《概率论与数理统计及其MATLAB实现（微课版）》 习题及答案 第10章

回归分析参考答案习题10.1某医院用光色比色计检验尿汞时，得到尿汞含量(单位：mg/L)与消光系数读数的结果如表10-1所示.表10-1尿汞含量x246810消光系数y64138205285360(1)画出尿汞含量x与消光系数y的散点图；(2)估计尿汞含量x与消光系数y的函数关系.【解】(1)从上面散点图可以看出，消光系数y与尿汞含量x之间具备线性关系，可以得出:y=-11.3000+36.9500xMATLAB程序代码X=[246810];Y=[64138205285360];plot(X,Y,'*')X1=[ones(5,1)X'];Y1=Y';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y1,X1)随机抽取12个城市居民家庭关于收入与支出的样本，数据记录如下表10-2.表10-2收入x8293105130144150160180200270300400支出y758592105120120130145156200200240（1）画出收入x与支出y的散点图；（2）估计收入x与支出y的函数关系.【解】（1）（2）从上面散点图可以看出，支出y与收入x之间基本具备线性关系，可以估计得出:y=40.1802+0.5356xMATLAB程序代码：X=[8293105130144150160180200270300400];Y=[758592105120120130145156200200240];plot(X,Y,'*')X1=[ones(12,1)X'];Y1=Y';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y1,X1)习题10.2在硝酸钠(NaNO3)的溶解度试验中，测得在不同温度x(℃)下，溶解于100克水中的硝酸钠份数y的数据如表10-6所示，试求y关于x的线性回归方程.表10-6xi0410152129365168yi66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1【解】故回归方程：=65.5078+0.8706x.一种合金在某种添加剂的不同浓度之下，各做3次试验，得数据如表10-12所示：浓度x10.015.020.025.030.0抗压强度y25.229.831.231.729.427.331.132.630.130.828.727.829.732.332.8以模型,，拟合数据，其中b0,b1,b2,与x无关，求回归方程=+x+x2.【解】由(10.13)式，根据表中数据，得正规方程组解之得：b0=19.0333,b1=1.0086，b2=-0.0204.于是所求回归方程为：=19.0333+1.0086x-0.0204x2.设y为树干的体积，x1为离地面一定高度的树干直径，x2为树干高度，一共测量了31棵树，数据列于表10-7，作出y对x1，x2的二元线性回归方程，以便能用简单分法从x1和x2估计一棵树的体积，进而估计一片森林的木材储量.表10-7x1(直径)x2(高)y(体积)x1(直径)x2(高)y(体积)8.37010.312.98533.88.66510.313.38627.48.86310.213.77125.710.57210.413.86424.910.78116.814.07834.510.88318.814.28031.711.06619.715.57436.311.07515.616.07238.311.18018.216.37742.611.27522.617.38155.411.37919.917.58255.711.47624.217.98058.311.47621.018.08051.511.76921.418.08051.012.07521.320.68777.012.97419.1【解】由(10.13)式，根据表中数据，得正规方程组解之得：b0=-54.7662,b1=4.8338，b2=0.2680.于是所求回归方程为：=-54.7662+4.8338x1+0.2680x2.一家从事市场研究的公司，希望能预测每日出版的报纸在各种不同居民区内的周末发行量，两个独立变量，即总零售额和人口密度被选作自变量.由n=25个居民区组成的随机样本所给出的结果列于表10-8中，求日报周末发行量y关于总零售额x1和人口密度x2的线性回归方程.表10-8居民区日报周末发行量yi(×104份)总零售额xi1(105元)人口密度xi2(×0.001m2)13.021.747.823.324.151.334.737.476.843.929.466.253.222.651.964.132.065.373.626.457.484.331.666.894.735.576.4103.525.153.0114.030.866.9123.525.855.9134.030.366.5143.022.245.3154.535.773.6164.130.965.1174.835.575.2183.424.254.6194.333.468.7204.030.064.8214.635.174.7223.929.462.7234.332.567.6243.124.051.3254.433.970.8X=[121.747.8;124.151.3;137.476.8;129.466.2;122.651.9;132.065.3;126.457.4;131.666.8;135.576.4;125.153.0;130.866.9;125.855.9;130.366.5;122.245.3;135.773.6;130.965.1;135.575.2;124.254.6;133.468.7;130.064.8;135.174.7;129.462.7;132.567.6;124.051.3;133.970.8;];Y=[3.03.34.73.93.24.13.64.34.73.54.03.54.03.04.54.14.83.44.34.04.63.94.33.14.4];inv(X'*X)X'*Y'【解】由(10.13)式，根据表中数据，得正规方程组解之得：b0=0.3822,b1=0.0678，b2=0.0244.于是所求回归方程为：=0.3822+0.0678x1+0.0244x2.习题10.3测量了9对父子的身高，所得数据如表10-10所示（单位：英寸）.表10-10父亲身高xi606264666768707274儿子身高yi63.665.26666.967.167.468.370.170求（1）儿子身高y关于父亲身高x的线性回归方程.取=0.05，检验儿子的身高y与父亲身高x之间的线性相关关系是否显著.【解】（1）故回归方程：=36.5891+0.4565x.（2）Q回=Sxy2/Sxx=35.0172，Q剩=Q总-Q回=35.9956-35.0172=0.9784,F==250.5349>F0.05(1,7)=5.59.故拒绝H0，即两变量的线性相关关系是显著的.2.随机抽取了10个家庭，调查了他们的家庭月收入x（单位：百元）和月支出y(单位：百元)，记录于下表10-11中：表10-11x20152025162018192216y18141720141917182013求：（1）在直角坐标系下作x与y的散点图，判断y与x是否存在线性关系.（2）求y与x的一元线性回归方程.（3）对所得的回归方程作显著性检验.（=0.025）【解】（1）由下图可以看出，y与x存在线性关系.（2）故回归方程：=2.4849+0.76x.（3）Q回=Sxy2/Sxx=47.877，Q剩=Q总-Q回=58-47.877=10.123,F==37.836>F0.025(1,8)=7.57.故拒绝H0，即两变量的线性相关关系是显著的.习题10.4某医院用光色比色计检验尿汞时，得到尿汞含量(单位：mg/L)与消光系数读数的结果如表10-12所示.表10-12尿汞含量x246810消光系数y64138205285360求（1）消光系数y关于尿汞含量x的线性回归方程.（2）取=0.05，检验消光系数y与尿汞含量x之间的线性相关关系是否显著.（3）若尿汞含量为11时，求消光系数的置信度为95%的预测区间.【解】（1）故回归方程：=65.5078+0.8706x.（2）Q回=Sxy2/Sxx=54612，Q剩=Q总-Q回=54649-54612=37,F==4428>F0.05(1,3)=10.1.故拒绝H0，即两变量的线性相关关系是显著的.（3）当x0=11，y0的预测值为：=65.5078+0.8706×11=395.15.给定=0.05，t0.025(3)=3.1824，，故=3.1824×0.1114×1.3509=0.4789.即y0将以95%的概率落在(395.15±0.4789)区间，即儿子的身高的置信度为95%的预测区间为（394.6711,395.6289）.随机抽取12个城市居民家庭关于收入与支出的样本，数据记录如下表10-13.表10-13收入x8293105130144150160180200270300400支出y758592105120120130145156200200240求（1）支出y关于收入x的线性回归方程.（2）取=0.05，检验支出y与收入x之间的线性相关关系是否显著.（3）若收入为420时，求支出y的置信度为95%的预测区间.【解】（1）故回归方程：=40.1802+0.5356x.（2）Q回=Sxy2/Sxx=28387，Q剩=Q总-Q回=29148-28387=761,F==373>F0.05(1,10)=4.96.故拒绝H0，即两变量的线性相关关系是显著的.（3）当x0=420，y0的预测值为：=40.1802+0.5356×420=265.1358.给定=0.05，t0.025(10)=2.2281，，故=2.2281×8.7252×1.2821=24.9248.即y0将以95%的概率落在(265.1358±24.9248)区间，即儿子的身高的置信度为95%的预测区间为（240.2110,290.0606）.习题10.5设曲线函数形式为，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.【解】设，则即为一元线性回归.设曲线函数形式为，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.【解】设，则可化为.设曲线函数形式为，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.【解】设，则可化为.设曲线函数形式为，能否找到一个变换将之化为一元回归的形式，若能，试给出；若不能，请说明理由.【解】设，则可化为.习题10.6下表10-11记录了男子身高x（单位：cm）与体重y(单位：kg)的一组数据，利用MATLAB软件完成下列问题：画出改组数据的散点图；建立y关于x的线性回归方程；检验回归方程的显著性；预测男性身高为153cm时，体重为多少？表10-11身高147150152155157160163165168170173175178180183体重525354555758596163646668697274【解】输入程序X=[147150152155157160163165168170173175178180183];Y=[525354555758596163646668697274];plot(X,Y,'.')xlabel('身高')ylabel('体重')title('身高与体重的散点图')X1=[ones(15,1)X'];Y1=Y';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y1,X1)rcoplot(r,rint)Y0=b(1)+b(2)*153运行结果：（1）(2)线性回归方程：y=-39.2864+0.6116x(3)stats=0.9856889.78280.00000.7680,表明回归方程是显著的.(4)当身高为153cm时，体重的预测值为Y0=54.2868.2.下表10-13数据是某建筑材料公司去年20个地区的销售量（Y，千方），推销开支、实际帐目数、同类商品竞争数和地区销售潜力分别是影响建筑材料销售量的因素。利用MATLAB软件建立线性回归方程.推销开支X15.52.58.03.03.02.98.09.04.06.55.55.06.05.03.58.06.04.07.57.0实际账目数X23155675038713056427360445039557040506259同类商品竞争数X3108127812125851112610106111199地区销售潜力X4869161517810