专题突破练16　立体几何中的翻折问题、探究性问题2025年高考总复习优化设计二轮专题数学课后习题专题突破练含答案

专题突破练16立体几何中的翻折问题、探究性问题2025年高考总复习优化设计二轮专题数学课后习题专题突破练含答案专题突破练(分值:90分)学生用书P178主干知识达标练1.(15分)(2024安徽池州模拟)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△EAB与△FAD是两个全等的直角三角形,且FA=4,FC与AD交于点G,将Rt△EAB与Rt△FAD分别沿AB,AD翻折,使E,F重合于点P,连接PC,得到四棱锥P-ABCD.(1)证明:BD⊥PC;(2)若M为棱PC的中点,求直线BM与平面PCG所成的角的正弦值.(1)证明由题可知PA⊥AD,PA⊥AB,且AB⊥AD.又AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.连接AC,则AC⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.(2)解以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题可得△PAG∽△CDG,所以AGGD=PA又AD=2,所以AG=43,则B(2,0,0),C(2,2,0),G0,43,0,P(0,0,4),所以GC=2,23,0,PC=(2,2,-4),BP=(-2,0,4).又点M为PC的中点,所以PM=12PC=(1,1,-2),所以BM=设平面PCG的一个法向量为n=(x,y,z),则n令y=3,得x=-1,z=1,所以平面PCG的一个法向量为n=(-1,3,1).设直线BM与平面PCG所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,BM>|=|n·BM||n||2.(15分)如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,且∠ABC=∠A1AC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求平面DAA1与平面C1CAA1所成角的余弦值.(2)在棱CC1所在直线上是否存在点P,使得BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.解(1)如图,取AC中点O,连接A1O,A1C,BD.因为棱柱各棱长均为2,且∠ABC=60°,所以四边形ABCD是菱形,△ABC是等边三角形,所以BD过点O,AC=2,AC⊥BD.又因为AA1=2,∠A1AC=60°,所以△A1AC是等边三角形,所以A1O⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O⊂平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABCD.又AC,BD⊂平面ABCD,所以A1O,AC,BD两两垂直.以点O为原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(-3,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,3),所以DA=(3,-1,0),DA1=(3,0,3设平面DAA1的一个法向量为m=(x,y,z),则m取x=1,则y=3,z=-1,所以平面DAA1的一个法向量为m=(1,3,-1).易知平面C1CAA1的一个法向量为n=(1,0,0),则cos<m,n>=m·n|m||n|=15=(2)存在.因为C1(0,2,3),C(0,1,0),B(3,0,0),所以DC1=(3,2,3),CC1=(0,1,3),BC=(因为点P在CC1上,可设CP=λCC1=(0,λ,3λ),所以BP=BC+CP=(-设平面DA1C1的一个法向量为s=(a,b,c),则s取a=1,则b=0,c=-1,所以平面DA1C1的一个法向量为s=(1,0,-1).因为BP∥平面DA1C1,所以BP⊥s,所以s·BP=-3-3λ=所以CP=-CC1,即点P在C1C的延长线上,且CP=C3.(15分)(2024河北张家口模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=2.将△ABD沿对角线BD折起,形成一个四面体A-BCD,此时AC=m.(1)是否存在实数m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同时成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.(2)求当二面角A-CD-B的正弦值为多少时,四面体A-BCD的体积最大?解(1)不存在,理由如下:假设存在实数m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同时成立.因为AB⊥CD,AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ACD,所以AB⊥平面ACD.因为BC⊥AD,BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ACD,所以BC⊥平面ACD,所以AB∥BC,或AB与BC重合.又AB∩BC=B,矛盾,所以不存在实数m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同时成立.(2)因为△BCD的面积为定值,要使四面体A-BCD的体积最大,所以只需让平面BCD上的高最大即可,易知此时平面ABD⊥平面BCD.过点A作AO⊥BD于点O,连接OA.因为AO⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD.以点O为原点,以在平面BCD中过点O且垂直于BD的直线为x轴,分别以OD,OA所在直线为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.在Rt△ABD中,BD=AB2+AD2=6,所以AO=AB·ADBD=233,所以BO=AB2-AO2=63.过点C作CE⊥BD,交BD于点E,则CE=AO=233,DE=BO=63,OE=BD-BO-DE=63,则A0,0,233,C23设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z),则n取x=1,得y=2,z=2,所以平面ACD的一个法向量为n=(1,2,2).易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos<m,n>=m·n|m||n|=2关键能力提升练4.(15分)(2024湖南长沙模拟)如图,在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,C,D分别为线段BG与AH的中点,现将四边形CDHG沿直线CD折成一个五面体AED-BFC.(1)在线段BF上是否存在点M,使CM∥平面ADE?若存在,找出点M的位置;若不存在,说明理由.(2)若二面角F-DC-B的大小为60°,求平面ADE与平面DEFC的夹角的余弦值.解(1)存在,M为BF的中点,证明如下:如图,令M为BF的中点,取AE中点N,连接MN,DN,则MN∥AB,MN=EF+AB2因为C,D分别为BG,AH的中点,所以CD∥AB,CD=GH+AB所以CD∥MN,CD=MN,所以四边形CMND为平行四边形,所以CM∥DN.又CM⊄平面AED,DN⊂平面ADE,所以CM∥平面ADE.(2)因为FC⊥CD,BC⊥CD,FC∩BC=C,FC,BC⊂平面FCB,所以CD⊥平面FCB.又CD⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面FCB.因为平面EFCD∩平面ABCD=CD,所以∠FCB为二面角F-DC-B的平面角,所以∠FCB=60°.又FC=CB,所以△FCB为等边三角形.在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,可得BG=43,所以FC=BC=BF=23.过点F作FO⊥BC交BC于点O,则点O为BC的中点取AD中点P,连接OP,OF.易知OP∥CD,所以OP⊥平面FCB.又FO,BC⊂平面FCB,所以OP,BC,FO两两垂直.以点O为原点,分别以OP,OB,OF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(5,3,0),D(3,-3,0),E(1,0,3),C(0,-3,0),所以DE=(-2,3,3),DC=(-3,0,0),DA=(2,23,0).设平面DEFC的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则DE·m=-2x1+3y1+3z1=0,DC·m=-3x1=0.设平面ADE的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则DE取x2=3,则y2=-1,z2=3,所以平面ADE的一个法向量为n=(3,-1,3),则cos<m,n>=m·n|m||n|=-25.(15分)(2024山西运城一模)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=2,沿AC将△ADC折起,使点D到达点P的位置,点P在平面ABC上的射影H落在AB上.(1)求AH的长度;(2)若M是PC上的一个动点,是否存在点M,使得平面AMB与平面PBC的夹角的余弦值为34?若存在,求CM的长度;若不存在,说明理由解(1)如图,作PE⊥AC,交AC于点E,连接EH.因为点P在平面ABC上的射影H落在AB上,所以PH⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,所以PH⊥AC.又PH∩PE=P,PH,PE⊂平面PHE,所以AC⊥平面PHE.又EH⊂平面PHE,所以AC⊥EH,由题可知AP=2,PC=4,所以AC=25,所以PE=AP·PCAC=455,所以AE=AP2所以AH=AE·ACAB(2)存在.因为PH⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以PH,AB,BC两两垂直.以点H为坐标原点,以过点H且平行于BC的直线为y轴,分别以HB,PH所在直线为x轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(-1,0,0),P(0,0,3),B(3,0,0),C(3,2,0),所以AB=(4,0,0),BC=(0,2,0),PC=(3,2,-3).设PM=λPC=(3λ,2λ,-3λ),λ∈[0,1],则MB=PB-PM=(3-3λ,-2λ设平面AMB的一个法向量为m=(x1,y1,z1),所以AB令y1=3λ-3,则x1=0,z1=2λ,所以平面AMB的一个法向量为m=(0,3λ-3,2λ设平面PBC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),所以PC取x2=1,则y2=0,z2=3,所以平面PBC的一个法向量为n=(1,0,3).因为平面AMB与平面PBC的夹角的余弦值为34,所以cos<m,n>=m·n|m||n|=23λ27λ2-6λ+3=-核心素养创新练6.(15分)(2024陕西西安一模)如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC是边长为1的正三角形,BC=2,AB=5,E,F分别为PC,PB的中点,平面AEF与平面ABC的交线为l.(1)证明:l∥平面PBC;(2)若三棱锥P-ABC的体积为36,在直线l上是否存在点Q,使得直线PQ与平面AEF所成的角为α,异面直线PQ与EF所成的角为β,且满足α+β=π2?若存在,求出线段AQ(1)证明因为E,F分别为PC,PB的中点,所以EF∥BC.又BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,所以EF∥平面ABC.又EF⊂平面AEF,平面AEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,所以l∥BC.又BC⊂平面PBC,l⊄平面PBC,所以l∥平面PBC.(2)解存在.取AC的中点D,连接PD.因为△PAC是边长为1的正三角形,所以AD=12,PD=由题可得AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,所以△ABC的面积为12AC·BC=12×1×2设点P到平面ABC的距离为h,则13×h=36,所以所以PD⊥平面ABC.取AB的中点M,连接DM,则DM∥BC,所以DM⊥AC.又AC,DM⊂平面ABC,所以PD,AC,DM两两垂直.以点D为坐标原点,分别以DA,DM,DP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A12,0,0,P0,0,32,E-14,0,34,F-14,1,34,所以AE=-34,0,34,EF=(0,1,0).设Q12,t,0,则AQ=(0,t,0),PQ=12,t,-32.设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),则AE取z=3,则x=1,y=0,所以平面AEF的一个法向量为n=(1,0,3),所以cos<n,PQ>=n·PQ|所以sinα=|cos<PQ,n>|=1又cos<PQ,EF>=所以cosβ=|cos<PQ,EF因为α+β=π2,所以sinα=cosβ,即121+t当t=12时,AQ=0,12,0,所以AQ=|AQ|=12当t=-12时,AQ=0,-12,0,所以AQ=|AQ|=1综上所述,这样的点Q存在,且有AQ=1专题突破练(分值:102分)学生用书P185主干知识达标练1.(2023北京,5)(2x-1x)A.-80 B.-40 C.40 D.80答案D解析(2x-1x)5的展开式的通项为Tk+1=C5k(2x)5-k-1xk=(-1)k,25-kC5kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,所以(2x-1x)5的展开式中含2.(2024山东聊城模拟)三名男同学和两名女同学随机站成一列,则两名女同学相邻的概率是()A.16 B.25 C答案B解析五名同学排成一列的排法有A55=120(种),其中两名女同学相邻的排法有A22A44=48(3.(2024广东湛江二模)已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,则a0+∑i=29ai=A.-2 B.-19 C.15 D.17答案D解析令x=1,得a0+a1+…+a9=(1-2)9=-1.(1-2x)9的展开式的通项为Tk+1=C9k(-2x)k=(-1)kC9k2kxk(k=0,1,…,9),所以a1=(-1)1×C91×2=-18,所以a0+∑i=29ai=-14.(2024辽宁沈阳二模)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,记事件A=“取出的重卦中至少有1个阴爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3个阳爻”,则P(B|A)=()A.516 B.1132 C答案C解析P(A)=26-126=6364,事件AB=“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”,则P(AB)=C63+5.有5名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期日两天,每天从中任选2人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A.120 B.60 C.40 D.30答案B解析(方法一)先在5名志愿者中安排1名在这两天都参加社区服务,有5种安排方法,再在星期六、星期日,每天从剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者参加社区服务,有4×3=12(种)安排方法.由分步乘法计数原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有5×12=60(种).(方法二)在5名志愿者中安排2名在星期六参加社区服务,有C52=10(种)安排方法.再从星期六参加社区服务的2名志愿者中安排1名及从剩下的3名志愿者中安排1名在星期日参加社区服务,有2×3=6(种)安排方法.由分步乘法计数原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有10×6=60(种(方法三)从5名志愿者中,在星期六、星期日两天各安排2名参加社区服务,有C52×C52=100(种)安排方法,星期六、星期日两天的志愿者全不相同的安排方法有C52×C32=30(种),全相同的安排方法有C52=10(种),所以恰有16.(多选题)(2024河北衡水模拟)对于(x-1A.常数项是15B.各项系数的和是64C.第4项的二项式系数最大D.奇数项的二项式系数的和是32答案ACD解析x-12x6的展开式的通项为Tk+1=C6k·(x)6-k(-12x)k=C6令x=1,得1-126=164,所以各项系数的和是164,故第4项的二项式系数最大,故C正确;奇数项的二项式系数的和为12×26=32,故D故选ACD.7.(多选题)某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课,且该天上午总共4节课,下列结论正确的是()A.若数学课不安排在第一节,则有18种不同的安排方法B.若语文课和数学课必须相邻,且语文课排在数学课前面,则有6种不同的安排方法C.若语文课和数学课不能相邻,则有12种不同的安排方法D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有3种不同的安排方法答案ABC解析对于A,先安排数学课,有3种排法,再安排其他3节课,有A33种排法,故总共有3A33=18(种)排法,故A正确;对于B,采用捆绑法,有A33=6(种)排法,故B正确;对于C,先排英语课和物理课,有A22种排法,再采用插空法排语文课和数学课,有A32种排法,故总共有A22A32=12(种)排法,故C正确;对于D,4节课共有A44种排法,语文课、数学课、英语课的排列顺序共有A8.(5分)(2024甘肃定西一模)已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架,且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%,40%,甲、乙车间的优品率分别为95%,90%.现从该厂这批产品中任取一件,则取到优品的概率为.(用百分数表示)

答案93%解析从该厂这批产品中任取一件,设A1=“取到的产品由甲车间生产”,A2=“取到的产品由乙车间生产”,B=“取到的产品为优品”.由题可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.9,故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.9.(5分)(2023新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).

答案64解析(方法一直接法)若选2门课,只需体育类和艺术类各选1门,有C41×C4若选3门课,则需体育类选1门、艺术类选2门,或体育类选2门、艺术类选1门,有C41×C42+C42×C4(方法二间接法)由题意可知,从8门课中选择2门或者3门共有C82+C83=84(种)不同的选课方案,只选择体育类或艺术类的选课方案有C21C42+C2关键能力提升练10.(2024山东临沂一模)将1到30这30个正整数分成甲、乙两组,每组各15个数,使得甲组的中位数比乙组的中位数小2,则不同的分组方法数是()A.2(C137C.2C146C答案B解析因为甲组、乙组均为15个数,所以其中位数也均为从小到大排列的第8个数,即各组小于中位数的有7个数,大于中位数的也有7个数.因为甲组的中位数比乙组的中位数小2,所以甲组的中位数和乙组的中位数中间有1个数,所以小于甲组的中位数的数至少有7×2-1=13(个),至多有7×2=14(个),所以甲组的中位数为14或15.若甲组的中位数为14,则乙组的中位数为16,15一定在乙组,此时从1~13中选7个数放到甲组,剩下的6个数放到乙组,再从17~30中选7个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,此时有C137若甲组的中位数为15,则乙组的中位数为17,16一定在甲组,此时从1~14中选7个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,再从18~30中选6个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,此时有C147综上可得不同的分组方法数是C137C147+11.(多选题)(2024广东广州一模)甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球,则()A.P(A1)=35B.P(B)=11C.P(B|A1)=950D.P(A2|B)=2答案ABD解析依题意可得P(A1)=35,P(A2)=若从甲箱中取出红球,则乙箱中有3个红球和2个白球,所以P(B|A1)=C3若从甲箱中取出白球,则乙箱中有2个红球和3个白球,所以P(B|A2)=C22C52=110,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=P(A2|B)=P(A2B)故选ABD.12.(2024山东济南一模)某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有75人是高级工程师,既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人,公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为()A.38 B.1724 C答案C解析由题意得,试验的样本空间Ω的样本点总数为120,即n(Ω)=120.每个样本点都是等可能的,所以这是一个古典概型.设事件A=“被选中的员工是高级工程师”,则n(A)=120+75-85-14=96,所以所求概率为P=n(A)13.(多选题)(2024山东日照一模)从标有1,2,3,…,8的8张卡片中有放回地抽取两次,每次抽取一张,依次得到数字a,b,记点A(a,b),B(1,-1),O(0,0),则()A.∠AOB是锐角的概率为7B.∠ABO是直角的概率为1C.△AOB是锐角三角形的概率为7D.△AOB的面积不大于5的概率为43答案ACD解析由题可知点A位于第一象限.用图表表示点A的坐标,如图.ab123456781(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(5,7)(5,8)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(6,7)(6,8)7(7,1)(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,7)(7,8)8(8,1)(8,2)(8,3)(8,4)(8,5)(8,6)(8,7)(8,8)可以得到,试验的样本空间包含的样本点的个数为n(Ω)=C81C81=对于A,如图,设直线l过点O,且与OB垂直,因为kOB=-1,所以l:y=x,所以当a<b时,∠AOB是锐角.设A=“∠AOB是锐角”,则n(A)=28,所以P(A)=n(A)n(对于B,如图,设直线m过点B,且与OB垂直,所以l:y+1=x-1,即l:y=x-2,所以当b=a-2时,∠ABO是直角.设B=“∠ABO是直角”,则n(B)=6,所以P(B)=n(B)n(对于C,如图,若△AOB为锐角三角形,则点A位于直线l和m之间,由题易知点A位于直线y=x-1上,所以当b=a-1时,△AOB为锐角三角形.设C=“△AOB为锐角三角形”,则n(C)=7,所以P(C)=n(C)n(对于D,如图,|OB|=2,直线OB:y=-x,即x+y=0.设直线n:y=-x+c,即x+y-c=0,c>0,直线OB与直线n的距离为d,则d=|c若△AOB的面积为5,则12|OB|d=5,即22·22c=5,解得c=10,即n:y=-x+10,所以当b≤-a+10,即a+b≤10时,设D=“△AOB的面积不大于5”,则n(D)=43,所以P(D)=n(D)n(Ω)=14.(多选题)(2024山东济南一模)下列等式中正确的是()A.∑k=18C8C.∑k=28k-1答案BCD解析对于A,因为(1+x)8=C80+C81x+C82x2+…+C88x8,令x=1,得28=1+C81+C82+…+C对于B,因为Cn2+Cn3=Cn+13,所以∑k=28Ck2=C22对于C,因为1(所以∑k=28k-1k!=∑k=281(k对于D,(1+x)16=(1+x)8(1+x)8,对于(1+x)16的展开式,其含有x8的项的系数为C168,对于(1+x)8(1+x)8的展开式,要得到含有x8的项的系数,须从第一个式子的展开式中取出含xk(k=0,1,…,8)的项,再从第二个式子的展开式中取出含x8-k的项,它们对应的系数相乘后求和,得∑k=08C8kC815.(5分)(2024广东佛山模拟)已知a=1+C2012+C20222+C20323+…+C20答案1解析a=1+C2012+C20222+C20323+…+C2020220=(1+2)20=320=910=(10-1)10=C1001010-C101109+…+C108102-C10910+C1010=故a除以10所得的余数为1.16.(5分)(2024河北邢台模拟)将1,2,3,…,9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入,每个格子中只能填一个数),记第1行中最大的数为a,第2行中最大的数为b,第3行中最大的数为c,则a<b<c的填法共有种.

答案60480解析由题可知,c=9,c可选的位置有3个,第3行其余2个位置任取2个数,共有C31A82种情况;第2行,取剩下6个数中最大的数为b,可选的位置有3个,其余2个位置任取2个数,共有C31A52种情况;第1行,剩下3个数任意排列,则有A33核心素养创新练17.(17分)(2024江苏苏州模拟)在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个,若奖品在此箱子里,则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱,在打开2号箱之前,主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则,主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.(1)计算主持人打开4号箱的概率;(2)当主持人打开4号箱后,现在给抽奖人甲一次重新选择的机会,请问他是坚持选2号箱,还是改选1号或3号箱?(以获得奖品的概率最大为决策依据)解(1)设Ai=“i号箱里有奖品”(i=1,2,3,4),B=“主持人打开4号箱”,则Ω=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4两两互斥.由题意可知,P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=14,P(B|A1)=12,P(B|A2)=13,P(B|A3)=12,P(B|A4)=0.由全概率公式,得P(B)=∑i=14P(Ai)P(B|Ai)(2)在主持人打开4号箱的条件下,1号箱、2号箱、3号箱里有奖品的条件概率分别为P(A1|B)=P(P(A2|B)=P(P(A3|B)=P(所以甲应该改选1号或3号箱.专题突破练(分值:58分)学生用书P187主干知识达标练1.(多选题)某学校共有2000名男生,为了解这部分学生的身体发育情况,学校抽查了其中100名男生的体重情况.根据所得样本数据绘制的频率分布直方图如图所示,则()A.样本数据的众数的估计值为67.5B.样本数据的80%分位数的估计值为72.5C.样本数据的平均数的估计值为66D.该校男生中低于60kg的人数大约为300答案ABD解析对于A,在频率分布直方图中,体重在区间[65,70)内的学生最多,所以样本数据的众数的估计值为67.5,故A正确;对于B,因为(0.03+0.05+0.06)×5=0.7,0.7+0.04×5=0.9,所以80%分位数落在区间[70,75)内.设80%分位数为x,则0.7+0.04(x-70)=0.8,解得x=72.5,所以样本数据的80%分位数的估计值为72.5,故B正确;对于C,样本数据的平均数的估计值为5×57.5×0.03+62.5×0.05+67.5×0.06+72.5×0.04+77.5×0.02=66.75,故C错误;对于D,被抽到的100名男生中体重低于60kg的频率为0.03×5=0.15,故可估计该校男生体重低于60kg的概率为0.15,所以该校男生中低于60kg的人数大约为2000×0.15=300,故D正确.故选ABD.2.(多选题)(2024甘肃陇南一模)某厂近几年陆续购买了几台A型机床,该型机床已投入生产的时间x(单位:年)与当年所需要支出的维修费用y(单位:万元)有如下统计资料:x/年23456y/万元2.23.85.56.57根据表中的数据可得到经验回归方程为y=1.23x+a^,则(A.a^=0B.y与x的样本相关系数r>0C.表中维修费用的第60百分位数为6D.该型机床已投入生产的时间为10年时,当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元答案ABC解析根据表中的数据可得x=4,y=2.2+3.8+5.5+6.5+75=5,所以经验回归直线过点(4,5).将(4,5)代入经验回归方程y=由表中数据可得y随着x增大而增大,x与y正相关,所以相关系数r>0,故B正确;维修费用从小到大依次为2.2,3.8,5.5,6.5,7,因为5×60%=3,所以第60百分位数为5.5+6.52故选ABC.3.(多选题)(2024山东德州模拟)进入冬季,哈尔滨旅游火爆全网,下图是一周内哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图,则()A.中央大街日旅游人数的极差是1.2万B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3万C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大答案BC解析中央大街日旅游人数的最大值为2.8万,最小值为0.9万,所以极差为1.9万,故A错误;冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9,所以其中位数为2.3,故B正确;冰雪大世界日旅游人数的平均值为1.7+1.中央大街日旅游人数的平均值为2.8+2.8+2.4+2.7+1.1+0.冰雪大世界日旅游人数的方差为1.72+1.82+1.92+2.32+2中央大街日旅游人数的方差为2.82+2.82+2.故冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小,故D错误.故选BC.4.(17分)(2023全国乙,理17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为z,样本方差为s2.(1)求z,s2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果z≥2s210,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高解(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,∴z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,∴s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=110×(4+25+9+361+16+0+64(2)∵2s210=26.1<11,∴可判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.关键能力提升练5.(多选题)(2024广东汕头一模)某次考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于[80,90)内的学生成绩的方差为12