湖南省永州市冠一高级中学2024-2025学年高三下学期开学考试(实验班)数学试题（含答案）

永州冠一高级中学2025年高三开学考试（实验班）数学(满分150分时间120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程log3x＋2x－8＝0的解所在的区间是()．A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(5,6)2．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于()．A.eq\f(5,2) B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4) D.eq\f(15,2)3．若定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减且f(2)＝0，则满足xf(x＋1)≥0的x的取值范围是()．A．[－3,1]B．[－3,0]∪[1，＋∞)C．(－∞，－3]∪[0,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝3x＋a，则f(2021)＋f(2022)等于()．A．－4 B．－2C．2 D．4C．38 D．loga195．关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1>0(a<0)的解集为()．A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<1或x>\f(1,a)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,a)或x>1))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(1,a)))6．为了得到函数y＝lgeq\f(x－3,10)的图象，只需将函数y＝lgx的图象上所有的点()．A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝coseq\f(π,2)x，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是()．A．2 B．3C．4 D．58．若函数f(x)＝ax－k(a＞0，且a≠1)的图象经过定点(19,1)，且函数g(x)＝loga(x＋k－19)满足g(x1x2x3…x2023)＝19，则g(xeq\o\al(2,1))＋g(xeq\o\al(2,2))＋g(xeq\o\al(2,3))＋…＋g(xeq\o\al(2,2023))的值为()．A.eq\r(19) B．19二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．(多选)已知函数f(x)满足∀x∈R，f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，f(x)＝x2－eq\f(2,x)，则下列说法正确的有()．A．f(0)＝0B．f(－1)＝1C．f(x)在[－eq\r(2)，0)上单调递减D．∃x∈(－1,0)，f(x)>210．(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列结论正确的有()．A．a2＋b2≥eq\f(1,2) B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2 D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)11．(多选)将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则以下说法正确的有()．A．函数g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上单调递增B．函数y＝g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))对称C．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－g(x)D．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))≥g(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设实数x满足0<x<1，且logx4－log2x＝1，则x＝.13．若曲线y＝lnx在点(1,0)处的切线与曲线g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)相切，则m的值为.14．若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，则x的取值范围是．四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．16．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，点E，F分别在侧棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，C1F＝2FC，点D，G分别在AB，AC上，且BD＝2DA，CG＝2GA.(1)求证：点G在平面EFD内；(2)若∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AA1＝2，求二面角A1­AB1­C1的余弦值．第12题图17．在①S3＝a6，②S4＝20，③a1＋a4＋a7＝24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a3＝6，.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋an，求{bn}的前n项和Tn.18．设函数f(x)＝x2－2klnx(k＞0)．(1)当k＝4时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)试讨论函数f(x)在区间(1，eq\r(e)]上的零点个数．19．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>0)的左焦点为圆A：x2＋y2＋2x－15＝0的圆心．(1)求椭圆C的方程；(2)与x轴不重合的直线l经过椭圆C的右焦点B，与椭圆C交于M，N两点，过B且与l垂直的直线m交圆A于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．永州冠一高级中学2025年高三开学考试（实验班）答案(满分150分时间120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程log3x＋2x－8＝0的解所在的区间是(C)．A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(5,6)2．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于(A)．A.eq\f(5,2) B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4) D.eq\f(15,2)3．若定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减且f(2)＝0，则满足xf(x＋1)≥0的x的取值范围是(B)．A．[－3,1]B．[－3,0]∪[1，＋∞)C．(－∞，－3]∪[0,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝3x＋a，则f(2021)＋f(2022)等于(C)．A．－4 B．－2C．2 D．4C．38 D．loga195．关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1>0(a<0)的解集为(A)．A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<1或x>\f(1,a)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,a)或x>1))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(1,a)))6．为了得到函数y＝lgeq\f(x－3,10)的图象，只需将函数y＝lgx的图象上所有的点(D)．A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝coseq\f(π,2)x，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(A)．A．2 B．3C．4 D．58．若函数f(x)＝ax－k(a＞0，且a≠1)的图象经过定点(19,1)，且函数g(x)＝loga(x＋k－19)满足g(x1x2x3…x2023)＝19，则g(xeq\o\al(2,1))＋g(xeq\o\al(2,2))＋g(xeq\o\al(2,3))＋…＋g(xeq\o\al(2,2023))的值为(C)．A.eq\r(19) B．19二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．(多选)已知函数f(x)满足∀x∈R，f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，f(x)＝x2－eq\f(2,x)，则下列说法正确的有(ABD)．A．f(0)＝0B．f(－1)＝1C．f(x)在[－eq\r(2)，0)上单调递减D．∃x∈(－1,0)，f(x)>210．(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列结论正确的有(ABD)．A．a2＋b2≥eq\f(1,2) B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2 D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)11．(多选)将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则以下说法正确的有(BC)．A．函数g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上单调递增B．函数y＝g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))对称C．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－g(x)D．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))≥g(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设实数x满足0<x<1，且logx4－log2x＝1，则x＝eq\f(1,4).13．若曲线y＝lnx在点(1,0)处的切线与曲线g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)相切，则m的值为－2或4.14．若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，则x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解析】(1)因为△ABC的面积S＝eq\f(a2,3sinA)，且S＝eq\f(1,2)bcsinA，所以eq\f(a2,3sinA)＝eq\f(1,2)bcsinA，所以a2＝eq\f(3,2)bcsin2A.由正弦定理得sin2A＝eq\f(3,2)sinBsinC·sin2A，由sinA≠0，得sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由(1)得sinBsinC＝eq\f(2,3)，又cosBcosC＝eq\f(1,6)，因为A＋B＋C＝π，所以cosA＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)＝sinBsinC－cosBcosC＝eq\f(1,2).又因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，sinA＝eq\f(\r(3),2).由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝9①，由正弦定理得b＝eq\f(a,sinA)·sinB，c＝eq\f(a,sinA)·sinC，所以bc＝eq\f(a2,sin2A)·sinBsinC＝8②，由①②得b＋c＝eq\r(33)，所以a＋b＋c＝3＋eq\r(33)，即△ABC的周长为3＋eq\r(33).16．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，点E，F分别在侧棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，C1F＝2FC，点D，G分别在AB，AC上，且BD＝2DA，CG＝2GA.(1)求证：点G在平面EFD内；(2)若∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AA1＝2，求二面角A1­AB1­C1的余弦值．第12题图【解析】(1)如答图，连接FG，因为点E，F分别在侧棱BB1，CC1上，B1E＝2EB，C1F＝2FC，BB1∥CC1且BB1＝CC1，所以EB∥FC，且EB＝FC，所以四边形BCFE为平行四边形，所以EF∥BC.因为点D，G分别在AB，AC上，且BD＝2DA，CG＝2GA，所以GD∥BC，且GD＝eq\f(1,3)BC，所以EF∥GD，且GD＝eq\f(1,3)EF，故四边形DEFG为梯形，即D，E，F，G四点共面，所以点G在平面EFD内．第12题答图(2)由题意知A1B1，A1C，A1A两两垂直，建立如答图所示的空间直角坐标系A1xyz.由AB＝AC＝1，AA1＝2，得A1(0,0,0)，A(0,2,0)，B1(0,0,1)，C1(1，0,0)，所以eq\o(AC1,\s\up12(→))＝(1，－2,0)，eq\o(B1C1,\s\up12(→))＝(1,0，－1)．设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC1,\s\up12(→))＝x－2y＝0，,n·\o(B1C1,\s\up12(→))＝x－z＝0，))取y＝1，则x＝z＝2，所以n＝(2,1,2)．易知m＝(1,0,0)是平面AA1B1的一个法向量，所以cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(2,3)，即二面角A1­AB1­C1的余弦值为eq\f(2,3).17．在①S3＝a6，②S4＝20，③a1＋a4＋a7＝24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a3＝6，.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋an，求{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.若选择条件①：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝6，,3a1＋3d＝a1＋5d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))所以an＝2＋2(n－1)＝2n；若选择条件②：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝6，,4a1＋\f(4×3,2)d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))所以an＝2＋2(n－1)＝2n；若选择条件③：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝6，,3a1＋3d＝24，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))所以an＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)知，an＝2n，所以bn＝2an＋an＝22n＋2n，所以{bn}的前n项和Tn＝(41＋42＋43＋…＋4n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(4×1－4n,1－4)＋2×eq\f(1＋nn,2)＝eq\f(1,3)(4n＋1－4)＋n2＋n.18．设函数f(x)＝x2－2klnx(k＞0)．(1)当k＝4时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)试讨论函数f(x)在区间(1，eq\r(e)]上的零点个数．【解析】(1)当k＝4时，f(x)＝x2－8lnx，则f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－eq\f(8,x)＝eq\f(2x2－8,x)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表所示：x(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)，函数f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝4－8ln2，无极大值．(2)易知f(x)的最小值为f(eq\r(k))＝k－klnk，若函数f(x)有零点，则f(eq\r(k))≤0，解得k≥e.当k≥e时，函数f(x)在(1，eq\r(e)]上单调递减．又f(1)＝1＞0，f(eq\r(e))＝e－k≤0，所以函数f(x)在(1，eq\r(e)]上有一个零点；当0＜k＜e时，函数f(x)的最小值为正数，所以函数f(x)在(1，eq\r(e)]上没有零点．综上，当k≥e时，函数f(x)在(1，eq\r(e)]上有一个零点，当0＜k＜e时，函数f(x)在(1，eq\r(e)]上没有零点．19．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2