重庆市九龙坡区2024-2025学年高二上学期教学质量全面监测数学试题2

第1页/共1页2024—2025学年教育质量全面监测（中学）高二（上）数学试题（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分．）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知向量，，若，则的值为（）A. B.3 C. D.5【答案】B【解析】【分析】依据向量垂直的坐标运算计算即可.【详解】因为向量，，且，所以，即，解得：.故选：B2.已知直线：，：，若，则与之间的距离为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的判定列方程求参数，注意验证，再应用平行线的距离公式求距离.【详解】因为直线：，：，且，所以，可得，所以，，所以它们的距离为.故选：A.3.若抛物线（）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据焦点求得抛物线的准线方程.【详解】椭圆的焦点为，抛物线（）开口向左，焦点为，所以准线方程为.故选：D.4.设等差数列的前项和为，且，则（）A.240 B.180 C.120 D.60【答案】C【解析】【分析】由等差数列的基本量运算，找出和，再根据等差数列的前项和公式求解即可.【详解】记等差数列的公差为，由得，故.故选：C.5.已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接设Px,y，根据两点间距离公式代入运算整理即可得解．【详解】设Px,y，因为，则，整理得.故选：B．6.已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，第一象限的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为点，若，且点在直线上，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由抛物线：中的几何意义知，得到焦点，设，由题意得点、坐标，再根据点在直线上，由斜率公式求出，得到直线的斜率，进而得倾斜角.【详解】依题意，得，∴F0,1，设，则，∵，故，则，解得，∴，故直线的倾斜角为.故选：C.7.已知等比数列的前项和为，且，其中，若在与之间插入5个数，使这7个数组成公差为的等差数列，则（）A. B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】分析】利用关系可得，结合等比数列定义写出通项公式，进而得，，根据等差数列通项求公差.【详解】因为，当时，，两式相减，得，即，故公比为2，所以，而当时，得，所以等比数列的通项公式为，，所以，，所以所求的公差为．故选：D8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解即可.【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设，则切线，即，切线的斜率，直线的斜率，则，所以.故选：C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知点，，直线：，圆：.则下列说法正确的是（）A.若圆关于对称，则 B.若直线与直线垂直，则点在直线上C.直线与圆相交的最短弦长为 D.圆上有且仅有2个点到直线距离为【答案】BCD【解析】【分析】将圆心坐标代入直线方程判断A，利用垂直关系求出直线的方程，将点代入直线方程即可判断B，求出直线恒过点，当时，弦长最短，利用几何法求解弦长即可判断C，求得圆心到直线的距离即可判断D.【详解】圆：的圆心为，半径为2，若圆关于对称，则圆心在上，所以，解得，故A错误；由点，知，若直线与直线垂直，则，此时：，由知圆心在上，故B正确；由题意直线的方程可变形整理为，由解得，则无论为何值，直线过定点，又因为，所以定点在圆的内部，则直线与圆恒相交，当截得的弦长最短时，，此时弦长为，故C正确；由点及得直线方程，即，因为圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有2个点到直线距离为，故D正确.故选：BCD10.设数列的前项和为，已知，（），则下列结论正确的是（）A. B.为等比数列C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由题设得，是首项为3，公比为3的等比数列，即可判断A、B、C选项；应用错位相减法、等比数列前项和，可判断D选项.【详解】由（），得，又，则，所以是以3为首项、3为公比的等比数列，故B选项正确；所以，则，可得，故A选项正确，C选项错误；由，则两式相减，得，所以，，故D选项正确.故选：ABD.11.已知过抛物线：的焦点为，为抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，为圆：上的动点，则下列结论正确的是（）A.的最小值为4 B.的最小值为C.的最小值为 D.存在两个点，使得【答案】ACD【解析】【分析】直线的方程可设为，与抛物线方程联立可得，，，结合二次函数，利用焦半径求解判断A；转化为，根据点与圆的位置关系及三点共线最短求解可判断B；根据及，进而由基本不等式求的最小值判断C；根据可得，求出线段的中垂线，利用判别式法判断该直线与抛物线的位置关系，即可判断D.【详解】依题意可设，直线的方程为，与抛物线方程联立可得，因为，所以，，所以，则，当时，有最小值4，故A正确；根据可得，可确定的最小值为，故B错误；由题意得，由于，故，，因为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故C正确；若，根据可得，则点A在线段的中垂线上，因为，所以的中点为，，所以线段的中垂线为，即，联立，得，其判别式，所以线段的中垂线与抛物线有两个交点，故存在两个点，使得，故D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上．12.点到直线的距离为______．【答案】【解析】【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】由点到直线的距离公式得，所以点到直线的距离为.故答案为：13.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角余弦值为___________.【答案】##【解析】【分析】根据直三棱柱及条件，建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线线角即得.【详解】在直三棱柱中，.如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由，，得，，因此，由异面直线与所成角范围为，所以异面直线与所成角的余弦值是.故答案为：.14.已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．【答案】##【解析】【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设等差数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列前项的和，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意设出等差数列的公差，化简题目中的等式，可得答案；（2）利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】由题意设等差数列的公差为，由题意，解得，所以.【小问2详解】，所以数列的前50项和，所以.16.已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程.【答案】（1）（2），其中或【解析】【分析】（1）根据实轴长得，利用点到直线的距离结合求解即可；（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，，联立直线l与双曲线的方程，消去y，得，且，得且，由韦达定理，得，从而得，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得解.【小问1详解】双曲线的实轴长为，由已知，，则，因为双曲线：（，）的一条渐近线为，点到双曲线的渐近线的距离为，所以，所以，所以，所以双曲线的方程是；【小问2详解】易知直线的斜率存在设为，设Ax1,y1、B联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韦达定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，点M的轨迹方程为，其中或．17.如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由公式求平面与平面夹角的余弦值，最后利用同角三角函数基本关系求解即可．小问1详解】已知底面，且底面，所以，因为，，所以，又，可得为等边三角形，又为的中点，所以，又，所以，又，，平面，所以平面.【小问2详解】在中，，，所以，由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，，则，因为底面，且底面，所以，由，可得，又，，平面，所以平面，可知是平面的一个法向量，又，，设平面的一个法向量为，则，得，即，令，得，设平面与平面的夹角为，，所以，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为．18.已知数列满足，，的前项和为．等差数列满足，，且前项和为．（1）求数列和通项公式；（2）若对，有恒成立，求实数的最小值；（3）设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前项和．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）先利用数列通项与前项和的关系求出，然后得到为等差数列，求得，再求得、，计算数列的通项公式即可；（2）由参变量分离法可得出，令，分析数列的单调性，求出该数列的最大值，由此可求得实数的取值范围；（3）先求出区间的端点值，然后明确的项为奇数，得到中奇数的个数，得到通项公式，然后求和即可.【小问1详解】由题可知，当时，；当时，得，因为，两式相减得，经检验，当时，，则，，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，，等差数列的公差.所以.【小问2详解】由（1）可得，对，有恒成立，即，即，令，则，当且时，，即，可得；当且时，，即，可得，所以，数列中的最大项为，则，因此，实数的取值范围是.【小问3详解】由（1）可知，，，因，所以为奇数，故为区间的奇数个数，显然，为偶数，所以，所以.19.设，分别为椭圆：（）的左，右焦点，且，点在椭圆上，直线与椭圆相交于，两点（，不与椭圆的顶点重合）．（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率存在，且以为直径的圆经过原点，求证：直线与圆：相切；（3）若直线过点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据焦距得，将点代入椭圆方程结合求解即可；（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据，得，代入化简可得，根据点到直线距离公式即可求证；（3）联立直线与椭圆方程得到韦达定理，根据三点共线可得，即，化简可得为定点，即可利用三角形面积关系得表达式，结合基本不等式求解最值.【小问1详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为.由已知，，即，因为点在椭圆上，所以，又，所以，，所以，解得（负根舍去），所以，所以的标准方程是；【小问2详解】当直线有斜率时，设直线的方程为，以AB为直径的圆经过原点，即，设，所以，联立方程，得，即，，化简得，设到直线距离为，则，所以直线与圆相切.【小问3详解】设直线的方程为，代入椭圆方程，得，即.设点，则