2025年中考数学总复习《圆的专题-垂径定理的应用》专项检测卷(附答案)

第第页2025年中考数学总复习《圆的专题-垂径定理的应用》专项检测卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．（本题满分10分）已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB∥CD．（1）求证：AC=BD；（2）如果弦AB长为8，它与劣弧AB组成的弓形高为2，求CD的长．••BACDO第1题图2．（本题满分10分）如图，⊙和⊙相交于点、，联结、、，已知，，．（1）求⊙的半径长；（2）试判断以为直径的⊙是否经过点，并说明理由．（第（第2题图）AB3.（本题满分10分，每小题满分各5分）如图，AB是⊙O的直径，AB与CD相交于点E，弦AD与弦CD相等，且＝．（1）求∠ADC的度数；（2）如果OE＝1，求AD的长．第第3题图4.（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图6，在△中，，，圆经过两点，圆心在线段上，点在圆内，且．求圆的半径长；图4求的长．图45．（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知△ABC外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，EC=AB．（1）求证：∠B=2∠AEC； （2）当OA=2，时，求DE的长．AA（第5题图）BCEDO.6．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图5，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=，OA=.CBAOCBAO（图6）（2）求弦BC的长.7．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）C如图，已知在△ABC中，，，⊙O经过△ABC的顶点A、C，交AB边于点D，，点C是的中点．CB（1）求⊙O的半径长；BDOA（2）联结DC，求的值．DOA（（7题图）8.（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=9，cosB=，点G是△ABC的重心，延长AG交边BC于点D，以G为圆心，GA为半径的圆分别交边AB、AC于点E、F．（1）求AG的长；（2）求BE的长．GGABCEDF第8题图9．（本题满分10分，每小题各5分）已知：如图6，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM=ON．（1）求∠OAE的度数；（图9）OABC（图9）OABCEMND10.（本题满分10分，每小题各5分）如图5，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．（1）求⊙O的半径长;（2）P是上一点，PO⊥BC，交AB于点D,联结AP.求∠PAB的正切值.（（图10）CBAOPD11．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B、C、D，点O在边AD上，AO=3，OD=5．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求∠D的正弦值．ABABCDO第11题图12．（本题满分10分）已知，如图3，⊙O的半径为2，半径OP被弦AB垂直平分，交点为Q，点C在圆上，且eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))BC=BP（1）求弦AB的长；eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))（2）求图中阴影部分面积（结果保留）.13．（本题满分10分） 如图5，已知在半圆O中，AB是直径，CD是弦，点E、F在直径AB上，且四边形CDFE是直角梯形，∠C=∠D=90°，AB=34，CD=30.ABDOCEABDOCEF（图13）14．如图，已知⊙O中，弦AB=8，点P是弦AB上一点，OP=，∠OPB=45°．（1）求OB的长．（2）过点P作弦CD与弦AB垂直，求证：AB=CD．（第（第14题图）参考答案1．（本题满分10分）已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB∥CD．（1）求证：AC=BD；（2）如果弦AB长为8，它与劣弧AB组成的弓形高为2，求CD的长．••BACDO第1题图1.已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB∥CD．（1）求证：AC=BD；（2）如果弦AB长为8，弧AB的拱高为2，求CD的长．解：（1）作直径MN⊥CD交AB于点E，交⊙O于点M、N，∵AB∥CD，∴∠MEB=∠MOD=90°，即MN⊥AB，……………（2分）∴…………（2分）∴∴AC=BD.…………（1分）联结AO，ME=2，AB长为8，设圆的半径为r，OE=r-2………………（1分）Rt△AOE中,∵直径MN⊥AB于点E，∴AE=4∵,即，解得，…………（3分）∴CD=2r=10.………………（1分）•B•BACDO第1题图ENM•BACDO第21题图ENM••BACDO第21题图ENM2．（本题满分10分）如图，⊙和⊙相交于点、，联结、、，已知，，．（1）求⊙的半径长；（2）试判断以为直径的⊙是否经过点，并说明理由．（第2题图）A（第2题图）AB2．解：（1）联结AO1，设O1∵Ꙩ∴AC=12AB=24，O在Rt△ACO2中，∠ACO∴CO2=AO2∴CO1=O1O在Rt△ACO1中，∠ACO∴AO1=CO1即ꙨO1(2)以O1O2∵AO2O1O2=3050=∴AO又∠AO2C=∠O∴△AO1O2∴∠O1AO2=∠取O1∴AP=PO又O1O2.以O1O23.（本题满分10分，每小题满分各5分）如图，AB是⊙O的直径，AB与CD相交于点E，弦AD与弦CD相等，且＝．（1）求∠ADC的度数；（2）如果OE＝1，求AD的长．3．解：（1）联结AC.∵O为圆心，BC=BD，（2分）∴AB⊥CD,CE=DE.（1分）∴AC=AD.又∵AD=CD，∴AC=AD=CD.（1分）∴△ACD是等边三角形（1分）∴∠ADC=60°（2）联结OD.（1分）∵∠ADC=60°,∴∠A=30°（1分）∵OD=AO，∴∠A=∠ADO=30°（1分）∴∠EDO=30°在Rt△OED中，∵DE=cot30°·OE，OE=1，∴DE=3（1分）∴AD=CD=2DE=23（1分）4.（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）图4如图6，在△中，，，圆经过两点，圆心在线段上，点在圆内，且．图4求圆的半径长；求的长．4、解：（1）作，垂足为点．由垂径定理，得．……………（1分）∵△中，，，设，，则．…（1分）∴．…………（1分）∵，，∴，．………（1分）∴，即圆的半径长为．…………（1分）（2）作，垂足为点．由（1）可知：．…………（1分）∵△中，，，∴，．…（1分）∵，∴．……（1分）∴．………………（1分）∵△中，，，∴．（1分）5．（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知△ABC外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，EC=AB．（1）求证：∠B=2∠AEC； （2）当OA=2，时，求DE的长．AA（第5题图）BCEDO.5、（1）证明：∵直线AD⊥BC，垂足为D,且O为圆心,∴BD=DC,即AD垂直且平分BC，……（1分）∴AB=AC，∴∠B=∠ACB．……（2分）又∵EC=AB，∴EC=AC，∠CAE=∠E,……（1分）∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，即∠B=2∠E．……（1分）（2）联结OC，∵AD垂直且平分BC，∴∠BAO=∠DAC，∵，∴∠BAO=30°，∠DAC=30°，∠ACD=60°，…………（1分）∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=30°，∠DOC=∠OCA+∠OAC=60°，∠OCD=30°，∵OC=OA=2,∴Rt△ODC中，OD=1,DC=，……（2分）∴CE=AC=2DC=,∴DE=DC+CE=.……（2分）6．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图5，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=，OA=.CBAOCBAO（图6）（2）求弦BC的长.（图6）CBAO6.解：（1）过点O作OD（图6）CBAO∵OD⊥AB，AB=8，∴AD=AB=4，∵OA=5，∴OD=3，在Rt△AOD中，∴sin∠BAO＝（2）过点O作OF⊥AC，垂足为点F.∵AB=AC，∴OD=OF∴∠BAO=∠CAO延长AO交BC于点E.∴AO⊥BC，BC=2BE，在Rt△ABE中，∵AB=8，sin∠BAO＝∴BE=，∴BC=.7．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）C如图，已知在△ABC中，，，⊙O经过△ABC的顶点A、C，交AB边于点D，，点C是的中点．CB（1）求⊙O的半径长；BODA（2）联结DC，求的值．（7ODA（7题图）7．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）解：（1）联结OC交AB于点H (1分）∵OC过圆心，点C是的中点,AD=∴HA=DH=，OC⊥AB （1分）∴∠CHB=∠CHA=90°∴，又∵AC=∴． （1分）联结OA，设OA=x，则OC=x，OH=x3，∵OC⊥AB∴∠OHA=90°，∴，∴． （1分）解得， （1分）∴，即：⊙O的半径长为（2）过点D作DM⊥BC，垂足为M （1分）∴BD= （1分） （1分）∵点C是的中点∴， （1分）∴(1分）8.（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=9，cosB=，点G是△ABC的重心，延长AG交边BC于点D，以G为圆心，GA为半径的圆分别交边AB、AC于点E、F．GABCEGABCEDF第8题图（2）求BE的长．8.解：（1）∵点G是△ABC的重心，∴AD是BC的中线，且AG=23AD（1分+1分又AB=AC=9∴AD⊥BC（1分）在Rt△ADB中，AB=9，cosB=5∴BD=35，（1分）∴AD=6，∴AG=4（1分）（2）过G作GH⊥AE，垂足为点H.∵GH⊥AE，点G为圆心，AH=EH（1分）又在Rt△AGH中，GA=4，cos∠GAH=sin∠ABC=2∴AH=83∴AE=163∴BE=9-163=113

9．（本题满分10分，每小题各5分）已知：如图6，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB，（图9）OABCEMNDON（图9）OABCEMND（1）求∠OAE的度数；（2）如果BC=6，，求⊙O的半径长．9.解：（1）∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是M、N，且OM=ON，∴AO平分∠BAC.…………1分∴∠BAO=∠CAO.…………1分∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE.…………………1分∵∠BAO+∠CAO+∠DAE+∠CAE=180°………………1分∴∠CAO+∠CAE=90°，即∠OAE=90°………………1分（2）延长AO交BC于H．∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是M、N，∴OM、ON分别是AB、AC的弦心距．∵OM=ON，∴AB=AC．……………1分∵AO平分∠BAC，∴BH=CH，AH⊥BC．………1分∵BC=6，∴BH=3．在Rt△ABH中，，∴AB=5．∴AH=4．．………1分∵OM过圆心且OM⊥AB，∴．………1分在Rt△AOM中，，∴，即圆O的半径长为．………………1分10.（本题满分10分，每小题各5分）如图5，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．（1）求⊙O的半径长;（图10）CBAOPD（2）P是上一点，PO⊥BC，交AB（图10）CBAOPD2D（图10）CBAOP10.（1）联结AO2D（图10）CBAOP43H∵BC=8，∴CO=8-r43H1∵∠C=90°，AC=41∴r=5∴⊙O的半径长是5.（2）过点P作PH⊥AB，垂足为H.∵∴又∵∠1+∠4=∠2+∠4=90°∠3=∠4∴∠1=∠2∴∴∴

11．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B、C、D，点O在边AD上，AO=3，OD=5．（1）求平行四边形ABCD的面积；ABCDOABCDO第11题图11．解：（1）作OH⊥BC，垂足为点H，联结OC.∵平行四边形ABCD中，AO=3,OD=5∴BC=AD=8…………1分∵在⊙O中，OH过圆心O，OH⊥BC∴BH=CH=4…………1分∴OH²+CH²=OC2Rt△OCH中，∠OHC=90°∵OC=OD=5∴OH=5²−4²=3…………1分∴平行四边形面积为BC·OH=8×3=24.…………1分（2）作CG⊥AD，垂足为点G平行四边形ABCD中，AD／/BC，∴∠GCH+∠OGC=180°∵CG⊥AD∴∠OGC=90°∴∠GCH=90°∵∠OHC=90°∴四边形OGCH为矩形…………1分∴OH=CG=3,OG=CH=4∴DG=5-4=1…………2分∵Rt△DCG中,∠CGD=90°∴CD=CG²+DG2=10∴sin∠D=CGDG=310=31012．（本题满分10分）已知，如图3，⊙O的半径为2，半径OP被弦AB垂直平分，交点为Q，点C在圆上，且eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))BC=BP（1）求弦AB的长；eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))（2）求图中阴影部分面积（结果保留）.12、解：（1）联结OB,则.…………(1分）∵弦AB垂直平分OP，∴.………(1分）在Rt△OBQ中，. ……………(1分）∵半径OP垂直AB，∴，……………(1分）∴.……………(1分）（2）在Rt△OBQ中，，∴∠POB=60°.联结BC，∵，∠BO