《概率论与数理统计及其MATLAB实现（微课版）》 习题及答案 第2章

PAGE习题2.11.试用随机变量描述下列试验.（1）某城市110呼叫中心每天收到的呼叫次数；（2）某公交汽车站，每隔10分钟有一辆114路公交车通过，观察乘客等车时间.【解】（1）X表示“呼叫次数”，则X=i表示“呼叫i次”，i=0,1,2,…；（2）X表示“乘客等车时间”，则X取值于[0,10]上所有实数.2.盒中装有大小相同的10个球，编号分别为0，1，…，9，从中任取一个球，观察其号码.用随机变量表示事件“号码小于5”，“号码等于5”，“号码大于5”，并求其概率.【解】设随机变量X表示取到球的号码，则X的所有可能取值为0，1，…，9.X<5表示“号码小于5”，且；X=5表示“号码等于5”，且；X>5表示“号码大于5”，且.习题2.21.袋中有5只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，5.在袋中任取3只球，设X表示3只球中的最大号码，试求X的分布律.【解】随机变量X的可能取值为3,4,5，且故X的分布律为X345P0.10.30.62.设每次同时抛掷两枚骰子，直到有一枚骰子出现6点为止，设抛掷次数为X，试求X的分布律.【解】设Ai={第i枚骰子出现6点},（i=1,2），P(Ai)=.且A1与A2相互独立，再设C=“每次抛掷出现6点”.则故抛掷次数X服从参数为的几何分布.3.（1）设随机变量X的分布律为P{X=k}=，其中k=0,1,2,…,λ＞0为常数，试确定常数a.（2）设随机变量X的分布律为P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，试确定常数a.【解】（1）由，则.（2）由，则.4.设某停车场每天有200辆车在此停车，为方便车主充电，该停车场计划配备充电桩.设每天某一时刻每辆车在此充电的概率为0.02，且各辆车是否充电相互独立.试问该停车场需配备多少个充电桩，才能保证某一时刻每辆车需充电而没有空余充电桩的概率小于0.01？【解】设X为某一时刻需要充电的汽车数，则X~b(200,0.02)，设该停车场需配备N个充电桩，则有，即，利用泊松近似，则，查表得N≥9，故至少应配备9个充电桩.5.设每天有大量汽车通过一个十字路口，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001.在某天的该时段内有1000辆汽车通过这个路口，试利用泊松定理计算出事故的次数不小于2的概率.【解】设X表示出事故的次数，则X~b(1000，0.0001)，由泊松定理可知，X近似服从P(0.1).则6.设独立重复进行5次试验，事件A发生的次数为X.若，试求概率.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则，故.则.7.设抽检产品时，每次抽取一件产品进行检验.设每次抽检取到不合格品的概率为0.3，当取到不合品不少于3次时，机器暂停运行.（1）抽检5次产品，试求机器暂停运行的概率；（2）抽检7次产品，试求机器暂停运行的概率.【解】（1）设X表示抽检5次产品时取到次品的次数，有X~b(5,0.3)，则.（2）设Y表示抽检75次产品时取到次品的次数，有Y~b(7,0.3)，则.8.设某市110指挥中心在时长t小时的时间间隔内，收到的报警次数X服从P(t/2)，而与时间间隔起点无关.（1）求某日12:00~15:00没收到报警的概率；（2）求某日12:00~17:00至少收到1次报警的概率.【解】（1）t=3时，X~P(3/2)，则.（2）t=5时，X~P(5/2)，则.9.设随机变量X，Y的概率分布分别为P{X=k}=,k=0,1,2,P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4.如果已知，试求.【解】由，则从而10.某杂志出版发行2000册，每册出现装订错误的概率为0.001.试求这2000册杂志中恰有5册出现装订错误的概率.【解】令X为2000册杂志中出现装订错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算，，得.11.某运动员练习投篮，每次投中的概率为3/4，以X表示他首次投中时的投篮次数，试求X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】X取偶数的概率为.12.某中学有2500名学生购买了某保险公司的学平险，每名学生每年的保费为120元，在一年中每名学生在校发生意外的概率为0.002，而发生意外时学生家属可从保险公司领取2万元赔偿金.试求针对该校学平险这项业务：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10万元、20万元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）保险公司在该校学平险总收入为2500×120=300000元，设1年内发生意外的学生数为X，则X~b(2500,0.002)，由n很大，p很小，λ=np=5，由泊松定理X近似服从P(5)，则.（2）保险公司获利不少于10万元的概率为.保险公司获利不少于200元的概率为.习题2.31.设随机变量X的分布函数如下：试在(1),(2),(3)处填上合适的数.【解】由知②填1；由右连续性，可知，故①为0，从而③亦为0.即2.已知则F(x)是________随机变量的分布函数.离散型(B)连续型(C)非连续亦非离散型【解】因为F(x)在(∞,+∞)上单调不减右连续，且，，所以F(x)是一个分布函数.由F(x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数.选(C).3.在区间[0,a]内随机投掷一个质点，该质点落在[0,a]中任意子区间内的概率与该子区间的长度成正比例，设质点的坐标为X，试求X的分布函数.【解】任取区间，由题意可知，其中k为比例系数.令，则有，故由，则当x<0时，F(x)=0；当x>a时，F(x)=1；当0≤x≤a时，；即4.设一批同型号的零件共有15个，其中有2只零件为次品，每次在这批零件中任取1只，共取3次，取后不放回.设X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；（3），，，.【解】（1）X的可能取值为0,1,2.故X的分布律为X012P（2）当x<0时，F(x)=P{X≤x}=0；当0≤x<1时，F(x)=P{X≤x}=P(X=0)=；当1≤x<2时，F(x)=P{X≤x}=P(X=0)+P(X=1)=；当x≥2时，F(x)=P{X≤x}=1.故X的分布函数为5.某射手练习射击时，向同一目标独立射击3次，设每次击中目标的概率为0.8.试求3次射击中，（1）击中目标的次数X的分布律；（2）X的分布函数；（2）3次射击中至少击中2次的概率.【解】（1）设X表示击中目标的次数，则X的可能取值为0，1，2，3.故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512（2）X的分布函数为（3）习题2.41.设随机变量X的概率密度为则区间[a,b]等于________.[0,π/2](B)[0,π](C)[,0](D)[0,]【解】在上sinx≥0，且，故f(x)是概率密度.在上，故f(x)不是概率密度.在上，故f(x)不是概率密度.在上，当时，sinx<0，f(x)也不是概率密度.故选(A).2.已知随机变量X的密度函数为,求：（1）A值；（2）P{0<X<1}；（3）F(x).【解】（1）由得，故.（2），（3）当x<0时，；当x≥0时，.故3.设随机变量X分布函数为（1）求常数A,B；（2）求P{X≤2},P{X＞3}；（3）求X的概率密度f(x).【解】（1）由得（2），.（3）4.设随机变量X的概率密度为求X的分布函数F(x)，并画出f(x)及F(x).【解】由，当x<0时，F(x)=0；当0≤x<1时，当1≤x<2时，；当x≥2时，.即5.设随机变量X的密度函数为（1）；（2）f(x)=试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).【解】（1）由知，故.即概率密度为由，故当x≤0时，；当x>0时，.即（2）由，得b=1.即X的概率密度为由，故当x≤0时，F(x)=0；当0<x<1时，；当1≤x<2时，；当x≥2时，F(x)=1.即6.设某种通讯仪器内安装有3只同型号的电子管，该型号电子管使用寿命X（单位：小时）的密度函数为试求：（1）在开始仪器开始使用的150小时内无电子管损坏的概率；（2）在这段时间内只有1只电子管损坏的概率；（3）X的分布函数F(x).【解】（1），设开始150小时内，3只电子管中损坏的电子管数为Y，则Y~b(3,1/3).则.（2）.（3）当x<100时，F(x)=0当x≥100时，.故7.设随机变量.对X进行3次独立观测，求至少有两次的X观测值大于3的概率.【解】由X~U[2,5]，有则.设三次观测中，观测值大于3的次数为Y，则Y~b(3,2/3)，则.8.设某时间段内，车主在某加油站等待加油的时间X（单位：分钟）服从参数为1/5的指数分布.某人在该加油站等待加油，若超过10分钟就离开.若他一个月要加油5次，以Y表示一个月内未等到加油而离开加油站的次数，试求Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】由，其概率密度为车主未等到加油而离开的概率为.则，其分布律为得9.某人从家出发打车去火车站，有两条路可走.第一条路程交通拥挤但路程较短，所需时间（单位：分钟）服从；第二条路阻塞少但路程较长，所需时间服从.（1）若在火车发车前1小时出发，走哪条路赶上火车的把握大些？（2）若在火车发车前45分钟出发，走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N(40，102)，则；若走第二条路，X~N(50，42)，则.故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N(40，102)，则；若X~N(50，42)，则.故走第一条路乘上火车的把握大些.10.设随机变量X~N(3,4)，（1）求，，，；（2）确定c使.【解】（1）；；；.由，，得，即，故c=3.11.某工厂生产的零件长度X（单位：cm）服从正态分布，设零件长度在10.05±0.12内为合格品，求该厂生产的零件的不合格率.【解】12.设随机变量X服从正态分布，若P{120＜X≤200}≥0.8，则σ最大为多少？【解】由，则，由的单调性，可得，故.13.设随机变量，则当σ取何值时，概率最大？【解】因为，令，由，得,即.又，故为极大值点且惟一.故当时X落入区间(1，3)的概率最大.14.求标准正态分布的上α分位点，（1）α=0.01，求zα;（2）α=0.003，求zα，zα/2.【解】（1）由，有，得，故.（2）由，有，得，故.,，故.α=0.003时，，故习题2.51.设随机变量X的分布律如表2-10所示表2-10X的概率分布表X-2-1013pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0，1，4，9.Y0149Pk1/57/301/511/30即2.设P{X=k}=(1/2)k,k=1,2,…,令求随机变量X的函数Y的分布律.【解】，即Y-11Pk2/31/33.设X~N(0,1),试求（1）Y=eX的概率密度；（2）Y=2X2+1的概率密度；（3）的概率密度.【解】由X~N(0,1)，则由函数y=g(x)=ex单调递增，其反函数为x=h(y)=lny,则，=0，，则（2）由，则当y≤1时，；当y>1时，，故（3）由，则当y≤0时，；当y>0时，.故4.设随机变量X~U(0,1)，试求：（1）Y=eX的分布函数及概率密度；（2）的分布函数及概率密度.【解】由X~U(0,1)，有（1）由，则当时，；当1<y<e时，；当y≥e时，.即故Y的密度函数为（2）由，则当z≤0时，；当z>0时，.即故Z的概率密度为5.设随机变量X的概率密度为试求Y=sinX的密度函数.【解】由，则当y≤0时，；当0<y<1时，；当y≥1时，.故Y的密度函数为6.设在一段时间内某品牌手机店的顾客人数X服从泊松分布P(λ)，每位顾客购买手机的概率为p，且顾客是否购买手机是相互独立的，求该段时间购买手机的顾客数Y的分布律.【解】设购买手机的人数为Y，在进入手机店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即.由全概率公式有可知，进入手机店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买手机的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.习题2.6一工厂生产的电子元件的寿命X（单位：小时）服从参数，的正态分布，若要求，利用MATLAB软件求允许最大为多少？【解】；，可得，MATLAB程序：Sigma=40/norminv(0.9,0,1)结果：Sigma=31.2122.设随机变量X服从于区间[1,5]上的均匀分布，对X进行30次独立观测，利用MATLAB软件求(1)至少有10次观察值大于4的概率;(2)观察值大于4的次数在5至15次的概率.【解】MALAB程序：p=1-unifcdf(4,1,5);P1=binocdf(10,30,p)P2=binocdf(15,30,p)-binocdf(4,30,p)输出结果：p=0.25,P1=0.8943,P2=0.9013.第2章考研真题1.设随机变量.试证在区间(0,1)上服从均匀分布.（1995研考）【证】X的密度函数为由在（0,+∞）上单调递增，其反函数为，则，=0，，则即Y~U(0,1).2.设随机变量X的分布函数为F(x)=求X的概率分布.（1991研考）【解】X的概率分布为X113P0.40.40.23.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.（1988研考）【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P(A)=p，则X~b(3,p).由P{X≥1}=，则P{X=0}=(1p)3=，故p=.4.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？（1989研考）【解】5.若随机变量X~N(2,σ2)，且P{2<X<4}=0.3，则P{X<0}=.（1991研考）【解】由，得.故.6.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求（1）全部能出厂的概率α；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率β；（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ.（1995研考）【解】设A=“需进一步调试”，B=“仪器能出厂”，则=“能直接出厂”，AB=“经调试后能出厂”.由题意知B=∪AB，且,.设X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~b(n,0.94).则7.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.（1990研考）【解】设X为考生的外语成绩，则X~N(72,σ2)，由，得，查表知，得σ=12.从而X~N(72,122)，则.8.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N(220,252)）.试求：（1）该电子元件损坏的概率α;（2）该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β.（1991研考）【解】设A1=“电压不超过200V”，A2=“电压在200~240V”，A3=“电压超过240V”，B=“元件损坏”.由X~N(220,252)，则；；.由全概率公式有,由贝叶斯公式有9.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).（1988研考）【解】由在（1,2）上单调递增，其反函数为，则，=e2，，则10.设随机变量X的密度函数为fX(x)=试求随机变量Y=eX的密度函数fY(y).（1995研考）【解】由在x>0上单调递增，其反函数为，则，=1，，则11.设随机变量X的密度函数为fX(x)=,试求的密度函数fY(y).（1988研考）【解】由在上单调递减，其反函数为，则.，，则12.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布.（1）求相继两次故障之间时间间隔为T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）【解】（1）当t<0时，；当t≥0时，事件T>t与N(t)=0等价，有，即所以间隔时间T服从参数为λ的指数分布.（2）.13.随机变量X的绝对值不大于1，，.在事件出现的条件下，X在内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F(x).（1997研考）【解】由X的绝对值不大于1，显然当x<1时，F(x)=P{X≤x}=0；而x≥1时F(x)=P{X≤x}=1；由题知，故当1<x<1时，，此时；当x=1时，.即X的分布函数为14.设随机变量X服从正态分布N(μ1,σ12)，Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且，试比较σ1与σ2的大小.（2006研考）【解】依题意，，则，.又由，则，故，即.15.设随机变量X的分布函数则.0(B)(C)(D)（2010研考）【解】应选(C).16.设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足_______.2a+3b=4(B)3a+2b=4(C)a+b=1(D)a+b=2（2010研考）【解】由为概率密度，有，则，得2a+3b=4，应选(A).17.设为两个分布函数，且连续函数为相应的概率密度，则必为概率密度的是________.(A)(B)(C)(D)（2011研考）【解】由，得，再由，得，又，故为某个随机变量的概率密度，应选(D).18.设随机变量，，，，则_______.(A)(B)(C)(D)