习新知奠定了良好的基础.导入二：课件出示：如图所示，AC是电线杆AB的一根拉线，测得拉线AC=12m,AB-6√3m,你能求出拉线底端到电线杆底端的长度BC吗?能求出拉线AC与地面BC所成角的度数和拉线AC与电线杆AB所成角的度数吗?学生分析：可以利用勾股定理求拉线AC的长度，易知拉线与地面所成角为∠BCA,拉线与电线杆所成角为∠BAC,利用三角函数知识和计算器即可求出∠BCA和∠BAC的度数.【引入】这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探究直角三角形中的边和角的求解方法.[设计意图]通过生活中实际情境的引入，使学生对本节课的学习任务一目了然，学生在探究的过程中就可以抓住重点和难点.[过渡语]我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角，那么至少要知道几[过渡语]我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角，那么至少要知道几个元素，才可以求出其他元素呢?下面我们进行分类探究.一、已知两条边解直角三角形【做一做】在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗?(教材例1)在Rt△ABC中，∠C-90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a√15,b=√5,求这个三角形的其他元素.思路一教师引导学生分析：1.直角三角形中已知两边可以利用定理求出第三条边.行者无疆_思者无域_窃者无德2.直角三角形中，已知两边可以利用求∠A(或∠B)的度数.3.再利用求∠B(或∠A)的度数.【师生活动】教师引导学生分析，得出解直角三角形的方法，理清解题思路.【学生活动】得出结论：1.勾股定理2.三角函数2.两锐角互余思路二1.由两个已知条件a√15,b√5能不能求出其中的一个锐角?2.如何再求出另外一个锐角的度数?3.如何再求出第三条边的长?【师生活动】学生先独立思考，然后小组讨论.教师巡视，及时发现问题，予以纠正.完成后各小组展示解题的方法和步骤，师生共同验证.【教师小结】解直角三角形的概念：由直角三角形中已知的元素，求出所有的未知元素的过程，叫做解直角三角形.[设计意图]通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动，自然而然地引出解直角三角形的概念，并让学生及时总结解题方法，加深对概念的理解.[知识拓展]已知直角三角形两条边求其他元素的方法：方法1:已知两条边的长度，可以先利用勾股定理求出第三边，然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角，再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.方法2:已知两条边的长度，可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角，然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角，再利用锐角三角函数求出第三条边.[过渡语]你现在可以解决导入二中的问题了吗?【师生活动】要求学生独立完成，进行小组比赛，找代表板演，师生共同订正.∴拉线底端到电线杆底端的长度BC是6m,∠BCA和∠BAC的度数分别是60°和30°[设计意图]通过对导入题的解答，加深学生对解直角三角形概念的理解，提高解题的综合能力.三、已知一条边和一个角解直角三角形[过渡语]在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗?请看下面的问题：(教材例2)在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b30,∠B=25°.求这个三角形的其他元素(边长精确到1).〔解析〕在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数，然后利用与锐角∠B和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条行者无疆_思者无域_窃者无德【教师设疑】此题还有其他解法吗?【学生活动】学生相互交流他们的解法.[设计意图]通过对学习活动的探究，学生逐步掌握了解直角三角形所要具备的条件，并在探究的过程中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法，为后面的练习和应用打下了良好的基础.[知识拓展]已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法：已知一个锐角的度数，先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数；又知道一条边的长度，根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度；也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度，再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度.四、解直角三角形需要满足的条件[过渡语]除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外，还有其他【学生活动】学生先独立判断，再分组讨论.学生小结：只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.只给出一条边长这一个条件，可以解直角三角形吗?学生小结：只给出一条边长，不能解直角三角形.【教师点评】解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”.【师生总结】解直角三角形需要满足的条件：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.【教师提示】第三个元素既可以是角也可以是边.[知识拓展]解直角三角形的思路和方法：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有：(1)三边之间的关系：a+b²=c2(勾股定理).(4)面积的不同表示法：为斜边上的高).1.解直角三角形的概念：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.2.解直角三角形的类型：(1)已知直角三角形两条边求其他元素.(2)已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素.3.解直角三角形需要满足的条件：除直角外，再知道一条边和第三个元素，就可以解直角三角形.1.如图所示的是教学用直角三角板，边AC=30cm,∠C-90°,,则边BC的长为()行者无疆_思者无域_窃者无德_2.如图所示，在Rt△ABO中，斜边AB=1.若OA.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°解析：根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长，根据锐角三角函数定义得出BO=ABsin36°,即可判断A,B错误；过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角函数定义得出AD=AOsin36°,AO=AB·sin54°,所以AD=sin36°·sin54°,即可判断C3.如图所示，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4,cos故填5.=0.8,∴AD-5×0.8=4,则BD=√AB²-AD²=3,∴BC=2BD=6.故填6.5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,cosA求BC的长和tanB的值.行者无疆_思者无域_窃者无德,,:板书设计4解直角三角形【必做题】教材第17页习题1.5第1,2题.【选做题】教材第18页习题1.5第3,4题.【基础巩固】【能力提升】5.如图所示的是一张简易活动餐桌，测得0A=OB=30cm,OE=OD-50cm,B点和0点是固定的为(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值.计算这块土地有多少平方米.施工.从AC上的一点B取∠ABD=127°,沿B且AC,BD和DE在同一平面内.(1)施工点E离D多远正好能使A,C,E成一条直线(结果保留整数)?0.60,cos37°≈0.EBCEND【拓展探究】(2)公路改直后比原来缩短了多少千米?(参考数据：【答案与解析】行者无疆_思者无域_窃者无德4.60(解析：要用8m长的梯子爬到4√3m高的墙上，梯子地面和墙正好构成直角三角形；梯子与地面的夹角的正弦值,∴梯子与地面的夹角为60°.故填ADC=45°,∴行者无疆_思者无域_窃者无德=90°,∴DE=BD·cos37°≈520×0.80=416(m),∴施工点E离D距离约为416m时，正好能使A,C,E成一条直线.(2)由(1)得在Rt△BED中，∠BED=90°,∵∠D=37°,∴BE=BD·sin37°≈520×0.60=312(m).∵BC=80m,∴CE=BE-BC≈312-80=232(m),∴公路段CE的长约为232m.10×0.42=4.2(km),AIFACcos∠CAB=ACcos25°≈10×0.91=9.1(km),在Rt△BCH中10×0.42=4.2(km),AIFACcos∠CAB=ACcos25°≈10×0.91=9.1(km),在Rt△BCH中，BIH=CH÷tan∠CBA≈4.2÷tan39.1+5.6=14.7(km).故改直的公路AB的长约为14.7km.(2)在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA≈4.2÷sin37°≈4.2÷0.比原来缩短了约2.3km.为使学生迅速掌握本节课的知识，上课开始就对解直角三角形所用到的知识点：直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系等知识点进行了复习回顾，因为合理选用这些关系是正确、迅速解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用.因此.在处理例题时.首先.应让学生独立完成.培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合思想.本节课力求给学生更多自主探索的时间，让其在宽松和谐的氛围中学习，使他们学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中培养学生探索能力、创新精神、合作精神、激发学生学习数学的积极性、主动性.同时，在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中，鼓励学生通过多种解法去解答.在选用合适的三角函数解决问题时，要引导学生总结出分析问题的方法，巧妙联系已知和未知之间的函数关系，选取合适的三角函数求解.再教时，增加解实际问题中直角三角形的例题的练习，因为学生对把实际问题转化成数学问题的能力还不太强. 教材习题解答随堂练习(教材第17页)(1)c=4√5,∠A≈27°,∠B≈习题1.5(教材第17页)1.(1)b=19,∠A=45°,∠B-2.(1)a=10√2,b=10√2,∠B=45°.(2)b=12√3,c=24√<75°,∴此时人能够安全使用这个梯子.①教学建议本节课学生学习的重点是解直角三角形的方法，所以理解解直角三角形的概念是掌握解直角三角形方法的前提，而熟练运用勾股定理、两锐角互余以及锐角三角函数的定义则是解直角三角形的关键，学生要做好复习和预习工作，把握好各个元素之间的关系.此外，在没有直角三角形的图形中，通过作垂线或其他辅助线构造直角三角形也是学生要重点掌握的能力和技巧.解非直角三角形时，构造直角三角形的方法：(1)利用作高构造直角三角形，如下图所示.(2)利用勾股定理或逆定理构造直角三角形，如下图所示.(3)利用已知角构造直角三角形，如下图所示.5三角函数的应用 ①教学目标知识与知识与技能1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.过程与方法过程与方法行者无疆_思者无域_窃者无德1.从实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学思想.2.进一步感受数形结合思想(方程方法与画图法).力图引导学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形(直角三角形)后，再利用三角函数解决问题.1.发展学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.2.能将实际问题抽象成数学问题(数学符号或图形).3.让学生在探索活动中相互合作与交流，进一步发展学生的合作交流能力和数学表达能①教学重难点【重点】1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的作2.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.【难点】灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习解直角三角形的相关知识.教学过程课件出示：《盘点1833年以来重大海难》2015年6月1日约21时28分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶载客458人，其中内宾406人、旅行社随行工作人员5人、船员47人.仅14人生还.历史上的海难事件非常多，最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没，但实际上，遇难人数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.在这一统计所含的75起海难中，遇难人数超过1000人的共有18起.随着时间的推移，因袭击所致的海难逐渐减少.但21世纪以来，海难仍时有发生，如：2014年韩国“岁月号”客轮，2008年菲律宾“群星公主号”客轮，2006年埃及客轮“萨拉姆98号”,2002年的塞内加尔“乔拉号”等船只遇难都造成了巨大的人员伤亡.【引入】今天我们就探究与轮船航行有关的知识.[设计意图]通过对历史上海难事件的了解，使学生对本节课所要探究的知识有一个初步导入二：课件出示：多媒体播放：《泰坦尼克号》3D版预告片视频.音频介绍：泰坦尼克号(RMSTitanic)是一艘奥林匹克级游轮，由位于北爱尔兰贝尔法斯特的哈兰·沃尔夫船厂兴建，是当时最大、最豪华的客运轮船.在泰坦尼克号的处女航中，因为船长的大意、舵手没有能够分清方向、没有准确计算距离等人为错误，于1912年4月14日船上时间夜里11点40分撞上冰山，2小时40分钟后，船分裂成两半后沉入大西洋.泰坦尼克号海难为和平时期死伤人数(船上2208名船员和旅客中，只有705人生还)最惨重的海难之一，同时也是最广为人知的海上事故之一.行者无疆思者无域窃者无德追求.决与方向角、仰角和俯角、倾斜角等有关的实际问始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20nmile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样货轮继续向东航行，如果到A的最短距离大于10nmile,则无触礁的危险，如果小于10nmile,则有触礁的危险.过A作AD⊥BC,D为垂足，A到BC所在直线的距离为即为AD的我们需根据题意计算出AD的长度，然后与10如何利用已知条件求出AD的长度呢?.这样可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan5=20.数学中最重要的数学思想之一.行者无疆_思者无域_窃者无德解得,即AD≈20.79nmile.∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险【讨论】此题的其他解法.【学生活动】分组相互讨论、交流，各组组长展示本组的解题方法，师生共同探讨其方法在Rt△ABD中，(nmile).∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.[设计意图]在“货轮有触礁的危险吗?”的探讨过程中，学生入手感到困难，所以精心设计了一系列问题，将难点分解，