江苏省苏州市吴江青云实验中学2024-2025苏科版九下数学第2周阶段性训练【含答案】

江苏省苏州市吴江青云实验中学2024-2025苏科版九下数学第2周阶段性训练一．选择题（共6小题）1．如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点E，交AD于点F，若BE＝3，AF＝5，则矩形的周长为（）A．24 B．12 C．8 D．362．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＜0；③若（﹣2，y1）与是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024•昆山市一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，E是CD边上一点，连接AE，沿AE翻折△ADE，得到△AFE，连接CF．当CF长度最小时，△CEF的面积是（）A． B． C． D．24．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）A． B． C．2﹣ D．5．如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，则∠ABE的正切值为（）A． B． C． D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）7．如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形OABC的面积是9，则k＝．8．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝4，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值＝．9．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为．10．如图，在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数（x＞0）的图象经过点C，则k的值为．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝6，∠D是锐角，CE⊥AD于点E，F是CD的中点，连接BF，EF．若∠EFB＝90°，则CE的长为．12．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝cm．三．解答题（共4小题）13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣8ax+10a﹣1（a＜0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），其中（0＜x2＜x1），且AB＝4，与y轴的交点为C，直线CD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0），过点E作直线l⊥x轴，与抛物线、直线CD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以C、P、Q为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．

15．如图，已知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O与边AC相切于点D，且BC＝CD，连接OC，交⊙O于点E，连接BE并延长，交AC于点F．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）求证：OA•AB＝AD•AC；（3）若AC＝16，tan∠BAC＝，F是AC中点，求EF的长．

16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析题号123456答案ABCDCC一．选择题（共6小题）1．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠FAC＝∠ECA，根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，∴∠FOA＝∠EOC＝90°，AO＝CO，在△AFO和△CEO中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），∴AF＝CE，连接AE，∵AE＝CE，∴AE＝CE＝AF＝5，∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB＝＝4，∴矩形的周长为2（AB+BC）＝2（4+8）＝24．故选：A．2．【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①②④，故选：B．3．【解答】解：连接AC，如图，∵△ADE沿AE翻折至△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴AF＝AD，DE＝EF，∵AF+CF≥AC，∴当点A、F、C三点共线时，AF+CF最小，此时CF的最小值＝AF+CF﹣AF＝AC﹣AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝＝5，∴CF长度的最小值＝5﹣3＝2，设DE＝EF＝x，则CE＝4﹣x，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠CFE＝90°，∵CE2＝EF2+CF2，∴（4﹣x）2＝x2+22，解得，x＝，∴EF＝∴△CEF的面积是2＝，故选：C．4．【解答】解：连接EF，如图：∵正方形ABCD的面积为3，∴AB＝BC＝CD＝AD＝，∵CE＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．5．【解答】解：∵BE＝BC，DE＝CD，BD＝BD，∴△CBD≌△EBD（SSS），∴∠CBD＝∠EBD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD，∴OB＝OD，设AO＝x，则OD＝8﹣x，∴OB＝8﹣x，由勾股定理得：AB2+AO2＝OB2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴tan∠ABE＝＝．故选：C．6．【解答】解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，∵A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，∴AF＝，BH＝，FH＝x2﹣x1，S△AOF＝＝S△BOH，∴S梯形ABHF＝FH•（AF+BH）＝（x2﹣x1）（+），∵S△AOB＝S△AOF+S梯形ABHF﹣S△BOH＝+（x2﹣x1）（+）﹣＝（x2﹣x1）（+），∴（x2﹣x1）（+）＝，∴﹣＝x1x2，∴﹣＝，设t＝，则t﹣＝，解得：t＝2或t＝﹣（舍去），∴＝2，∵AC∥BD∥x轴，点C，点D在双曲线y＝图象上，∴点C（2x1，），点D（2x2，），∴AC＝2x1﹣x1＝x1，BD＝2x2﹣x2＝x2，∴＝＝，故选：C．二．填空题（共6小题）7．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，∴AB⊥x轴，∴S△AOD＝|k|，S△BOD＝2，∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝|k|+2，∴S平行四边形OABC＝2S△AOB＝|k|+4，∵平行四边形OABC的面积是9，∴|k|＝5，∵在第四象限，∴k＝﹣5，故答案为：﹣5．8．【解答】解：连接DC，由以CE为直径作⊙F，BC＝4，AC＝5，得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°，得动点D在以BC中点O为圆心，2为半径的圆上运动，当A，D，O在一直线上时，AO＝＝，故AD≥AO﹣OD＝﹣2，即AD的最小值＝﹣2，故答案为：﹣2．9．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，∵BA＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∵BF平分∠ABE，∴AO＝OE，BO⊥AE，∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，∴tan∠OAF＝＝，∴＝，故答案为：．10．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示．∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，∴∠ECF＝90°．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF+∠FCB＝∠FCB+∠BCE＝90°，AC＝BC，∴∠ACF＝∠BCE．在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（AAS），∴S△ACF＝S△BCE，∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB+S△ABC．∵将直线y＝﹣3x向上平移3个单位可得出直线AB，∴直线AB的表达式为y＝﹣3x+3，∴点A（0，3），点B（1，0），∴AB＝＝，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC＝，∴S矩形OECF＝S△AOB+S△ABC＝×1×3+××＝4．∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，∴k＝4，故答案为：4．11．【解答】解：如图，延长BF交AD的延长线于Q，连接BE，设DE＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，AD＝BC＝5，∴∠Q＝∠CBF，∵DF＝FC，∠DFQ＝∠BFC，∴△BCF≌△QDF（AAS），∴BC＝DQ，QF＝BF，∵∠EFB＝90°，∴EF⊥QB，∴EQ＝BE＝x+5，∵CE⊥AD，BC∥AD，∴CE⊥BC，∴∠DEC＝∠ECB＝90°，∵CE2＝DC2﹣ED2＝EB2﹣BC2，∴（6）2﹣x2＝（x+5）2﹣52，整理得：2x2+10x﹣72＝0，解得x＝4或﹣9（舍弃），∴BE＝9，∴CE＝＝＝2，故答案为：2．12．【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，∵CF＝4cm，FB′＝1cm，∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，∵CB′⊥AD于点F，∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），∴∠HEC＝∠BCE＝45°，∴CH＝EH，∵＝sinB＝sinD＝＝，＝cosB＝cosD＝＝，∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，∴BE+BE＝5，∴BE＝cm，故答案为：．三．解答题（共4小题）13．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝4，∵AB＝4，则点A、B的坐标分别为：（2，0）、（6，0）；则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6）＝a（x2﹣8x+12）＝ax2﹣8ax+10a﹣1，则12a＝10a﹣1，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣6；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣6），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x﹣6，设PQ交AC于点H，设点P（t，﹣t2+4t﹣6），则点H（t，t﹣6），则△APC面积＝PH×AO＝6×|（﹣t2+4t﹣6﹣t+6）|＝|﹣t2+3t|，当点P在x轴上方时，则△APC面积＝﹣t2+3t，∵＜0，故△APC面积有最大值，当t＝3时，△APC面积最大值为：；当点P在x轴上方时，则△APC面积＝t2﹣3t，∵6＜t≤8，在t＞3时，△APC面积随t的增大而增大，∴当t＝8时，△APC面积最大，最大值为24，综上，△APC面最大值24．（3）存在，理由：设点P（t，﹣t2+4t﹣6），则点Q（t，6），在Rt△BCO中，tan∠OBC＝＝，则以C、P、Q为顶点的三角形与△OBC相似时，tan∠PCQ＝或3，即tan∠PCQ＝＝＝3或，解得：t＝2（舍去）或14或或．14．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝5，∴C（0，5），令y＝0，则x＝1，∴A（1，0），将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，得，∴，∴y＝x2﹣6x+5；（2）设M（m，m2﹣6m+5），令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，解得x＝5或x＝1，∴B（5，0），∴AB＝4，∴S△ABC＝×4×5＝10，∵△ABM的面积等于△ABC面积的，∴S△AMB＝6＝×4×（﹣m2+6m﹣5），解得m＝2或m＝4，∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，∴∠B'AD＝∠PAB，∵AB＝AB'，PA＝AD，∴△ADB'≌△APB（SAS），∴BP＝B'D，∵PB＝2，∴B'D＝2，∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，∵B（5，0），A（1，0），∴B'（1，﹣4），∵BF＝2，∴F（7，0），∴B'F＝2，∴DF的最大值为2+2，DF的最小值为2﹣2，∴2﹣2≤DF≤2+2．15．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AC与圆O相切于点D，∴OD⊥AC，即∠ODC＝90°，∵BC＝CD，BC＝DC，CO＝CO，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，即OB⊥CB，∴BC是圆O的切线；（2）证明：∵OD⊥AC，∴∠ADO＝90°．∵∠OBC＝90°，∴∠ADO＝∠ABC．又∵∠BAC＝∠DAO，∴△AOD∽△ACB，∴，∴AO•AB＝AC•AD；（3）解：∵∠OBC＝90°，∴，设AB＝3x，则BC＝4x．∵AB2+BC2＝AC2，∴（3x）2+（4x）2＝162，解得：x＝（舍去负值），∴AB＝，BC＝．∵OD⊥AC，∴，设OD