人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算 -分层作业【含答案】

2/2人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算-分层作业题型研究题型1：向量的数乘运算有4个式子：①；②；③；④；其中正确的个数为()A． B． C． D．题型2：向量的线性运算如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足，则下列结论中正确的有（

）A． B．C． D．题型3：用已知向量表示其他向量在中，为边的中点，则（

）A． B．C． D．题型4：向量共线定理已知P为所在平面内一点，且满足，，则)A． B． C． D．基础达标1.中，设，，为中点，则（

）A． B． C． D．2.等于（

）A． B． C． D．3.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则A． B． C． D．4.在△ABC中，，，若，则（

）A． B． C． D．5.等于（

）A． B． C． D．6.在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为（

）A． B． C． D．7.下述四个结论中，所有正确结论的编号是（

）①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数；③相等向量的方向相同；④与向量方向相反的向量，叫做的相反向量．A．①② B．②③ C．③ D．③④8.已知向量，化简（

）A． B．C． D．能力提升1.若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（

）A． B． C． D．2.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记，，则（

）A． B．C． D．3.化简的结果是（

）A． B． C． D．4.已知D是的边BC上的点，且，则向量（

）.A． B．C． D．5.在梯形ABCD中，，，则（

）A．5 B．6 C．－5 D．－66.设为中边上的中点，且为边的中点，则（

）A． B．C． D．7.如图，在四边形中，,，点在线段上，且，设，则（

）A． B．C． D．直击高考1.（2007·北京·高考真题）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）A． B．C． D．2.（2023·湖北·一模）在ΔABC中，，为的中点，则A． B．C． D．3.（2022·广东肇庆·一模）设点D，E，F分别是的三边BC，CA，AB的中点，则（

）A． B． C． D．4.（2019·北京西城·三模）如图，设为ΔABC内一点，且，则与ΔABC的面积之比为A． B．C． D．参考答案与解析一、题型研究题型1：向量的数乘运算有4个式子：①；②；③；④；其中正确的个数为()A． B． C． D．【答案】C【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、向量数乘的有关计算、相反向量【分析】根据向量的数乘运算，可判断①②；根据相反向量可判断③；由向量的数量积可判断④.【详解】由向量乘以实数仍然为向量，所以，故①正确，②错误；由，所以，即③正确；由，得不一定成立，故④错误.故选C【点睛】本题主要考查平面向量的数乘、相反向量以及向量的数量积，熟记概念即可，属于常考题型.题型2：向量的线性运算如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足，则下列结论中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则、向量加法法则的几何应用【分析】应用几何图形进行向量加减运算，结合向量的概念、三角形及平行四边形法则，即可判断各项正误【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以，故A正确，根据向量加法的平行四边形法则可得：，故B正确，根据向量的减法法则可得：，故C错误，由图知，，故D正确，故选：ABD．【点睛】本题考查了平面向量的加法、减法、数乘运算在几何图形的应用，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于简单题题型3：用已知向量表示其他向量在中，为边的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断，可得出合适的选项.【详解】如下图所示：对于A选项，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，，D对.故选：BCD.题型4：向量共线定理已知P为所在平面内一点，且满足，，则)A． B． C． D．【答案】C【知识点】平面向量共线定理【分析】利用向量的平行四边形法则、向量共线定理即可得出，．【详解】解：，在BC边的中线上，，在边BC上，，，，，则．故选C．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．基础达标1.中，设，，为中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则、向量加法的法则【分析】直接利用平面向量的线性运算法则求．【详解】，故选：C．2.等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】平面向量的混合运算【分析】根据向量的线性运算化简即可求解.【详解】故选：D.3.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则A． B． C． D．【答案】A【知识点】平面向量的混合运算【解析】利用向量的线性运算可得的表示形式.【详解】，故选：A．【点睛】本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题.4.在△ABC中，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则、向量加法的法则【分析】由向量的加、减法及向共线向量的表示可得结果.【详解】∵，∴，则，又∵，∴，即：，，∴.故选：B.5.等于（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】向量加法的运算律、向量减法的运算律【分析】借助向量的线性运算法则计算即可得.【详解】.故选：B.6.在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】向量的线性运算的几何应用、根据向量关系判断三角形的心【分析】设的中点为点，则可以推得，故得点为的重心，即可得答案.【详解】设的中点为点，则有，又，所以，则点在线段上，因为D为BC的中点，所以得点为的重心，故与面积之比为.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的运算，三角形重心的性质，属于基础题.7.下述四个结论中，所有正确结论的编号是（

）①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数；③相等向量的方向相同；④与向量方向相反的向量，叫做的相反向量．A．①② B．②③ C．③ D．③④【答案】C【知识点】零向量与单位向量、相等向量、向量的线性运算的几何应用【分析】运用向量有关概念逐项判断即可.【详解】零向量长度为0，有方向，①错误；②向量的线性运算结果仍然是向量，②错误；相等向量的方向相同，模相等，③正确；④与向量长度相等，方向相反的向量，叫做向量的相反向量，④错误．故选：C.8.已知向量，化简（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】平面向量的混合运算【分析】利用向量的线性运算计算即得.【详解】.故选：C能力提升1.若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算【分析】由向量的加法法则即可求解【详解】因为是的中点，由向量的平行四边形法则可得：，故选：D2.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】向量加法法则的几何应用【分析】以为基底表示，从而解出，即可求得.【详解】，，两式联立得，，，所以.故选：C．3.化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】平面向量的混合运算、向量数乘的有关计算、向量减法的法则、向量加法的法则【分析】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案.【详解】.故选：D.4.已知D是的边BC上的点，且，则向量（

）.A． B．C． D．【答案】C【知识点】向量的线性运算的几何应用【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案.【详解】由题意作图如下：

由，则，.故选：C.5.在梯形ABCD中，，，则（

）A．5 B．6 C．－5 D．－6【答案】B【知识点】向量的线性运算的几何应用【分析】根据向量的线性表示即可求解.【详解】因为，所以.所以.故选：B6.设为中边上的中点，且为边的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：由题意可知：.故选：A7.如图，在四边形中，,，点在线段上，且，设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】向量的线性运算的几何应用【分析】由题意可得，利用表示，根据即可求解.【详解】在梯形中，，且，则，因为在线段上，且，则，，所以.故选:D.直击高考1.（2007·北京·高考真题）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）A． B．C． D．【答案】A【知识点】向量加法的法则【详解】是所在平面内一点，为边中点，∴，且，∴，即，故选A.2.（2023·湖北·一模）在ΔABC中，，为的中点，则A． B．C． D．【答案】D【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算、用基底表示向量【解析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则求解.【详解】，故选D【点睛】本题主要考查向量的三角形法则和平行四边形法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.（2022·广东肇庆·一模）设点D，E，F分别是的三边BC，CA，AB的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】向量加法法则的几何应用、向量数乘的有关计算【分析】利用向量的几何运算求解即可.【详解】.故选：D.4.（2019