湖南省岳阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题【含答案解析】

岳阳市2025年高中教学质量监测试卷高一数学本试卷共4页，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名和座位号填写在答题卡指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由题意，所以．故选：A．2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由带存在量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得.【详解】将命题的量词改变，并否定结论即得：命题“，”的否定是“，”.故选：A.3.的值为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式化简，再代入特殊角的三角函数值即得.【详解】.故选：C.4.已知，，则“关于的不等式有解”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：若关于的不等式有解，当时，关于的不等式一定有解，此时无法确定判别式是否大于零，当时，则，则关于的不等式有解不能推出，若，当时，关于的不等式一定有解，当时，关于的不等式有解，所以能推出关于的不等式有解，所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解.【详解】由函数的图象知，则，所以函数为增函数，且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位，所以函数的大致图象是C选项.故选：C.6.下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.【详解】对于A，函数上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，函数，故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；对于C，当时，，当且仅当时，等号成立，无零点；当时，，当且仅当时，等号成立，函数在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B7.玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】D【解析】【分析】由题意列方程，通过取对数并代值估计即得.【详解】由题意，设通过x块这样的玻璃以后，光线削弱为原来的，则易得：，即，两边取对数，可得，故至少需要通过16块这样的玻璃.故选：D.8.已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分段函数的单调性列出不等式组，求解即得参数范围.【详解】由题意，需使①；在上恒成立②；③；④同时满足，由②可得；由③可得；由④可得.综上可得：实数a的取值范围为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题有个细节是关键，就是需要考虑第一段函数中真数部分函数在上恒为正数这一条件,而且还要考虑对数型复合函数的单调性.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于点成中心对称图形C.函数的最大值为2D.函数的单调递减区间为【答案】ACD【解析】【分析】由周期公式求出周期即可判断A；计算即可判断B；由正弦函数性质即可判断C；计算不等式即可判断D.【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，，所以函数的图象不关于点成中心对称图形，故B错误；对于C，因为，所以，所以函数的最大值为2，故C正确；对于D，令，解得，故D正确；故选：ACD10.已知实数a,b,c,m，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为D.若，且，则的最小值为【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用不等式性质即可判断；对于B，运用作差法比较即得；对于C，利用三个二次的关系，求出的值，再解一元二次不等式即可；对于D，由题设等式推出，代入所求式，运用基本不等式并判断等号成立条件即可判断.详解】对于A，由可知，故可得，即A正确；对于B，由，因，，可得，故有，即B正确；对于C，依题意，是方程的两根，且，则得，解得，于是不等式即，解得或，故其解集为，故C错误；对于D，由，且可得或，解得或，因，故，则，当且仅当时等号成立，但当时，不满足，故等号不成立，即的最小值不是，故D错误.故选：AB.11.函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件，利用轴对称有中心对称的意义推理可得函数是偶函数，再利用单调性逐项分析判断.【详解】由为奇函数，得，即，由偶函数，得，则，，于是，因此函数是偶函数，且当时，单调递减，对于A，，则，A正确；对于B，，则，B正确；对于C，，C正确；对于D，，，则，，即，D错误.故选：ABC【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数（且）的图象过定点______．【答案】【解析】【分析】代入即可得到答案.【详解】当时，，则其所过定点为.故答案为：.13.已知分别是方程与的实数解，则的值为______．【答案】10【解析】【分析】结合函数的图象，将看成与的交点的横坐标，看成与的交点的横坐标，因函数与的图象关于直线对称，直线也关于直线对称，则得点与点也关于直线对称，即可列式计算.【详解】由可得，由可得，不妨记，依题意，为与的交点的横坐标，为与的交点的横坐标，作出这些函数的图象如下：因函数与是一对反函数，图象关于直线对称，而直线与直线垂直，故也关于直线对称，则点与点也关于直线对称，故得，化简得：，即.故答案为：10.14.已知函数，，则函数的值域为______．【答案】【解析】【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域.【详解】因，，，则由，解得：，即函数的定义域为，设，则，且在上单调递增，故当时，即时，；当，即时，，因，故函数的值域为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，，满足，．（1）求函数的解析式；（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明．【答案】（1）（2）为奇函数，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数值代入解析式，得到方程组，求解即得；（2）利用奇函数的定义计算化简即可判别.【小问1详解】因为，，所以得，，所以【小问2详解】因的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数．16.如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆O相交于点，过A作x轴的垂线，垂足为B．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）理解题意，利用三角函数的定义即可求得；（2）由三角函数的定义先求得，再利用二倍角公式将所求式化简成齐次的弦的分式，运用同角的三角函数关系式化弦为切，代入计算即得.【小问1详解】由题意得角的终边与单位圆O相交于，所以．【小问2详解】因角的终边与单位圆O相交于，故，则．17.春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为．（1）求的表达式；（2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依题意设得的解析式，代入，确定参数，即得的表达式；（2）根据分段函数解析式，分别利用基本不等式和函数的单调性求其最值并比较即得.【小问1详解】依题意，当时，设，因，解得，，【小问2详解】当，，当且仅当时等号成立；当时，在上为减函数，故得.又，所以当时，需要提供的面包数量最少．18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据图象得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析式，即可得出，即可得出答案；（2）设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.【小问1详解】由图象可知，周期，，因为点在函数图象上，所以，即，又，，则，即，因为点在函数图象上，所以，即，故函数的解析式为.【小问2详解】由题意可得，设，当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，在区间上单调递减，令，解得，因为，所以，则，故，解得，所以最大值为.19.若函数满足：对于任意正数m,n，都有,，且，则称函数为“速增函数”．（1）试判断函数与是否为“速增函数”；（2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围；（3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有．【答案】（1）不是“速增函数”，不是“速增函数”（2）．（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“速增函数”的定义易判断不是“速增函数”；通过举反例，结合“速增函数”的定义可判断不是“速增函数”；（2）由是“速增函数”可得①与②两式恒成立，经等价转化，利用参变分离，即可求得参数范围；（3）由函数为“速增函数”，取可推得f2mfm>2，利用迭代法推出f2kmf【小问1详解】对于函数，当，时，有f1m=m>0，f因为，所以，故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”．对于函数，当时，有f2m故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”．【小问2详解】因为是“速增函数”，根据“速增函数”的定义可得：当时，gn=当，时，恒成立②．由①可得：对一切正数n恒成立又因为当时，，所以对一切正数n恒成立，故得．由②可得：gn+m即对一切正数n，m恒成立．因为，所以，又因为当，时，，所以，由对