《自动控制原理》课件2第3章 线性控制系统的时域分析

自动控制原理第3章

线性控制系统的时域分析1第三章线性控制系统的时域分析2025/2/253.1系统时间响应的性能指标

一个控制系统的时域响应

不仅取决于系统本身的结构和参数，即系统的传递函数

，而且和系统的初始状态以及系统的输入信号有关。为便于研究，规定系统在外加输入信号之前是相对静止的，即为零初始状态。

控制系统的实际输入信号往往是未知的，为了便于对系统进行分析和设计，常需要一些输入函数作为测试信号。根据其响应情况，对系统的性能作出评价。选取的测试信号应具有下列特点：（1）能反映系统工作时的实际情况；（2）易于在实验室中获得；（3）数学表达形式简单，以便数学上的分析和处理。第三章线性控制系统的时域分析2自动控制原理2025/2/251.阶跃信号当阶跃信号的幅值为1，即

时，称为单位阶跃信号。2.斜坡信号当

时，称为单位斜坡信号。自动控制原理典型输入信号2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析3(a)阶跃信号(b)斜坡信号3.等加速度信号当

时，称为单位等加速度信号。4.脉冲信号当H=1时，称为单位脉冲信号，记为

。如果令

，则称为单位理想脉冲函数，如图所示，并用

表示。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析4(c)等加速度信号自动控制原理典型输入信号5.正弦信号2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析5自动控制原理典型输入信号实际工作中，如：电源的波动、机械振动、元件的噪声干扰、海浪对舰艇的扰动力等均可视为正弦作用。另外，还可以用不同频率的正弦输入，得到系统的频率特性，据此判断系统的性能。在分析控制系统时，究竟采用哪一种输入信号，取决于系统正常工作时，最常见、最不利的输入情况。但是无论选用哪一种输入信号，系统表现的性能是一样的。动态性能与稳态性能1）稳定性稳定性是控制系统分析和设计中最为重要的概念，也是对控制系统性能的最基本要求，是控制系统在各种非理想条件下能够可靠工作，对外部扰动有自调节能力的前提条件。2）稳态性能稳态误差

：指稳态响应的期望值与实际值的差值。若系统输入为单位阶跃信号，则稳态误差是系统控制精度的一种度量，若稳态误差

，则称系统是无静差的，反之称系统是有静差的。3）动态性能稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。系统的输出能准确地跟踪或复现阶跃输入时，认为是较为严格的工作条件，所以评价系统时域性能指标，通常是根据系统的单位阶跃响应确定。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析6自动控制原理动态性能与稳态性能2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析7图3.3系统的单位阶跃响应自动控制原理动态性能与稳态性能（1）延迟时间

阶跃响应曲线从零第一次到达稳态值的10%所需的时间。（2）上升时间

阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所需的时间。若阶跃响应曲线为过阻尼的单调变化状态，其响应不超过稳态值，则定义阶跃响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间为上升时间。（3）峰值时间

阶跃响应曲线超过稳态值到达第1个峰值所需的时间。（4）调节时间

阶跃响应曲线到达并保持在其稳态值允许的误差范围（即误差带）内所需的时间，通常误差范围定义为

或

。（5）超调量

阶跃响应曲线的最大值

与其稳态值

之差与稳态值的百分比，即2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析8自动控制原理抗扰动性能2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析9系统突加扰动的动态过程自动控制原理3.2控制系统的时域分析一阶系统时域分析

用一阶微分方程式描述的控制系统称为一阶系统。它是工程中最基本、最简单的系统，如：RC电路、热处理器、体温计等，均为一阶系统的实例。一阶系统的数学模型式中，为电路的输出电压；为电路的输入电压，，T为时间常数。零初始条件下，其传递函数为2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析10自动控制原理一阶系统的时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析11（a）RC电路（b）一阶系统框图（c）等效框图图：一阶系统及结构框图自动控制原理一阶系统的时域分析一阶系统的时域响应2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析12自动控制原理一阶系统的时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析13图3.6一阶系统的单位阶跃响应自动控制原理一阶系统的时域分析一阶系统的单位阶跃响应具有两个特征：时间常数

为表征响应特性的唯一参数响应曲线的初始上升斜率为

1/T2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析14自动控制原理一阶系统的时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析15自动控制原理一阶系统的时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析16图3.7一阶系统的单位脉冲响应3）单位斜坡响应设，零初始条件下一阶系统单位斜坡响应的拉氏变换为自动控制原理一阶系统的时域分析对上式取拉氏反变换，得2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析17图3.8一阶系统的单位斜坡响应根据一阶系统对上述三种典型信号的时域响应，不难看出线性定常系统的一个重要性质：一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号时域响应的导数；一个输入信号积分的时域响应等于该输入信号时域响应的积分。自动控制原理二阶系统时域分析

用二阶微分方程式描述的控制系统称为二阶系统。在控制工程中，不仅二阶系统非常普遍，如：电机系统、小功率随动系统等，而且不少高阶系统在一定的条件下可用二阶系统近似等效。因此，着重研究二阶系统的特性及分析计算的方法，具有较大的实际意义。1.二阶系统的数学模型

位置随动系统如图3.9所示，系统中的负载角位移能跟随输入手柄角位移的变化。图中两个线性电位器分别把输入和输出的角位移转变为与之成比例的电信号，并进行比较，其差值经过电压和功率放大器放大后给直流伺服电机供电，使之带动传动比为

的齿轮组合负载一起转动，力图使角位移的误差减小到零。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析18自动控制原理二阶系统时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析19图3.9位置随动系统原理图自动控制原理二阶系统时域分析设J和

分别为电动机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数，不考虑电动机电枢的电感和负载系数，则图3.9所示系统的框图如图3.10所示。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析20(a)系统的框图

（b）系统的简化框图

图3.10位置随动系统框图自动控制原理二阶系统时域分析由图3.10（b）可见，位置随动系统在简化情况下是一个二阶系统，由一个积分环节和一个惯性环节串联组成，其开环传递函数和闭环传递函数分别为2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析21

其中：阻尼系数，开环增益为了使研究的结果具有普遍的意义，可将式（3.16）改写为二阶系统的标准形式自动控制原理二阶系统时域分析相应的结构图如图3.11所示。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析22图3.11标准形式的二阶系统框图2.二阶系统的单位阶跃响应由式（3.17）可知，二阶系统的特征方程式为其特征方程的特征根为自动控制原理二阶系统时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析23自动控制原理二阶系统时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析24自动控制原理二阶系统时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析251、其拉氏反变换为:自动控制原理二阶系统时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析26图3.12二阶系统单位阶跃响应曲线自动控制原理二阶系统时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析272、其拉氏反变换为:对上式进行拉氏变换，得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为式（3.20）表明系统的瞬态响应是一条单调上升的指数曲线。自动控制原理二阶系统时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析283、自动控制原理二阶系统时域分析二阶系统欠阻尼时的动态分析

在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼，较快的响应速度和较短的调节时间。因此，二阶系统的设计，一般取2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析291、上升时间

当被控制量c(t)首次由零上升到其稳态值所需的时间，称上升时间tr。自动控制原理二阶系统时域分析2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析302、峰值时间瞬态响应第一次出现峰值的时间叫峰值时间,用tp表示简化上式，求得因为：自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析313、超调量Mp4、调整时间ts

阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值±Δ的误差范围(一般Δ为5%或2%),并从此不现超越这个范围的时间称为系统的调整时间,用ts表示之。二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析32求得：近似计算：5、稳态误差图3.14欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的一对包络线二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析33二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析34二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析35二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析36二阶系统时域分析自动控制原理4.二阶系统性能的改善在改善二阶系统性能的方法中，比例-微分控制和测速反馈控制是两种常用的方法。（1）比例-微分控制2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析37二阶系统时域分析图3.16采用比例-微分控制的系统自动控制原理图3.16所示系统的开环传递函数为则闭环传递函数为2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析38二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析39二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析40二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析41二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析42二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析43二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析44二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析45二阶系统时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析46二阶系统时域分析自动控制原理

在工程实际中，控制系统大多是三阶或三阶以上的高阶系统。所以，了解高阶系统时域响应的特征以及它和零、极点间的关系，将有助于对高阶系统的分析和综合。1.高阶系统的阶跃响应设

阶系统的闭环传递函数为2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析47高阶系统的时域分析自动控制原理设系统的输入信号为单位阶跃信号，则有将上式用部分分式展开得2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析48对上式取拉氏反变换，系统的阶跃响应为高阶系统的时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析49高阶系统的时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析50高阶系统的时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析51高阶系统的时域分析图3.19高阶系统的分析自动控制原理2.闭环主导极点在高阶系统中，把那些距离虚轴最近且附近又没有闭环零点的闭环极点称为主导极点。主导极点可以是实数极点，也可以是共轭复数极点，或者是它们的组合。在工程实际中，除主导极点外，如果其它极点的实部比主导极点的实部大3~4倍，或者它们附近有闭环零点存在，则这些闭环极点对系统动态响应的影响可以忽略不计。在控制工程中，主导极点往往被设置成一对共轭复数极点，以使系统具有较高的响应速度和适当的阻尼。3.闭环偶极子如果某对靠近的闭环极点和闭环零点之间的距离比起它们与其它零、极点之间的距离小一个数量级，则称该对闭环零、极点为闭环偶极子。不十分靠近坐标原点的偶极子对系统响应的影响很小。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析52高阶系统的时域分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析53高阶系统的时域分析自动控制原理1.稳定的概念设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若受到扰动作用（如：负载的变化、电网电压的波动等）时，系统输出偏离了原来的平衡状态，但扰动消失后，在经过足够长的时间会恢复原来的平衡状态，则称系统是稳定的（或称系统具有稳定性），如图3.20（a）所示。反之，当扰动消失后，偏离量随着时间的推移不断增大，系统不能回到原来的平衡状态，则称系统是不稳定的，如图3.20（b）所示。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析543.3线性系统稳定性分析

（a）

（b）图3.20稳定与不稳定系统的单位阶跃响应曲线自动控制原理2.系统稳定的充分必要条件基于上述，稳定反映了系统在扰动撤销后的自恢复能力。因此，可用系统的单位脉冲响应来描述这种特性。设系统的初始状态为零，在单位理想脉冲函数作用下，其输出响应为

。这相当于在扰动作用下，系统输出量偏离了原有平衡状态的情况。如果系统的单位脉冲响应是收敛的，即2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析55用部分分式展开，并对其拉氏反变换后得3.3线性系统稳定性分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析563.3线性系统稳定性分析自动控制原理系统的闭环极点与单位脉冲响应曲线如图3.21所示。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析572025/2/25系统稳定的充分必要条件系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部分布在s复平面虚轴的左侧。

左半平面线性系统稳定的充分必要条件代数稳定判据是一种利用特征方程的系数，运用代数运算来确定特征方程跟的位置，并判断系统的稳定性的方法。代数稳定判据有劳斯（Routh）稳定判据和古尔维茨（Hurwith）稳定判据两种。这里仅介绍劳斯（Routh）稳定判据。设系统特征方程为2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析59

3.3.2劳斯(Routh)稳定判据自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析60将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表劳斯(Routh)稳定判据自动控制原理用同样的方法，求取表中其余行的系数，一直到n+1行排完为止。劳斯稳定判据是根据劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在S平面上的位置。（1）特征方程式所有的根均在s平面的左半部分，即系统稳定的充要条件是：①特征方程式所有的系数都大于零（正值）；②劳斯表的第一列系数都为正（符号没有变化）。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析61劳斯(Routh)稳定判据自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析62劳斯(Routh)稳定判据自动控制原理1.确定闭环系统稳定时，其参数的取值范围

应用劳斯稳定判据不仅可以判别闭环系统的稳定性，还可以了解相关参数对系统稳定性的影响。2.确定系统的稳定裕量

所谓稳定裕量，就是系统距离稳定的边界（虚轴）有多远。检验系统是否具有

（稳定裕量），把

平面的虚轴向左移动

，并以

代入特征方程式，得到以

为变量的特征方程式。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析65

稳定判据的应用自动控制原理（1）用劳斯判据分析系统确定闭环系统稳定时其参数的取值范围例：求：系统稳定（2）确定系统的稳定裕量1）相对稳定：考虑一定的稳定裕量2）绝对稳定：不考虑一定的稳定裕量检验系统是否具有（稳定裕量），把s平面的虚轴向左移以代入特征方程式，得到以z为变量的特征方程式。例3.12：用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在垂直线的右方。1.稳态误差的定义当误差是由给定引起的，称为给定的稳态误差，用

表示；当误差是由扰动引起的，称为扰动的稳态误差，用

表示。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析683.4线性系统的稳态误差分析图3.23控制系统框图自动控制原理2.误差的计算由图3.23所示的系统框图可知，给定作用下的误差函数的拉氏变换式为如果系统稳定，且其稳态误差的终值存在，则该值可用拉氏变换的终值定理求得，即式（3.39）表明，系统的稳态误差不仅与其开环传递函数，即系统的结构和参数有关，还与其输入信号的形式和大小有关。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析693.4线性系统的稳态误差分析自动控制原理系统的类型设系统的开环传递函数的一般表达式为：典型输入信号作用下的稳态误差2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析703.4线性系统的稳态误差分析1、阶跃信号输入——静态位置误差系数自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析712、斜坡信号输入3.4线性系统的稳态误差分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析723.4线性系统的稳态误差分析图3.24系统跟踪斜坡输入的响应3、抛物线信号输入自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析733.4线性系统的稳态误差分析

图3.25系统跟踪抛物线输入的响应自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析743.4线性系统的稳态误差分析表3.2参考输入信号作用下的稳态误差自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析753.4线性系统的稳态误差分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析76扰动作用下的稳定误差3.4线性系统的稳态误差分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析773.4线性系统的稳态误差分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析783.4线性系统的稳态误差分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析793.4线性系统的稳态误差分析自动控制原理减小或消除稳态误差的措施提高系统稳态精度的方法主要有：（1）增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益；（2）在系统的前向通道或主反馈通道设置积分环节；（3）采用串级控制，以抑制内回路的扰动；（4）采用复合控制方法，如前馈控制与反馈控制相结合的系统。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析803.4线性系统的稳态误差分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析81提高系统稳态精度的方法1、对扰动进行补偿图3.29按扰动补偿的复合控制系统全补偿条件：3.4线性系统的稳态误差分析自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析822、对输入进行补偿图3.30按输入补偿的复合控制系统3.4线性系统的稳态误差分析自动控制原理本节简要介绍利用MTALAB软件进行控制系统瞬态响应分析的方法。MATLAB是MATrixLABoratory的缩写。它是一种基于矩阵数学与工程计算的软件，目前已成为控制领域最为流行的计算机辅助设计及教学工具软件。应用MATLAB软件进行绘图和分析，有两种方法可选：一种方法是在MATLAB命令窗口（MATLABCommandWindow）中输入相关指令，直接获取结果。这种方法输入的指令不能保存，在更改参数或功能时，需重新输入全部指令。另一种方法是在MATLAB环境下，将所有指令编辑为以m为后缀的文件（简称m文件），m文件可在MATLAB环境下编辑、保存和运行，使用起来较方便。2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析833.5MATLAB在时域分析与设计中的应用自动控制原理

控制系统的时域响应，主要包括单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡、单位抛物线响应以及对任意输入信号的响应。MATLAB控制系统工具箱提供了求解系统时域响应的若干函数。典型的反馈控制系统如图3.31所示，在特定输入信号下的输出响应为2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析84用MATLAB分析系统的时域响应图3-31反馈控制系统自动控制原理用MATLAB求系统的时域响应时，将式（3.50）中的传递函数的分子、分母多项式的系数按写为两个数组：2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析85用MATLAB分析系统的时域响应1.用MATLAB求控制系统的阶跃响应求系统单位阶跃响应的指令有：step(num,den)（1）

或step(num,den,t)（2）在MATLAB程序中，先定义num，den数组，并调用指令（1）或指令（2），即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。指令（1）中虽然没有时间t出现，但时间向量会自动地予以确定；指令（2）中的t是由用户确定的时间。响应曲线图中的x轴、y轴坐标是自动标注的。自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析86用MATLAB分析系统的时域响应自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析87用MATLAB分析系统的时域响应自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析88指令左端若含有变量时，即[y,x,t]=step(num,den,t)（3）若用该指令，显示屏就不产生系统的输出相应曲线。计算机根据用户给出的t，算得相应的y、x值。若要生成响应曲线，需调用指令plot，见MATLAB程序3-2。%MATLAB程序3-2num=[0016];den=[1416];t=0:0.1:10[y,x,t]=step(num,den,t)plot(t,y)gridonxlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’)title(‘unit-stepResponseofG(s)=16/(s^2+4s+16)’)用MATLAB分析系统的时域响应自动控制原理2.用MATLAB求系统的单位脉冲响应求系统单位脉冲响应的MATLAB功能指令为impulse(num,den)（4）

或impulse(num,den,t)（5）

或[y,x,t]=impulse(num,den,t)（6）2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析89用MATLAB分析系统的时域响应自动控制原理2025/2/25第三章线性控制系统的时域分析90用MATLAB分析系统的时域响应自动控制原理2025/2/25第三章线性