2025届高考数学大二轮复习层级二专题六概率与统计第2讲概率与统计的综合应用课时作业文

PAGE1-层级二专题六第2讲概率与统计的综合应用(文)限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.(2024·吉林百校联盟联考)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象地表达了阴阳轮转，呈现了一种相互转化、相对统一的形式美．依据太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sineq\f(π,6)x的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.eq\f(1,36) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,9)解析：B[由题意，所求事务的概率模型是一个与面积相关的几何概型．由图可知，大圆的直径等于函数y＝3sineq\f(π,6)x的周期T.设大圆的半径为R，则R＝eq\f(T,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,\f(π,6))＝6，则大圆面积为S1＝πR2＝36π.两个小圆的半径都为1，故其面积和为S2＝π×12×2＝2π，由几何概型可得，所求事务的概率P＝eq\f(2π,36π)＝eq\f(1,18).故选B.]2．(课标全国Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析：C[从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事务的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故选C.]3．(2024·海口模拟)某学校星期一至星期五每天上午共支配五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听其次节课的时间不少于20分钟的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：B[他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听其次节课的时间不少于20分钟，则他在8：50～9：00之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听其次节课的时间不少于20分钟的概率是eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).]4．(2024·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：D[本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．实行等同法，利用等价转化的思想解题．两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是eq\f(1,2).故选D.]5．(2024·保定模拟)甲、乙、丙三名同学6次数学成果及班级平均分(单位：分)如表所示：第一次其次次第三次第四次第五次第六次甲958792938794乙888085788672丙696372717474全班887281807577则下列说法错误的是()A．甲同学的数学成果高于班级平均水平，且较稳定B．乙同学的数学成果平均值是81.5分C．从丙同学前4次的数学成果中随机抽取2次，这2次中至少有1次成果超过70分的概率为eq\f(5,6)D．在6次数学成果中，乙同学成果超过班级平均分的概率为eq\f(1,2)解析：D[由统计表知，甲同学的数学成果高于班级平均水平，且较稳定，故A正确；乙同学的数学成果平均值是eq\f(1,6)×(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，故B正确；从丙同学前4次的数学成果中随机抽取2次的全部可能状况为(69,63)，(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，)(72,71)，共6种，至少有1次成果超过70分的状况为(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，(72,71)，共5种，故所求概率为eq\f(5,6)，故C正确；在6次数学成果中，乙同学成果超过班级平均分的次数为2，所以超过班级平均分的概率为eq\f(1,3)，故D不正确．故选D.]6．(2024·潍坊三模)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,8)解析：B[当日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的3天，日销售量为21个的有2天．日销售量为20个的3天，分别记为a，b，c，日销售量为21个的2天，分别记为A，B，从这5天中任选2天，可能的状况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的状况只有1种，故所求概率P＝eq\f(1,10).]二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7．已知1,4,2,8，y这5个数的平均值为4，在2,0,1，y这4个数中随机取出3个不同的数，则2是取出的3个不同数的中位数的概率为________．解析：由题意得4×5＝1＋4＋2＋8＋y，得y＝5，从数2,0,1,5中随机取出3个不同的数，有(2,0,1)，(2,0,5)，(0,1,5)，(2,1,5)，共4种不同状况，其中2是取出的3个不同数的中位数的是(2,0,5)，(2,1,5)，共2种，∴对应的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．(2024·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．解析：计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本领件总数是解题的重要一环．在处理问题的过程中，应留意审清题意，明确“分类”“分步”，设3名男同学为A1、A2、A3,2名女同学为B1、B2，则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿服务，A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10种状况．若选出的2名学生恰有1名女生，有A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2共6种状况，若选出的2名学生都是女生，有B1B2共1种状况，所以所求的概率为eq\f(6＋1,10)＝eq\f(7,10).答案：eq\f(7,10)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9．(2024·武汉模拟)某公司为了提高利润，从2013年至2024年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：年份2013201420152024202420242024投资金额x/万元4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长量y/万元6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y关于x的回来直线方程．假如2024年该公司支配对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长量为多少？(结果保留两位小数)(2)现从2013年至2024年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长量－投资金额，求这两年都是λ＞2万元的概率．解析：(1)eq\x\to(x)＝6，eq\x\to(y)＝8.3,7eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝348.6，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)＝eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，所以回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.57x－1.13.将x＝8代入方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.57×8－1.13＝11.43，即该公司在该年的年利润增长量大约为11.43万元．(2)由题意可知，年份2013201420152024202420242024λ/万元1.521.92.12.42.63.62013年至2024年这7年分别记为1,2,3,4,5,6,7，则总的基本领件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21种，抽出的两年都是λ＞2万元的状况为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共6种，所以抽出的两年都是λ＞2万元的概率P＝eq\f(6,21)＝eq\f(2,7).10．(2024·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的运用状况，从全校全部的1000名学生中随机抽取了100人，发觉样本中A，B两种支付方式都不运用的有5人，样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅运用A27人3人仅运用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都运用的人数；(2)从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有改变，现从样本仅运用B的学生中随机抽查1人，发觉他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅运用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变？说明理由．解析：本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力．(1)由图表可知仅运用A的人数有30人，仅运用B的人数有25人，由题意知A，B两种支付方式都不运用的有5人，所以样本中两种支付方式都运用的有100－30－25－5＝40，所以全校学生中两种支付方式都运用的有eq\f(40,100)×1000＝400(人)．(2)因为样本中仅运用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为eq\f(1,25).(3)由(2)知支付金额大于2000元的概率为eq\f(1,25)，因为从仅运用B的学生中随机调查1人，发觉他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事务它在一次试验中是几乎不行能发生的，所以可以认为仅运用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变，且比上个月多．答案：(1)400人(2)eq\f(1,25)(3)见解析11．(2024·辽宁六校协作体联考)十九大报告指出，坚决打赢脱贫攻坚战．某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售．为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚测量它们的质量(单位：克)，其质量分布在区间[1500,3000]内，依据统计质量的数据作出频率分布直方图如图所示．(1)按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000)，[2000，2250)内的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚的质量均小于2000克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A．全部蜜柚均以40元/千克的价格收购；B．质量低于2250克的蜜柚以60元/个的价格收购，质量高于或等于2250克的蜜柚以80元/个的价格收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．解析：(1)由题意得蜜柚质量在[1750,2000)内和在[2000，2250)内的比例为2∶3，所以应分别从质量在[1750,2000)内和在[2000，2250)内的蜜柚中各抽取2个和3个．记抽取质量在[1750,2000)内的蜜柚为A1，A2，质量在[2000,2250)内的蜜柚为B1，B2，B3，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的状况共有以下10种：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}．其中2个蜜柚的质量均小于2000克的仅有{A1，A2}这1种状况，故所求概率为eq\f(1,10).(2)方案A好，理由如下．由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1500,1750)内的频率为250×0.0004＝0.1，同