2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题24三角函数的图象与性质(原卷版+解析)

专题24三角函数的图象与性质（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 5【考点1】三角函数的定义域和值域 5【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性 7【考点3】三角函数的单调性 8【分层检测】 10【基础篇】 10【能力篇】 12【培优篇】 13考试要求：1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.知识梳理知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3二、多选题6．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线三、填空题7．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．8．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

9．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．10．（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为．考点突破考点突破【考点1】三角函数的定义域和值域一、单选题1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·北京朝阳·期末）函数是（

）A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为二、多选题3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．关于直线对称C．关于点中心对称 D．的最小值为4．（2024·贵州贵阳·二模）函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．在上的值域为C．函数的图象关于直线对称D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是三、填空题5．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为．6．（2021·河南郑州·二模）在△中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是．反思提升：1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性一、单选题1．（2024·重庆·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·北京西城·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．的对称轴为B．的最小正周期为C．的最大值为1，最小值为D．在上单调递减，在上单调递增5．（2024·辽宁·二模）已知函数满足0，且在上单调递减，则（

）A．函数的图象关于点对称 B．可以等于C．可以等于5 D．可以等于36．（23-24高三上·山西运城·期末）已知函数，则（

）A．的一个周期为2 B．的定义域是C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是．8．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数.9．（2023·四川达州·一模）函数，且，则的值为.反思提升：(1)三角函数周期的一般求法①公式法；②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或令ωx＋φ＝\f(π,2)＋kπ（k∈Z）))，求x即可.(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可.(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z).【考点3】三角函数的单调性一、单选题1．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·湖北武汉·三模）已知函数的零点为，则（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南长沙·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．B．的图象过点C．函数的图象关于直线对称D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是三、填空题5．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，（，，）的大致图象如图所示，将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为.6．（2022·上海闵行·模拟预测）已知，若，则的取值范围是.反思提升：1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·福建·模拟预测）若函数在上有零点，则整数A的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（22-23高一下·湖北武汉·期中）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2024·云南·模拟预测）已知函数，如图，图象经过点，，则（

）A．B．C．是函数的一条对称轴D．函数在区间上单调递增6．（2023·辽宁·模拟预测）已知定义域为的偶函数，使，则下列函数中符合上述条件的是（

）A． B． C． D．7．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数，下列说法中正确的有（

）A．是奇函数 B．在区间上单调递增C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为三、填空题8．（2022·江西·模拟预测）将函数的图像向左平移（）个单位长度，得到函数g(x)的图像，若，则的最小值是．9．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数在单调递增，在单调递减，则实数的取值范围是．10．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数为偶函数，且当时，，则的值可能为.四、解答题11．（2022·北京门头沟·一模）已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数的图象经过点；条件②：是的对称中心；条件③：是的对称中心.(2)根据（1）中确定的，求函数的值域．12．（2021·浙江·模拟预测）已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间．（2）若对任意的，方程（其中）始终有两个不同的根，．①求实数的值；②求的值．【能力篇】一、单选题1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（

）

A． B． C． D．二、多选题2．（2024·云南·模拟预测）已知函数的图象关于点成中心对称，则（

）A．在区间上单调递减B．在区间上有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线三、填空题3．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则；的取值范围是．四、解答题4．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．(1)求，的值；(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．【培优篇】一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（

）A．是周期为的偶函数B．函数的图象有无数条对称轴C．函数的最大值为，最小值为，则D．若，则函数在区间内有8个零点二、多选题2．（2022·全国·模拟预测）已知圆锥PO的轴截面PAB是等腰直角三角形，，M是圆锥侧面上一点，若点M到圆锥底面的距离为1，则（

）A．点M的轨迹是半径为1的圆 B．存在点M，使得C．三棱锥体积的最大值为 D．的最小值为三、填空题3．（2023·福建厦门·模拟预测）函数，当时，的零点个数为；若恰有4个零点，则的取值范围是.专题24三角函数的图象与性质（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 10【考点1】三角函数的定义域和值域 10【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性 15【考点3】三角函数的单调性 22【分层检测】 27【基础篇】 27【能力篇】 34【培优篇】 38考试要求：1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.知识梳理知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3二、多选题6．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线三、填空题7．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．8．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

9．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．10．（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为．参考答案：1．C【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.2．D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.3．C【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．4．A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.5．A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A6．AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．7．【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：.8．【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．9．【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：10．2【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.考点突破考点突破【考点1】三角函数的定义域和值域一、单选题1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·北京朝阳·期末）函数是（

）A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为二、多选题3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．关于直线对称C．关于点中心对称 D．的最小值为4．（2024·贵州贵阳·二模）函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．在上的值域为C．函数的图象关于直线对称D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是三、填空题5．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为．6．（2021·河南郑州·二模）在△中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是．参考答案：1．A【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间.【详解】令，可得．当时，函数单调递增．所以当时，单调递增．故在上单调递增．故选：A.2．D【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A、B不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解.【详解】由函数，可得其定义域，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，因为，所以为的一个周期，不妨设，若时，可得，因为，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得；若，可得，因为，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得，综上可得，函数的最大值为，最小值为.故选：D.3．ABD【分析】将函数可变形为，结合函数性质逐项分析计算即可得.【详解】，由的最小正周期为，故的最小正周期为，故A正确；，且，故关于直线，不关于点对称，故B正确，C错误；由，且，故，故D正确.故选：ABD.4．CD【分析】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得的值，再根据函数特殊点求得的值，从而可得解析式，再由正切型三角函数的性质逐项判断即可.【详解】函数的最小正周期为，则有，即，由函数的图象可知：，即，由图象可知：，所以，因此不正确；关于，当时，，故在处无定义，故B错误.因为，所以，所以函数的图象关于直线对称，C正确；，当时，，当时，，当函数在区间上不单调时，则有，故D正确.故选：CD．5．【分析】根据锐角三角函数可得，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值.【详解】设，则，故，故，当时，，即时，此时取最小值.故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于的表达式，从而得解，6．【分析】由正弦定理可得，根据目标式结合正弦定理的边角互化，易得且、，可知存在最大值即，进而可求的范围.【详解】∵，，由正弦定理得：，∴，其中，又，∴存在最大值，即有解，即，∴，解得，又，解得，故的范围是．故答案为：．【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角关系、辅助角公式，结合三角形内角和、三角函数的性质列不等式组求参数范围.反思提升：1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性一、单选题1．（2024·重庆·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·北京西城·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．的对称轴为B．的最小正周期为C．的最大值为1，最小值为D．在上单调递减，在上单调递增5．（2024·辽宁·二模）已知函数满足0，且在上单调递减，则（

）A．函数的图象关于点对称 B．可以等于C．可以等于5 D．可以等于36．（23-24高三上·山西运城·期末）已知函数，则（

）A．的一个周期为2 B．的定义域是C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是．8．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数.9．（2023·四川达州·一模）函数，且，则的值为.参考答案：1．B【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得，解方程即可得出答案.【详解】因为向右平移个单位后解析式为，又图象关于原点对称，时，，故选：B.2．B【分析】根据给定周期求得，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.【详解】由函数的最小正周期为，得，而，解得，则，由，得，又在上单调递减，因此，且，解得①，由余弦函数的零点，得，即，而在上存在零点，则，于是②，又，联立①②解得，所以的取值范围是.故选：B3．D【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数的解析式.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数为，则函数的图象再关于轴对称得函数.故选：D.4．AD【分析】作出函数的图象，对于A，验算是否成立即可；对于B，由即可判断；对于CD，借助函数单调性，只需求出函数在上的最大值和最小值验算即可判断CD.【详解】作出函数的图象如图中实线所示．对于，由图可知，函数的图象关于直线对称，对任意的，，所以函数的对称轴为，A正确；对于，对任意的，结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误；对于C，由选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为，要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，因为，所以，因此的最大值为，最小值为-1，故C错误；对于，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，正确，故选：AD．【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是求出函数在上的最大值和最小值即可，由此即可顺利得解.5．ABD【分析】根据题意，可得函数的图象关于对称，关于点对称，由三角函数的对称性性质可得，从而判断选项A、B；再根据函数的单调性，可求出的值，从而判定选项C、D.【详解】由，则，所以函数的图象关于对称，又，且，则，即函数的图象关于点对称，故A正确；根据函数的图象关于对称，得，根据函数的图象关于点对称，，可得，，由于，所以，故B正确；当时，由，得，根据函数在上单调递减，可得，即，又，所以，又，所以，当时，由，得，根据函数在上单调递减，可得，即，又，所以，故C错误，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据函数的图象关于对称，得，根据函数的图象关于点对称，，从而.6．ACD【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A，由可知其最小正周期，故A正确；对于B，由可知，故B错误；对于C，由可知，此时的图象关于点对称，故C正确；对于D，由可知，又在上递增，显然，故D正确.故选：ACD7．【分析】运用正余弦二倍角公式及辅助角公式化简，由已知条件结合正弦函数性质可得结果.【详解】因为，因为的图象在上有且仅有两条对称轴，所以，解得，所以的取值范围是．故答案为：.8．【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解.【详解】定义域为，，所以，故，故答案为：9．0【分析】构造，得到为奇函数，从而根据得到，由求出.【详解】令，定义域为或且，关于原点对称，则，故为奇函数，又，故，解得.故答案为：0反思提升：(1)三角函数周期的一般求法①公式法；②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或令ωx＋φ＝\f(π,2)＋kπ（k∈Z）))，求x即可.(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可.(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z).【考点3】三角函数的单调性一、单选题1．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·湖北武汉·三模）已知函数的零点为，则（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南长沙·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．B．的图象过点C．函数的图象关于直线对称D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是三、填空题5．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，（，，）的大致图象如图所示，将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为.6．（2022·上海闵行·模拟预测）已知，若，则的取值范围是.参考答案：1．C【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.【详解】当时，，所以在上单调递增；又有为上的偶函数，所以在上单调递减.由于我们有，即，故.而，，，故.故选：C.2．A【分析】令，易得的对称轴为，则，进而可得出答案.【详解】令，由题意可得，则，又因为，所以，函数的对称轴为，则，即，即，结合，解得.故选：A.3．ABD【分析】对AB，求导分析可得为增函数，再根据零点存在性定理可判断；对C，根据AB得出的结合正切函数的单调性可判断；对D，构造函数，再根据零点存在性定理，放缩判断的正负判断即可【详解】对AB，由题，故为增函数.又，，故，故AB正确；对C，因为，所以，但，故C错误；对D，构造函数，则，故为增函数.故，因为，故，故，即，故，故，D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数零点的问题，一般需要用零点存在性定理判断零点所在的区间，同时在判断区间端点正负时，需要适当放缩，根据能够确定取值大小的三角函数值进行判断，属于难题4．BCD【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.【详解】对于A：设该函数的最小正周期为，则有，即，由函数的图象可知：，又，所以，即，由图象可知：，所以，因此A不正确；对于B：，所以B正确；对于C：因为，，所以，所以函数的图象关于直线对称，因此C正确；对于D：当时，，当，，当函数在区间上不单调时，则有，D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.5．（答案不唯一）【分析】先根据的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出的解析式，再根据函数图象的伸缩变换和平移变换得到的解析式，后可求的单调递增区间.【详解】由图可知，得，所以，，，所以，由图，得，，又，所以，故，由题意，令，，得，故函数的单调递增区间为，，当时，函数的一个单调递增区间为，故答案为：（答案不唯一）6．【分析】根据角的范围分区间讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的三角不等式，求解即可.【详解】由题，当时，原不等式可化为，解得，当时，由原不等式可得，解得，综上.故答案为：反思提升：1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·福建·模拟预测）若函数在上有零点，则整数A的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（22-23高一下·湖北武汉·期中）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2024·云南·模拟预测）已知函数，如图，图象经过点，，则（

）A．B．C．是函数的一条对称轴D．函数在区间上单调递增6．（2023·辽宁·模拟预测）已知定义域为的偶函数，使，则下列函数中符合上述条件的是（

）A． B． C． D．7．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数，下列说法中正确的有（

）A．是奇函数 B．在区间上单调递增C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为三、填空题8．（2022·江西·模拟预测）将函数的图像向左平移（）个单位长度，得到函数g(x)的图像，若，则的最小值是．9．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数在单调递增，在单调递减，则实数的取值范围是．10．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数为偶函数，且当时，，则的值可能为.四、解答题11．（2022·北京门头沟·一模）已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数的图象经过点；条件②：是的对称中心；条件③：是的对称中心.(2)根据（1）中确定的，求函数的值域．12．（2021·浙江·模拟预测）已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间．（2）若对任意的，方程（其中）始终有两个不同的根，．①求实数的值；②求的值．参考答案：1．C【分析】将函数的零点问题转化为与在上的交点问题，求出的值域即可.【详解】由于函数在上有零点，所以方程在上有实数根，即与在上有交点，令，则，当，单调递减，故在区间上最多只有1个零点，又，即，解得，由于A是整数，所以.故选：C.2．B【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.【详解】由题意可知：为函数的对称轴，则，则，对于选项A：令，解得，不合题意；对于选项B：令，解得，符合题意；对于选项C：令，解得，不合题意；对于选项D：令，解得，不合题意；故选：B.3．A【分析】若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.【详解】若函数的图象关于对称，则，解得，因为是的真子集，所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】利用辅助角公式化简得到，再求出，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.【详解】，因为，，所以，因为区间上恰有唯一对称轴，故，解得.故选：D5．AD【分析】由得周期，进而得；将点代入可得的值；由来可判断不是对称轴；由正弦函数的单调性可求的单调递增区间.【详解】由及过，得，即，所以，又，解得，故A正确；又点代入，得，所以，又，于是，故B不正确；由，则，故C不正确；由，得于是的单调递增区间为，令可知D正确.故选：AD.6．AC【分析】利用奇偶性的定义容易判断四个选项均是偶函数，对于A和C选项，举例可知，，使，对于B和D选项，易知恒成立．【详解】对于A，，定义域为，所以为偶函数，又，故A正确；对于B，恒成立，故B错误；对于C，，定义域为，，所以为偶函数，又，故C正确；对于D，因为，所以恒成立，故D错误．故选：AC．7．BCD【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】A中，由正切函数的性质，可得为非奇非偶函数，所以A错误；B中，令，可得，即为函数的单调递增区间，令，可得，所以B正确；C中，令，可得，令，可得，故为其图象的一个对称中心，所以C正确；D中，函数的最小正周期为，所以D正确.故选：BCD.8．【分析】根据题意得，又，即，所以，再分析求解即可.【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，又，所以，所以．又，故可解得，当时，得．故答案为：.9．或【分析】由余弦型函数性质及最小正周期的公式计算即可得出结果.【详解】∵函数在单调递增，在单调递减，设则函数的最小正周期的为，则，即.解得：或.故答案为：或10．3（形式的数均可）【分析】由题意可得为奇函数，且当当时，，进而可求出结果.【详解】因为为奇函数，且当时，，所有为奇函数，且当当时，，则可以为，故答案为：3（形式的数均可）.11．(1)(2)【分析】（1）根据题意得到和，再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；（2）先求出所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.【详解】（1）因为在区间上单调，所以，因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，所以；若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，因为，所以，所以，即，当时，，满足题意，故.若选条件②：因为是的对称中心，所以，所以，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.若条件③：因为是的对称中心，所以，所以，解得，所以.（2）由（1）知，，所以等价于，，所以，所以，即函数的值域为：.12．（1）；（2）①，②或．【分析】（1）利用相关公式将函数化简为的形式，再利用三角函数的性质处理即可．（2）①结合正弦函数的图象分析即可得解；②结合正弦函数图象的对称性求解即可．【详解】（1），则的最小正周期为,令，则，因此函数的单调递减区间为，（）．（2）①当时，，则，得．②根据三角函数图象的对称性，可得或，解得或．【能力篇】一、单选题1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（

）

A． B． C． D．二、多选题2．（2024·云南·模拟预测）已知函数的图象关于点成中心对称，则（

）A．在区间上单调递减B．在区间上有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线三、填空题3．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则；的取值范围是．四、解答题4．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．(1)求，的值；(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．参考答案：1．C【分析】由的图象，棱台三角函数的性质求得，进而得到，结合正弦型函数的性质，即可求解.【详解】由函数的图象，可得，解得，所以，所以，又由，即，可得，即，因为，所以，所以，所以，令，解得，所以函数的单调增区间是.故选：C.2．ABD【