2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题06函数的概念及其表示(原卷版+解析)

专题06函数的概念及其表示（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 3【考点1】函数的概念 3【考点2】求函数的定义域 4【考点3】求函数的解析式 5【考点4】分段函数 6【分层检测】 8【基础篇】 8【能力篇】 9【培优篇】 10考试要求：1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.知识梳理知识梳理1.函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几个特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tanx的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).真题自测真题自测一、填空题1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则．2．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是．3．（2022·浙江·高考真题）已知函数则；若当时，，则的最大值是．4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．5．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则.考点突破考点突破【考点1】函数的概念一、单选题1．（2023·山东潍坊·一模）存在函数满足：对任意都有（

）A． B． C． D．2．（2022·山东济南·二模）已知函数若，则m的值为（

）A． B．2 C．9 D．2或9二、多选题3．（21-22高一·全国·单元测试）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·陕西西安·期末）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（）A．

B．

C．

D．三、填空题5．（2023·上海青浦·二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为.6．（2023·辽宁大连·一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求.反思提升：（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同【考点2】求函数的定义域一、单选题1．（2023·湖北·三模）函数的定义域是（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·河南·模拟预测）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（

）A．函数在R上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在上单调递减D．函数在上单调递减4．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心三、填空题5．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是.6．（2023·山东枣庄·模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是．反思提升：1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.【考点3】求函数的解析式一、单选题1．（2023·河南郑州·二模）若函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．2．（2022·河北保定·二模）若函数，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·全国·一模）设a为常数，，则（

）．A．B．成立C．D．满足条件的不止一个4．（2023·江西·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则.6．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为．反思提升：函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【考点4】分段函数一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．-6 B．0 C．4 D．62．（2023·山西·模拟预测）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多选题3．（2021·重庆沙坪坝·模拟预测）已知是定义在上的函数，则（

）A．若为增函数，则的取值范围为B．若为增函数，则的取值范围为C．若为减函数，则的取值范围为D．若为减函数，则的取值范围为4．（21-22高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数，则不等式的解集为.6．（2022·全国·模拟预测）已知，若存在，使得，则的取值范围为.反思提升：1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数满足，，则下列说法正确的是（

）．A． B．C． D．2．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数满足，则（

）A．的最小值为2 B．C．的最大值为2 D．二、多选题5．（2023·云南昆明·模拟预测）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（

）A． B．C． D．6．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在上为增函数B．C．若在上单调递增，则或D．当时，的值域为7．（2024·广东·模拟预测）给定数集，，满足方程，下列对应关系为函数的是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空题8．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是.9．（2022·山东济南·二模）已知函数，则．10．（2021·广东·模拟预测）若a＞0且a≠1，且函数在R上单调递增，那么a的取值范围是．四、解答题11．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程．（2）时，若，求的定义域，并分析其单调性．12．（2020·山东·高考真题）已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.【能力篇】一、单选题1．（2023·全国·三模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题2．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为B．在上的值域为C．若在上单调递减，则D．若，则在定义域上单调递增三、填空题3．（2022·上海浦东新·模拟预测）函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为．四、解答题4．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若且满足，记是的最大值，证明：.【培优篇】一、单选题1．（22-23高三上·山东潍坊·期末）已知定义在上的函数满足，对，，有，则（

）A． B． C． D．2．（2021·浙江·二模）已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（

）A．2 B．5 C． D．33．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，则的解集是（

）A． B．C． D．专题06函数的概念及其表示（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 5【考点1】函数的概念 5【考点2】求函数的定义域 9【考点3】求函数的解析式 12【考点4】分段函数 16【分层检测】 20【基础篇】 20【能力篇】 25【培优篇】 29考试要求：1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.知识梳理知识梳理1.函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几个特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tanx的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).真题自测真题自测一、填空题1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则．2．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是．3．（2022·浙江·高考真题）已知函数则；若当时，，则的最大值是．4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．5．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则.参考答案：1．1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数，所以.故答案为：12．【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：3．/【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.【详解】由已知，，所以，当时，由可得，所以，当时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为.故答案为：，.4．0（答案不唯一）1【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，

解得.【详解】解：若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），15．2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.考点突破考点突破【考点1】函数的概念一、单选题1．（2023·山东潍坊·一模）存在函数满足：对任意都有（

）A． B． C． D．2．（2022·山东济南·二模）已知函数若，则m的值为（

）A． B．2 C．9 D．2或9二、多选题3．（21-22高一·全国·单元测试）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·陕西西安·期末）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（）A．

B．

C．

D．三、填空题5．（2023·上海青浦·二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为.6．（2023·辽宁大连·一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求.参考答案：1．D【分析】根据函数的定义一一判断各选项中函数是否符合，即可判断出答案.【详解】对于A，当时，；当时，，不符合函数定义，A错误；对于B,令，则，令，则，不符合函数定义，B错误；对于C,令，则，令，则，不符合函数定义，C错误；对于D,,,则，则存在时，，符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确，故选：D2．C【分析】由题可得或，即求.【详解】∵函数，，∴或，解得.故选：C.3．ACD【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：的定义域为．对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．故选：ACD．4．BD【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断．【详解】对于A：由图象可知定义域不是，不满足；对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足；对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足；对于D：由函数定义可知D满足．故选：BD．5．【分析】题中函数为圆的一段劣弧，在旋转过程中，只需根据函数的定义考虑一个只有唯一确定的与之对应，即图形与只有一个交点时旋转的角度符合题意.【详解】画出函数的图象，如图1所示：圆弧所在的圆方程为，，，在图象绕原点旋转的过程中，当从图1的位置旋转到点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：此时绕着原点旋转弧度为；若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点在轴上方，点在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：此时转过的角度为，不满足题意；若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：此时转过的角度为；故答案为：.6．【分析】利用函数值的定义及函数的求导法则，结合导数值的定义即可求解.【详解】由题意可知，令，则，解得，由，得，即，令，得，即，解得.故答案为：.反思提升：（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同【考点2】求函数的定义域一、单选题1．（2023·湖北·三模）函数的定义域是（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·河南·模拟预测）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（

）A．函数在R上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在上单调递减D．函数在上单调递减4．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心三、填空题5．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是.6．（2023·山东枣庄·模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是．参考答案：1．D【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可.【详解】由，得，解得，所以函数的定义域为.故选：D．2．C【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，则，可得，所以，函数的定义域为，对于函数，则有，解得，因此，函数的定义域为.故选：C.3．AB【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故C错误；因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.故选：AB.4．AD【分析】由，可知由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，根据的性质得到的性质，即可判断；【详解】解：由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，因为关于对称，所以关于对称，故D正确；函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；函数在和上单调递减，故C错误；故选：AD5．【分析】根据抽象函数定义域求法和分式、根式有意义的要求可构造方程组求得结果.【详解】由题意知：，解得：，的定义域为.故答案为：.6．【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性求解即可.【详解】函数是定义在上的减函数，且，∴，解得．故答案为：反思提升：1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.【考点3】求函数的解析式一、单选题1．（2023·河南郑州·二模）若函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．2．（2022·河北保定·二模）若函数，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·全国·一模）设a为常数，，则（

）．A．B．成立C．D．满足条件的不止一个4．（2023·江西·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则.6．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为．参考答案：1．A【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.【详解】由图象知，的两根为2，4，且过点，所以，解得，所以，所以，故选：A2．D【分析】先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值【详解】因为，所以.从而，当时，取得最小值，且最小值为.故选：D3．ABC【分析】对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可.【详解】对A：对原式令，则，即，故A正确；对B：对原式令，则，故，对原式令，则，故非负；对原式令，则，解得，又非负，故可得，故B正确；对C：由B分析可得：，故C正确；对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，处理问题的关键是对已知条件合理的赋值，属中档题.4．CD【分析】由为奇函数与为偶函数，得到函数的对称性与周期性，先由特值待定，再根据性质求值即可，CD选项结合周期特点进行数列求和，使用并项求和法.【详解】由为奇函数，得关于对称，且满足；由为偶函数，得关于直线对称，且满足.故，所以是周期函数，且周期.对选项A，由，令，解得，故A错误；对选项B，已知当时，，则，故当时，.则，故B错误；对选项C，，，，，且周期.则，故C正确．对选项D，，故D正确．故选：CD．5．6【分析】用方程组法求得，代入求值即可解答.【详解】因为，所以，解得，所以.故选：66．【分析】先利用方程组思想结合诱导公式求出或，再利用换元法即可得解，注意函数的定义域.【详解】由，①得，即，②得：，所以，令，则，所以.故答案为：.反思提升：函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【考点4】分段函数一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．-6 B．0 C．4 D．62．（2023·山西·模拟预测）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多选题3．（2021·重庆沙坪坝·模拟预测）已知是定义在上的函数，则（

）A．若为增函数，则的取值范围为B．若为增函数，则的取值范围为C．若为减函数，则的取值范围为D．若为减函数，则的取值范围为4．（21-22高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数，则不等式的解集为.6．（2022·全国·模拟预测）已知，若存在，使得，则的取值范围为.参考答案：1．A【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值.【详解】由分段函数知：当时，周期，所以，所以．故选：A2．C【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解.【详解】由题意可知所以，，，而无解.故选：C.3．BD【分析】根据分段函数单调增和单调减的条件分别列出不等式组，即可求得相应的实数a的取值范围.【详解】解：此函数为增函数的条件是：，解得,此函数为减函数的条件是：，解得,故选：BD.【点睛】本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数，分式函数的单调性，属基础题，分段函数单调增(减),需要各段上单调增(减),而且衔接点处是非减(增)的.4．BD【分析】由分段函数解析式判断函数性质并画出函数图象，讨论参数判断不同a对应值域的的范围，结合函数图象判断解的情况，即可确定有个零点时的范围.【详解】在上单调递增且值域为；在上单调递减且值域为；在上单调递增且值域为；故的图象如下：由题设，有个零点，即有7个不同解，当时有，即，此时有1个零点；当时有，即，∴有1个零点，有3个零点，此时共有4个零点；当时有或或，∴有1个零点，有3个零点，有3个零点，此时共有7个零点；当时有或或，∴有1个零点，有3个零点，有2个零点，此时共有6个零点；当时有或，∴有3个零点，有2个零点，此时共有5个零点；综上，要使有7个零点时，则，()故选：BD【点睛】关键点点睛：由解析式确定分段函数的性质并画出草图，进而讨论参数确定对应的取值范围，结合函数图象判断零点情况.5．【分析】分和两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.【详解】因为，则有：当时，可得，解得；当时，可得，则，解得；综上所述：不等式的解集为.故答案为：.6．【分析】先讨论、与1的大小关系确定、，进而确定的取值范围，再结合函数的单调性进行求解.【详解】①当时，则，，又由，得，所以，则；②当时，因为，，所以不存在，使得；③当时，则，，又由，得，则，，令，则在上单调递增，所以，则；综上所述，的取值范围为.故答案为：.反思提升：1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数满足，，则下列说法正确的是（

）．A． B．C． D．2．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数满足，则（

）A．的最小值为2 B．C．的最大值为2 D．二、多选题5．（2023·云南昆明·模拟预测）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（

）A． B．C． D．6．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在上为增函数B．C．若在上单调递增，则或D．当时，的值域为7．（2024·广东·模拟预测）给定数集，，满足方程，下列对应关系为函数的是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空题8．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是.9．（2022·山东济南·二模）已知函数，则．10．（2021·广东·模拟预测）若a＞0且a≠1，且函数在R上单调递增，那么a的取值范围是．四、解答题11．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程．（2）时，若，求的定义域，并分析其单调性．12．（2020·山东·高考真题）已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.参考答案：1．D【分析】用换元法求出，再用代入法即可解出答案．【详解】设，则，∴，．由，有，即，∴．故选：D2．C【分析】由题可知解即可得答案.【详解】解：因为函数的定义域为，所以，，即，解得，所以，函数的定义域为故选：C3．A【分析】先求的定义域，再利用复合函数求的定义域.【详解】由题意得，，解得函数满足，解得，即函数的定义域为.故选:A4．B【分析】首先根据题意得到，再结合二次函数的性质依次判断选项即可.【详解】因为，，所以.所以，所以的最小值，无最大值，为故A，C错误.对选项B，，因为，所以，即，故B正确.对选项D，，因为，所以，即，故D错误.故选：B5．AC【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得，由此依次判断各个选项即可.【详解】由得：，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，；由得：，；对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于CD，，C正确，D错误.故选：AC.6．BC【分析】结合分段函数的单调性对选项逐一辨析即可.【详解】易知在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，，，B正确；若在(a，a＋1)上单调递增，则或，即或，故C正确；当时，，当时，，故时，的值域为，故D错误.故选：BC.7．ABD【分析】根据给定条件，利用函数的定义，结合指数函数、对数函数的性质逐项判断即得.【详解】对于A，，，均有唯一确定，符合函数定义，A正确；对于B，，，均有唯一确定，符合函数定义，B正确；对于C，，取，，不符合函数定义，C错误；对于D，，，均有唯一确定，符合函数定义，D正确.故选：ABD8．【分析】先求出的定义域得到集合A，再根据子集的定义即可求得a的取值范围.【详解】，则或，即或.①当时，，满足，符合题意；②当时，，所以若，则有或（舍），解得；③当时，，所以若，则有或（舍），解得.综上所述，.故答案为：9．【分析】代入函数解析式计算即可.【详解】解：因为，所以，.故答案为：.10．【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可．【详解】且，函数在上单调递增，可得：，解得，故答案为：.11．（1）；（2）定义域为，单调性见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义，可得切线斜率为，再由根据点斜式即可得解；（2）由可得，再通过导数研究函数单调性即可.【详解】（1）当时，，所以

又，所以曲线在处的切线方程为．（2）当时，，∴函数的定义域为，∴，当时，，当时，，，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.12．（1）；（2）.【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，则，因为，所以，即，解得.【能力篇】一、单选题1．（2023·全国·三模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题2．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为B．在上的值域为C．若在上单调递减，则D．若，则在定义域上单调递增三、填空题3．（2022·上海浦东新·模拟预测）函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为．四、解答题4．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若且满足，记是的最大值，