黑龙江省某校2025届高三上学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页黑龙江省某校2025届高三上学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关系正确的是(

)A.0∉N B.3∈Q

C.Z∈Q 2.若sinθ=−22且tanθ=1同时成立，则A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角3.若向量a，b满足a−b=1，a+2b=3，a，A.13 B.33 C.24.下列不等关系中a<b的充分条件是(

)A.log0.3a<log0.3b B.a=−1.43；b=−1.535.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E和点F分别在AA.EF与BD1异面 B.EF与A1D和AC都垂直

C.EF与BD1相交 D.6.已知正项等差数列an满足a1+a3A.2 B.2024 C.1012 D.40487.函数fx=23cosωx−π2⋅cosωx−2sinA.−14π9,π4 B.−14π8.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，⋯，以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2025被7除的余数为(

)

A.2 B.1 C.3 D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆C:x2+y2−4x−4y+7=0，点PA.点O在圆外 B.PO的最小值为7−1

C.a+b的最小值为4−2 10.已知复数z，则下列说法正确的是(

)A.若|z|=2，则z=±2 B.若z+2i∈R，则z的虚部为−2

C.若z2>0，则z∈R D.若|z|=111.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，C上不同两点Ax1,y1，Bx2,y2，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点A.AM⋅BM最小值为4 B.PF的最小值为32

C.使得AB=4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线x=1与双曲线x2−y23=1的两条渐近线分别交于A，B13.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，若D14.若过点2,m可作出曲线fx=x3−3x的三条切线，则四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在锐角▵ABC中，AB=3，BC=7(1)求∠A；(2)若D为AC的中点，求cos∠DBC．16.(本小题12分)已知在平面直角坐标系xOy中，两定点A−3,0，B3,0，直线MA，MB相交于点M，且它们的斜率之积是(1)求点M的轨迹方程Γ，并指出Γ的形状．(2)若直线l:y=kx−1与点M的轨迹交于P，Q两点，求证：直线AP与直线BQ的交点G在定直线x=9上.17.(本小题12分)函数fx=a(1)讨论函数fx(2)若不等式fx1−fx2x2−18.(本小题12分)如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，PA=6，AB=23，(1)求三棱锥P−ABC的体积；(2)在线段PA上试确定一点M，使得平面MBC，经过三棱锥P−ABC内切球的球心，并求PMMA的值．19.(本小题12分)对于一个有穷整数列Q:a1，a2，⋯，an，对正整数m∈N∗，若对于任意的n∈1,2,⋯,m，有穷数列Q中总存在ai，ai+1，⋯，ai+j，自然数j≥0使得ai+ai+1+⋯+ai+j=n，则称该数列为1到m连续可表数列.即1到m中的每个数可由Q中的一个或连续若干项表示，而m+1不可由Q中连续若干项表示.例如数列2，1，3则a2=1，a1(1)数列Q1:1，1，1，1，1是否为1到5连续可表数列？若数列Q2:2，1，4是一个1到(2)若有穷数列Q:a1，a2，⋯，an其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列(等比数列本身也可看作准等比数列)，调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列a1，a2，⋯，an为1(3)对正整数n，g∈N∗g≥2，存在唯一的数列a1，⋯，am使得，n=a1⋅g0+a2⋅g1+⋯+am⋅gm−1，且满足am≠0，0≤ai≤g−1，i=1，2，3…m数列a1⋅g0，a参考答案1.D

2.B

3.D

4.D

5.B

6.C

7.C

8.D

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.213.214.−6,2

15.(1)∵AB=3，BC=7由正弦定理得：ABsinC=BCsin又因为A为锐角，∴A=π(2)在▵ABC中由余弦定理得：B∴AC2−3AC+2=0，∴AC=2若AC=1，则cosC=AC2∴AC=2，因为D为中点，∴AD=1∴在▵ABD中，B∴BD=∴在▵BCD中，cos

16.(1)设点M的坐标为x,y，因为A−3,0，所以直线AM的斜率为k因为B3,0，所以斜率为k由已知得yx+3×y故形状为焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为25，除去A−3,0(2)联立x29+y2如图，设Mx1,y1，N而x1直线AP:y=y1x联立两直线得到y1整理得x=3x故直线AP与直线BQ的交点G在定直线x=9上.

17.(1)f′x=所以f′x>0⇔x−a当a>1时f′x>0⇔x>a或0<x<1；所以此时fx在0,1上单调递增，在1,a上单调递减，在a,+∞上单调递增，当0<a<1时f′x>0⇔x>1或0<x<a；所以此时fx在0,a上单调递增，在a,1上单调递减，在(1,+∞当a=1时f’(x)≥0恒成立，所以此时fx在当a≤0时f′x>0⇔x>1；所以此时fx在0,1上单调递减，在(1(2)由fx1−fx2x2alnx设gx有gx1<gx2即ax+x−3≥0，其中x>0所以a≥x3−x，又x3−x≤同时a=94时，gx

18.(1)∵PA⊥平面ABC，AB,BC⊂平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，在Rt△PAB内过A作AD⊥PB，则D异于P，B两点，∵平面ABC⊥平面PBC，且交线为PB，AD⊂平面PAB，则AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC，又PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，设三棱锥P−ABC的体积为V，故V=13由(1)BC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，则BC⊥AB．又PA⊥平面ABC，过点B作平面ABC的垂线BN，则BN//AP．如图，分别以BC,BA,BN所在直线为则B0,0,0∵内切球与平面PAB且与平面ABC相切，设内切球半径为r，∴可设内切球球心为Or,t,r，又PB=由VP−ABC所以有12解得r=1，则O1,t,1设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，AP故6z=06x−23y=0，令则n=1,由内切球球心性质得球心O到平面PAC的距离d等于半径1，由AO=则d=AO⋅nn=又7所以t=3，即球心设平面BOC的一个法向量为r=(又BO=1,故6x0=0x0则r=0,1,−若M在线段PA上，则可设M0,23若平面MBC经过三棱锥P−ABC内切球的球心O，即O,M,B,C四点共面，则BM⊥r，故BM⋅r=2故当点M位于线段PA靠近点A的三等分点处，平面MBC经过三棱锥P−ABC内切球的球心O，且PMMA

19.(1)依题意设数列Q1的通项为a则a1=1，a1a1+a由于数列只有5项，不可能表示大于等于6的正整数，故数列Q1为一个1到5对于数列Q2，设其通项为b该数列的b2=1，b1=2，b1而6无法用连续的项表示出来，故该数列为1到5连续可表数列，得到m=5．(2)当准等比数列公比为1，−1，2，−2时，可以对应构造数列Q1:1，1，1，1，1，Q2:1，1，1，1，1，−1，−1，−1，−1，−1，Q3:2，1，4Q其中由(1)可知Q1，Q2，Q3为1对于最后一个数列Q4，有1=−1+2，2=23=8+−4+−1，4=8+而6不能连续若干项表示，故这数列也为1到5连续可表数列，现在，假设q∈Z，满足q≥3数列Q:a1，a2，…，an为一个公比为q的则可以设ai其中m1，m2，…,mn为0，则该数列的连续表出具有ai其绝对值不小于a，由于1可以被表出，有1≥a，故a=1或a=−1如果a不参与表出1到5，则ai+a故可提出q，即ai由于a⋅q≥3，q而a⋅qq无法表示1,2这个数字，故1,2的表出有a的参与，如果a参与表出1和2，有两种可能，一是当a独立表出1,2，二是a与其他若干项一起表出，若当a和其他项一起表出时，其他项绝对值不小于3的数而a为1或−1，所以a与其他若干项一起表出其绝对值不小于2.故1只得由a独立表出，所以a=1，现在，2的表出是1和一个绝对值不小于3的值之和，故不大于−2，不小于4，矛盾.所以q≥3综上q的可能取值为1,2,−1,−2(3)我们在(2)中的论证可以推出更一般的结论：1至5连续可表的数列，如果满足c1⋅gm1，c则其中一项必定为1或−1，且g≤2从而当g≥3时，任一个g进制残片都不可能排列成一个1至5