七年级数学上册知识点练习专题47 动角问题专项训练（40道）（举一反三）（华东师大版）（解析版）

专题4.7动角问题专项训练（40道）

【华东师大版】

考卷信息：

本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的

所有类型！

一.解答题（共40小题）

1.（2022•吉林白山•七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90。，就称这两个角互为垂

角，例如：01=120%|01-02|=90°,则团1和团2互为垂角.（本题中所有角都是指大于0。

且小于180。的角）

⑴如图1所示，O为直线AB上一点，0AOC=9O。，则0AOO垂角为和；

⑵如果一个角的垂角等于这个角的补角的；,求这个角的度数；

⑶如图2所示，。为直线48上一点，a40c=90。，鲂。0=30。，且射线OC绕点。以9%

的速度逆时针旋转，射线0。绕点。以6。/5的速度顺时针旋转，两条射线。C、OD同时运

动，运动时间为闾0V.V20）,试求当/为何值时，乙4。（?和乙4。0互为垂角.

【答案】（1）田。0。，^AOE

（2）18。或126°

（3）2$或14s

【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解；

（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的$作为等量关系列方程求解；

（3）根据所有角都是指大于0且小于180。的角，可分0V1V5,5V/V10,10V/V20三种情

况讨论，并建立相应的方程求解后可得符合题意的t的值.

（1）

团财OC=90。，回£00=90°,

00AOD-0COD=9O0,财。O-财。£=90°,

（MOO的垂角是BCO。和MOE；

故答案为：团C。。，0AOE；

(2)

设这个角的度数为x度，则

①当0VxV90时，它的垂角是(90+x)度，根据题意得：

90+x="180-A-),

解得：x=18；

②当90VxV180时，它的垂角是(厂90)度，根据题意得：

x-90=^(180-x),

解得：x=126,

回这个角的度数为18。或126°；

(3)

分三种情况：

①当0V/V5时，财。C=(90-9f)°,EAOD=(150+6f)0,

0(15O+6z)-(90-9。=90,

解得t=2；

②当5<yio时，0AOC=(9O0400=(210-6f)°,

0(210-6r)-(90-90=90,

解得t=-10(舍去)；

③当10V/V20时，(MOC=(9L90)°,0400=(210-6。°,

0(210-6r)-(9/-90)=90,

解得:r=14.

综上所述：/的值为2s或14s时，刻OC和财。。互为垂角.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和新定义以及角的有关计算等知识，解此题的

关键是理解题意，能准确从图中找出角之间的关系，并利用方程模型计算出结果.

2.(2022•四川成都•七年级期末)如图1,点、D、0、4共线且13c00=20。，国80c=80。，

射线OM,ON分别平分财。8和明OO.

如图2,将射线0£>以每秒6。的速度绕点O顺时针旋转一周，同时将(3B0C以每秒4。的速度

绕点0顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，勖OC停止运动.设射线OO的运动时

间为£.

图1图2

⑴运动开始前，如图1,团40M=。，BDON=•；

⑵旋转过程中，当f为何值时，射线08平分财ON?

⑶旋转过程中，是否存在某一时刻使得0A/ON=35。？若存在，请求出，的值；若不存在，请

说明理由.

【答案】(1)40°,50°

⑵当，为10时，射线08平分(MOM

⑶存在，符合条件的，的值为g或25.

【分析】(1)根据角平分线的定义直接计算即可；

(2)根据列方程求解即可；

(3)分情况根据团MON=35。列方程求解即可.

(1)

解：00COD=2O°,勖0080°,

团团80。=20°+80°=100°,

吼408=180°-m80。=180°-100°=80°,

回射线OM,ON分别平分财。8和明。£),

团财OM=^L4O8=4(T,厘DON/BOD=50。,

22

故答案为：40,50：

⑵

解：0射线0。以每秒6。的速度绕点O顺时针旋转，(38OC以每秒4。的速度绕点。顺时针旋

转，

00fiOD=lOOo+4o/-6,,/=lOOo-20/,

回财。庆180°-80°-20°-4°/=80°-4%

畛(100°-2°r)=80°-4°/,

解得：=10,

国当，为10时，射线0B平分0AON：

⑶

解：存在某一时刻使得回MON=35。，分以下两种情况：

①0M在。4上方，

此时团N08+汕OM=35°,

即3（100°-2°r）4x（80M°r）=35°,

解得r=y,

②0M在04下方，

即夫（100o-2or）+1（4980°）=35%

解得/=25,

综上，符合条件的，的值为g或25.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据角的关系列方程求解是解题的关键.

3.（2022・重庆•西南大学附中七年级期中）如图①，已知乙40B,在乙4。8内部画射线0C,

得到三个角，分别为乙40C、NBOC、LAOB.若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍,

则称射线0C为乙4。8的“幸福线〃.（本题中所研究的角都是大于0。而小于180。的角.）

⑴角的三等分线这个角的“幸福线〃（填“是〃或"不是”）;

⑵如图①，乙40B=45。，射线0C为乙408的悻福线〃，求乙40c的度数；

⑶如图②，已知乙408=60。，射线0M从。力出发，以每秒20。的速度绕。点逆时针旋转，同

时，射线0N从。8出发，以每秒15。的速度绕。点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0<CV

9）.若0M、ON、04三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的"幸福线"，

求出所有可能的t值.

【答案】⑴是；

（2）15°,33.75°,11.25°,30°；

（3）t=置或t=（或t=6.

【分析】（1）若OC为财OB的三等分线，则有4力。8=3乙40C,符合“幸福线”的定义;

（2）根据"幸福线"的定义可得当匕40B=3NA0C时，当乙40C=348OC时，当乙BOC=

3/A0C时，当乙4。3=348。（?时，然后根据角的和差关系进行求解即可；

(3)由题意可分①当0<£<4时ON在与0A重合之前，则有4M04=203乙4ON=60—

153由OA是KM0N的"幸福线”可进行分类求解：②当4VCV9时，ON在与OA重合之后，

则有乙4ON=15t-60,乙MON=5t+60,由ON是乙4OM的"幸福线"可分类进行求解.

(1)

解：若OC为财08的三等分线，则有乙4。8=3NAOC,符合“幸福线”的定义，所以角的三

等分线是这个角的"幸福线〃；

故答案为：是.

(2)

解：由题意得：

国乙408=45。，射线0C为乙408的"幸福线"，

团①当々40B=3NA0CH寸，贝！)有：/-AOC=15°；

②当NAOC=3乙80c时，则有N40C==33.75°；

③当480c=3/1A0C时，贝IJ有4HOC=工乙408=11.25、

④当/AOB=3±B0C时，则有：LBOC=15°；Z-AOC=30°：

综上所述：当射线0C为44。8的"幸福线"时，M0C的度数为15。，33.75。，11.25°,30。：

(3)

解：^AOB=60°,

回射线ON与OA重合的时间为60。+15。=4(秒)，

回当OvtW4时ON在与0A重合之前，如图所示：

团NM04=20t°,/-AON=660-15t；°,

04是NM0N的“幸福线〃，则有以二三类情况:

①zM0A=3iM0N,即20t=3(201+60—15。，t=36(舍去)，

②/MOA=3乙AON,即20t=3(60-15£),t=工,

③乙40N=3Z.MOA,即60-15t=3x20t,t=-；

④N40N=3乙MON,即60-15t=3X(60+5t),t=-4(舍去)；

当4V£V9时，ON在与。4重合之后，如图所示:

MA

¥--------------B

⑦乙MON=（St+60）%Z,AON=（15t-60）°,

ON是乙40M的“幸福线”，则有以二三类情况：

①/M0N=3NM04即5£+60=3X2031=算（不符合题意，舍去），

②NN0A=34M0A,即15t-60=3X203t=（不符合题意，舍去）；

③/M0N=3zJV04即5£+60=3（15"60）,t=6；

④NN0A=34M0N,即151—60=3（5t+60）,t不存在；

综上：七=工或"：或"6.

【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算

及角之间的和差关系是解题的关键.

4.（2022•四川成都•七年级期末）【阅读理解】

定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别

与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和

谐线如图1,点P在直线/上，射线PR,PS,PT位于直线/同侧，若PS平分酬PT,则

有团RP7=2（3RPS所以我们称射线PR是射线P5,PT的“双倍和谐线”.

图1图2备用图

【迁移运用】

⑴如图1,射线PS（选填"是"或"不是"）射线PR,尸丁的“双倍和谐线”；射线PT（选

填"是"或"不是"）射线PS,PR的，双倍和谐线”；

⑵如图2,点。在直线MN上，OA工MN,财06=40。，射线。。从ON出发，绕点。以每

秒4。的速度逆时针旋转，运动时间为/秒，当射线OC与射线QA重合时，运动停止.

①当射线04是射线。8,OC的〃双倍和谐线”时，求，的值；

②若在射线OC旋转的同时，勖08绕点O以每秒2。的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，

射线0。平分财OB.当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM,OD的“双倍和谐

线”时，求团CON的度数.

【答案】(1)不是；是

⑵①3或g；②160°或172°

【分析】(1)利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；

(2)①由题意得：财0。=90。-4。/,0408=40。，利用分类讨论的思想方法分0Aoe=2MOB

或财O8=2MOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；

②由题意得：ElCON=4°f,ELAOAMCr+Z%(M00=20°,WON=^AON-^AOD=70o+2°t,利用分

类讨论的思想方法分团COM=2(3COZ)或13co0=20COM两种情况讨论解答，依据上述等式列

出方程，解方程即可求得结论.

(1)解：I3PS平分13RP7；(Z0/?P5=HTPS,用射线PS不是射线PR,PT的“双倍和谐线”；0P5

平分I3RP。007PR=2团7ps.但射线P7是射线PS,PR的“双倍和谐线故答案为：不是；是;

(2)①由题意得：^AOC=90°-4°b0Ao8=40。.回射线04是射线08,0C的“双倍和谐线”,

00400=2a4。△或当a4OO20AO2时，如图，

则：904=2x40.解得：色，当(M0B=2M0C时，如图,

则：40=2(90-4?).解得：/=y.综上，当射线04是

射线03,0C的“双倍和谐线”时，/的值为3或卷②由题意得：团。。扉=4。3M。2=90。+2。/,

EL400=20°,^D0N=^A0N-^A0D=lQ°+2,,t.团当射线0C与射线。4重合时，运动停止，团此时

财0AH2C0M090+2/=4/.Hr=45.团当f=45秒时，运动停止，此时MON=180。.团射线0C位

于射线0。左侧且射线0。是射线0M,0。的“双倍和谐线"，国COM=2(3COO或

回C0D=2团COM.当团COM=2团COO时，如图,

0CONeDON),贝I」：180-4z=2(4r-70-2r).解得：Z=40.00CON=4°x4O=16O°.当团COO=213COM

时，如图,

(70+2/)=2(180-4/).解得：［=43.00coN=4。、43=172。.综上，当射线。。位于射线0。

左侧且射线OC是射线OM,0。的“双倍和谐线"时，团C0N的度数为160。或172。.

【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新

定义是解题的关键.

5.(2022•浙江金华•七年级期末)阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格

分成5个小格，所以每个大格对应的是30。角，每个小格对应的是6。角，时针每分钟转过的

角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度.

12

6

⑴解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数.

(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针.

⑶设在8：00时，分针的位置为0A,时针的位置为08,运动后的分针为0P,时针为0Q.问:

在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB,OP,0Q这三条射线，其中一条射

线是另外两条射线所夹的角的平分线？

【答案】(1)75°

⑵詈分钟

⑶詈分钟或罢分钟或48分钟

【分析】(1)根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹的锐角的度数；

(2)计算出8：00时时针与分针所夹钝角的度数，设x分钟后分针第一次追上时针，利用

追击问题列方程，即可求解；

（3）分08平分NQOP,OP平分NQOB,0Q平分NPOB三种情况，利月角的和、差、倍数关

系列方程，即可求解.

（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，2.5乂30。=75。，即分针与时针所夹

的锐角的度数是75。.

（2）解：设x分钟后分针第一次追上时针•.8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格，

8x3（r=240。，由题意，6x-0.5x=240,解得％=詈，即8：00开始詈分钟后分针第一

次追上时针.

（3）解：设运动，〃分钟后，0B,OP,0Q这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹

的角的平分线.分三种情况:

图①图②图因③如图…①，当。8平

=乙POB,00.5m=240-6m,解得m=等；如图②，当0尸平分“。8

时，Z-QOB=2/-POB,00.5m=2（6m-240）,解得血=翳；如图③，^OQ^Z-POB^i,

乙POB=2乙QOB,（36m-240=2x0.5m,解得m=48；综上，运动詈分钟或翳分钟或

48分钟后，OB,OP,0Q这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，以及角平分线的定义，能够计算出任一时刻时针与

分针之间的角度是解题的关键.

6.（2022•贵州铜仁•七年级期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进

行实践探究，用一副三角尺（分别含45。，45。，90。和30。，60%90。的角）按如图所示摆放

在量角器上，边尸。与量角器180。刻度线重合，边AP与量角器0。刻度线重合，将三角尺

绕量角器中心点P以每秒10。的速度顺时针旋转，当边PB与180。刻度线重合时停止运动，

设三角尺ABP的运动时间为，秒.

B

(1)当£=5时，Z-BPD=°；

⑵若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCO也绕点P以每秒2。的速度逆时针旋转，当

三角尺A8P停止旋转时，三角尺PCO也停止旋转.

①当r为何值时，边PB平分乙CPD；

②在旋转过程中，是否存在某一时刻使NBPD=2乙4PC,若存在，请求出f的值；若不存

在，请说明埋由.

【答案】(1)85

(2)①当咛时，边PB平分团CPD：②当r=得或咛时，0BPD=20APC.

【分析】(1)当上5秒时，计算出边8尸旋转的角度的大小即可得出结论；

(2)①如图1,根据尸B平分(3CPQ,利用角平分线的定义可得(aCPE=l2BPD=^CPD=30。，

利用含，的代数式分别表示出团MPB和MPD的度数，列出关于f的方程，解方程即可求解；

②设时间为，秒，则⑦DPN=2°i,分两种情况说明：0)当在PC左侧时，如

图2所示：0)当附在PC右侧时，如图3,根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可

求得结论.

(1)

解：当/=5秒时，由旋转知，边BP旋转的角度为:10々5=50。，

00BP£>=180°-(45°+50°)=85°,

故答案为：85；

(2)

解：①如图1所示：

A

图1

由题意得：回MP8=10，+45°,团。尸N=2。，.

团尸8平分团CP。；

回国。。8=国8尸。=见。尸£>=30°,

由团WPN=0A〃4+MPO+团。PN=180°得:

10°什45°+30°+2°/=180°,

解得，号

4

团当上当时，边尸8平分E1CP。：

4

②在旋转过程中，存在某一时刻使回8PQ=2(MPC

同运动时间为，秒，则财PM=10",⑦DPN=2°b

,,f,,

mBPD=180'-45'-lQ'T-2'l=135''-12,lf

^BPD=2BAPC,

01350-12°/=2(120°-12°/),

解得：号

4

因为当/=当时，运动的情况刚好同解答图的图1,

此时回3PQ=30。，0Ape=15。，回80。=2财PC.是成立的;

0)当外在尸。右侧时，如图3所示：

A

MPN

图3

此时，a4PC=10or+2or+60<,-180o=12oM20°,

ooac

^BPD=130°-^5-10t-2t=1350-12tt

团圆8PD=2财PC,

01350-12°^2(12*7-120°),

解得：喈.

当P8在PO的右侧时，MPC=12/120。，0BPD=12°r-135°,

则12%1350=2(12°M20°),

解得：w，

4

此时P8在PD的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去.

综上所述，当/=墨或/=日时，0BPD=20APC.

【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，角平分线的定义,

角的计算，一元一次方程的应用，设运动的时间为人用含，的代数式表示出MPC与m8尸短

的值是解本题的关键.

7.(2022•浙江宁波♦七年级期末)如图1,已知/40B=120。，射线0P从。力位置出发，以

每秒2。的速度按顺时针方向向射线。8旋转；与此同时，射线。Q以每秒4。的速度，从0B位

置出发按逆时针方向向射线0A旋转，到达射线。4后又以同样的速度按顺时针方向返回，当

射线OP与射线。8重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为/(s).

图1图2

⑴当t=5时，求"0Q的度数;

⑵当0P与0Q重合时，求£的值；

⑶如图2,在旋转过程中，若射线0C始终平分乙AOQ,问：是否存在t的值，使得“0Q=

乙COQ?若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，POQ的度数为90。

⑵t的值为20或60

(3)存在,t的值为15或22.5或45

【分析】(1)根据题意可得：当t=5时，乙40P=10。，LBOQ=20°,即可求解；

(2)分两种情况：当射线OQ没有到达射线04OP与OQ重合时，当时线OQ到达射线。4后

返回，OP与OQ重合时，即可求解；

(3)分三种情况：当0VtW20时，当20<£工30时，当30VtW60时，即可求解.

(1)

解：当£=5时，

LAOP=2°x5=10°,乙BOQ=4°x5=20°,

^AOB=120°,

⑦乙POQ=Z.AOB-Z,AOP-乙BOQ=90°；

(2)

解：当射线OQ没有至U达射线OA,OP^OQ^^i,Z.AOP+LBOQ=LAOB=120°,

根据题意得：Z-AOP=2°xt,LBOQ=4°Xt,

02°xt4-4°xt=120°,

解得：£=20；

当射线OQ至I」达射线04后返回，OP与0Q重合时，Z.AOQ=Z.AOP,

根据题意得：/.AOQ=4°xt-120°,Z.AOP=2°xt,

02°xt=4°xt-120°,

解得：£=60；

综上所述，当OP与OQ重合时，£的值为20或60；

(3)

解：存在，£的值为15或22.5或45,使得乙POQ=LCOQ,理由如下：

由(2)得：当t=20时，0P与0Q第一次重合，当亡=攀=30时，0Q到达射线0A,当亡二

.=60时，射线0P与射线0B重合，

当0VtW20时，/.AOP=2°xt,乙BOQ=4°xt,

⑦乙POQ=120°-2°xt-4°xt=120°-6°xt,Z.AOQ=120°-4°xt,

回射线OC平分乙40Q,

团乙COQ=^AOQ=60°-2°xt,

团匕POQ=Z.COQ,

012O°-6°xt=60°-2°xt,

解得：£=15；

如图，当20VCW30时，Z.AOP=2°xt,Z.BOQ=4°xt,

(3NB0P=120°-2°xt,£A0Q=120°-4°xt,

团乙POQ=6°xt-120°,乙COQ=\LAOQ=60°-2°xt,

回iPOQ=乙COQ,

06oxt-12Oo=6Oo-2°xt,

解得：£=22.5；

如图，当30Vt£60时，^AOP=2°xt,LAOQ=4°xt-120°

=120°-2°xt,Z.COQ=^AOQ=2°xt-60°,

□ZPOQ=120°-（4°xt-120°）-（120°-2°xt）=120°-2°xt,

团120°—2°xt=2°xt-60。，

解得：t=45；

综上所述，当t的值为15或22.5或45时，使得WPOQ=NCOQ.

【点睛】本题主要考查了有关角平线的计算，角的和与差，利用方程思想解答和分类讨论思

想解答是解题的关键.

8.（2022・福建•）！门市逸夫中学七年级期末）如图，两条直线AB,CD相交于点O,且

□AOC=90°,射线OM从08开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15%，射线ON同时从0。

开始绕O点顺时针方向旋转,速度为127s.两条射线OM,ON同时运动，运动时间为，秒.（本

题出现的角均小于平角）

(1)当Z=2时，^MON=,B40N=

⑵当0Vf<12时，若aAOM=3MON=60。.试求出，的值;

(3)当0<7<6时,探究型”嗡卫竺的值，问：/满足怎样的条件是定值；满足怎样的条

Z.MON

件不是定值？

【答案】⑴144。,66°

(2岁秒或10秒

々BON-NCOM+N40crz■/山nA%iz10,上「_i.cBON-NCOM+ZJ40cl日/北

(3)当OVtV号时,———1的l值是L当了VtV6时rI，一——l的t值不是定值

【分析】(1)根据时间和速度分别计算团BOM和团。ON的度数，再根据角的和与差可得结

论；

(2)分两种情况：①如图所示，当OVM7.5时，②如图所示，当75V/V12时，分别根

据已知条件列等式可得/的值；

(3)分两种情况，分别计算团80M回COM和(WON的度数，代入可得结论.

⑴

由题意得：

当六2时，

团MON=(38OM+国80Q+团。ON=2xl5°+90°+2xl2°=144°,

(M02M0D破CW=90°-24°=66°,

故答案为：144%66°：

⑵

当ON与0A重合时，r=904-12=7.5(s)

当OM与0A重合时，/=180°vl5=12(s)

如图所示，①当0VE7.5时，(L4ON=9(T-12/。，BAOM=130°-15f

（9。3）-6。，解得吟

综上，，的值为三秒或10秒;

⑶

当(3MON=180°时，(38OM+0BOD+(3DON=18O°,

015/+90+12/=180,解得六学

如图所示，①当0V/V弓时，0COAf=9O°-15/°,班ON=90°+12f°,

同“。呼=(350知+280£)+团。。2=151+90°+12/°,

^Z.BON-Z.COM+Z.AOC900+12f-(90°-15f)+90°./占任

0----------——----------------=---------------:------：---;----=1(定值.

LMON15t+90+12t

②当/〈£<6时，团COM=90°-15〃，0BO/V=9Oo+12/°,

c.M

团MON=360°-（BBOM+BBOD+BDON）=360°・（15/+90°+12/）=270°-27/%

乙BON-Z.COM+Z.AOC

乙MON

_90°+12f-（90°-15t°）+90°

=270°-27r

270-27t

0（不是定值）.

综上所述，当0<f<F时，人丝三等丝£的值是1；当产VfV6时，也三寨三丝£的值

不是定值.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的和差关系的计算，解决问题的关键是将

相关的角用含Z的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解

题时注意方程思想和分类思想的灵活运用.

9.（2022•福建・泉州七中七年级期末）如图1,O为直线AB上一点，过点O作射线OC,MOC

=30°,将一直角三角尺（团M=30。）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一

边OM与。。都在直线AB的上方.

图1图2图3

（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5。的速度，沿顺时针方向旋转，秒，当OM恰好平

分回80c时，如图2.

①求，值；

②试说明此时ON平分MOC；

（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设MON=a,⑦COM=£,当ON在0Aoe内部

时，试求a与4的数量关系；

（3）如图3若财OC=60。，将三角尺从图1的位置开始绕点O以每秒5。的速度沿顺时针方

向旋转.当ON与0C重合时，射线OC开始绕点O以每秒20。的速度沿顺时针方向旋转，

三角尺按原来的速度和方向继续旋转，当三角板运动到OM边与QA第一次重合时停止运

动.当射线。。运动到与第一次重合时停止运动.设三角形运动的时间为人那么在旋

转的过程中，是否存在某个时刻，使得OM0M两条边所在的射线及射线0C,三条射线中

的某一条射线是另两条射线的角平分线？若存在，直接写出所有满足条件的，的值，若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）①r=3；②见解析；（2）p=a+60o；（3），=15或/=24或r=54

【分析】（1）①求出团BOC,利用角平分线的定义求出MOM,进而求出MON,然后列方

程求解；

②求出（3C0N=15唧可求解；

（2）用含，的代数式表示出a和B，消去f即可得出结论；

（3）分三种情况列方程求解即可.

【详解】解：（1）①鼬AOC=30。，

00COA/=6O°,0fiOC=15O°,

（3OM恰好平分团8OC,

^BOM=^BOC=75°,

2

团财ON=18（T-900-75°=15°,

05r=15,

0f=3；

②0040030°,M0N=15°,

团团C0N=15。，

但此时ON平分财OC；

（2）由旋转的性质得，M0N=a=5/①，团COM=P=600+5/②，

把①代人②，得

万=夕+60°；

（3）当ON与0C重合时，60+5=12秒，

当0C与0A重合时，（36560）+20+12=27秒，

当OC平分E1MOM且。。未与OA重合时，则EICON=45。，

由题意得,60+20(r-12)-5r=45,

解得=15；

当0M平分团COM且OC未转到。4时，则aCON=180。,

由题意得，60+20(/-12)-5/=180,

解得7=24；

当OM平分团COM且。。转到OA时，则MOM=90。,

即二54,

综上可知，当r=15或六24或/=54时，ON,OM两条边所在的射线及射线OC,三条射线

中的某一条射线是另两条射线的角平分线.

【点睛】本题考查了角的和差，隹平分线的定义，以及一元一次方程的定义，正确识图是解

答本题的关键.

10.(2022•江苏盐城•七年级期末)【阅读理解】

射线OC是内部的一条射线，若13coA=^80C,则称射线OC是射线04在财08内

的一条"友好线".如图1，财08=60。，财OC=20。，则MOC=^8OC,所以射线0C是射

线OA在财08内的一条"友好线".

【解决问题】

(1)在图1中，若作(38OC的平分线0D,则射线OD射线0B在财。B内的一条“友

好线"；(填"是"或"不是”)

(2)如图2,MO5的度数为射线0M是射线在财08内的条“友好线〃,0N平分m08,

贝胞MON的度数为；（用含〃的代数式表示）

（3）如图3,射线。8从与射线0A重合的位置出发，绕点0以每秒3。的速度逆时针旋转;

同时，射线0C从与射线0A的反向延长线重合的位置出发，绕点。以每秒5。的速度顺时针

旋转，当射线0C与射线QA重合时，运动停止.问：当运动时间为多少秒时，射线0A、

OB、OC中恰好有•条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的•条

"友好线"?

oA

备用图

【答案】（1）是；⑵和；（3）/或瑞或一或30秒

【分析】（1）根据〃友好线”定义即可作出判断;

（2）根据“友好线”定义即可求解:

（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可.

【详解】解：（1）团。8是团BOC的平分线,

^BOD=^COD,

^COA=^BOC,

2

团贴。。=观。。，

（3射线0。是射线。8在（M08内的一条"友好线".

（2）团射线0M是射线0B在财0B内的一条"友好线"，M08的度数为〃，

33

回ON平分0AO8,

团贴。N=#L4O8=）,

团圆MON=E1BON-BBOM=-n--n=-n；

236

（3）设运动时间为x（壮36）秒时，射线。4、OB、0C中恰好有一先射线是其余两条射线

中某条射线的“友好线”.

当射线。8是射线OA在0Aoe内的一条“友好线"时，则财08=扣COB,

所以3x=,（180-5x-3x）,

解得x=/（符合题意），

即运动时间为三秒时，射线。B是射线OA的“友好线”.

当射线OB是射线OC在0AOC内的一条“友好线"时，则EICO8=#L4OB,

所以180-5x-3.v=^x3x,

解得工=鬻(符合题意)，

即运动时间为鬻秒时，射线08是射线0C的“友好线”.

当射线0C是射线0B在财。8内的一条“友好线"时，则EICO8=fL4OC,

所以3x+5x-180=3(180-5x),

解得x=—(符合题意)，

即运动时间为一秒时，射线0C是射线0B的“友好线”.

当射线0C是射线OA在财。8内的一条“友好线"时，则财0。=躯COB,

所以180-5x=1(5A+3.V-180),

解得x=30(符合题意)，

即运动时间为30秒时，射线0C是射线OA的“友好线”.

综上所述，当运动时间为三或等或一或30秒时，符合题意要求.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答

是解题的关键.

11.(2022•湖北武汉•七年级期末)定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，

若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线

(1)如图1,^AOB=120°,射线0。为财0B的"二倍角线"，则0AOC=.

(2)如图2,射线08为缶COO的“二倍角线"，且团。OB=2(38OC.射线OM、ON分别为M0C、

团80。的平分线，问“鸳蓝"的值是否为定值?若是，求出其值；若不是，请说明理由；

(3)如图3.已知财。8=120。，射线0C、0£＞为财08的“二倍角线〃，且出CO5=2(MOC.[M。。

=2^BOD,将(3C。。绕点。以10。/秒的速度顺时针转动，运动时间为，秒(0WW14),射线

OM、ON分另ij为MOC、回80。的平分线.OB、OM、ON三条射线中，一条射线恰好是以另

外两条射线为边组成的角的"二倍角线"，直接写出I所有可能的值.

【答案】⑴6。。或8。。或4。。.；⑵人守的值是定值，定值为2；⑶12秒或g秒.

【分析】(1)根据“二倍角线”的概念分三种情况讨论，分别求解即可；

(2)根据角平分线的定义得到乙40M=NCOM/BON=ZDON,然后由回。。8=20BOC进

一步得至IJ480C=乙BON=/.DON,'&Z.A0M=x/BOC=y,根据题意分别表示出乙40。+

4B0C和乙M0N,即可求出且空警的值；

Z.M0W

(3)首先根据t3CO8=2MOC.幽。£>=2(380。，得出NC。。=gzMOB=40。，根据题意分

四种情况讨论，分别列出方程求解即可.

【详解】解：(1)当乙4。8=2"0。时，

Z.AOC=-Z.A0B=-x120°=60°；

22

当440C=2/BOC时,

(34A0C+(BOC=LA0B=120°,

f3^A0C+^A0C=120°,解得：LA0C=80°；

当乙BOC=2,40c时，

团NA0C+Z.BOC=LAOS=120°,

^Z.AOC+2/.AOC=120°,解得：Z-AOC=40°；

故答案为：60。或80。或40。.

(2)回射线OM、ON分别为财OC、回80。的平分线，

ElZJlOM=乙COM,乙BON=乙DON,

又团团OOB=2(3BOC,乙BOD=乙BON+乙DON,

团ZBOC=乙BON=乙DON,

团设N40M=NC0M=x,Z-BOC=乙BON=乙DON=y,

乙MON

，/1OM+4coM+480C+480/V+4D0N+£80C

“OM+NBOC+4BON

x+x+y+y+y+y_2x+4y_2(x+2y)_?

x+y+yx+2yx+2y

^AOD+^BOC

121-----------------的值是定值2：

乙MON

(3)团团CO3=2MOC.0A00=2团8OQ,

又团〃0c+乙BOC=Z.AOB=120°,Z-AOD+乙BOD=Z-AOB=120%

(3N40C=40°,LBOD=g/A08=40°,

(3N40C=乙BOD=乙COD=-LA0B=40°,

3

回射线OM、ON分别为EAOC、团BOO的平分线，

^AOM=-Z.AOC=20°,乙BON=L^BOD=20°,

22

回々80M=LAOB-Z.A0M=100°,

将iaco。绕点。以io。/秒的速度顺时针转动，运动时间为f秒(0q《14),

团当oweW4时，NCOD在NAOB内部，

回匕MON=Z-AOB-^AOM+乙BON)=Z.AOB-^AOC+乙BOD)=80°,

乙BON=三乙BOD=：x(120°-乙AOC-乙COD)=20°-5t,

4M08=乙MON+乙BON=80°+20°-5t=100°-53

团当NMOB=2430N时，100°-5t=2x(20°-5t)，解得：t=-12,舍去，

当匕MON=2乙BONH、h80°=2x(20°-5t)，解得：t二-4,舍去，

当乙BON=24M0N时，20。-5t=2x80。，解得：t=-28,舍去

当4V£V8时，此时OB在乙COO内部，

0Zi4OC=4O°+lOt,/.BOD=10t-40°,

(34IOM=乙COM=-/.AOC=20°+53CBON=-/.BOD=5t-20°,

22

0ZMOD=NMOC+乙COD=20°+5t+40°=60°+53

团，MOB=乙MOD-乙BOD=60°+5t-(lOt-40°)=100°-53

团匕MON=Z.MOB+乙BON=100°-5t+5t-20°=80°,

田当NMON=2/BON时，即8(T=2x(5t—20。)，解得:t=12>8,应舍去，

当乙MOB=24B0N时，即100。-5£=2x(5£-20。)，解得：t=y>8,应舍去，

当48ON=2/MOB时，即5t-20。=2x(1000-5。，解得：£=g>8应舍去，

当8WtW12时，此时ON在/COZ)内部，

^LAOC=400+10t,Z.AOM=匕COM=-LAOC=200+5t,

2

回4MOB=^AOB-LAOM=120°-(20°+St)=100°-St,

0/BOC=/-AOC-/-AOB=40°+lOt-120°=lOt-80°,

回匕BOD=乙BOC+乙COD=lOt-80°+40°=lOt-40°,

I34B0N=-£BOD=5t-20°,

2

(3，M0N=LMOB+乙BON=100°-5t+5t-20°=80°,

田当/MON=2/BON时，即8(T=2x(5t-20。)，解得：t=12,

当/BON=2/MOB时，即5t-20。=2乂(100。一5£),解得：t=y>12,应舍去,

当NMOB=24BON时，B|J100°-5t=2x(5t-20°),解得：t=g,

当12CCW14时，此时ON在NCOB内部，

^Z.AOC=400+10t,Z.AOM=乙COM=\LAOC=20°+53

2

团，MOB=LAOB-Z.AOM=120°-(20°+5t)=100°-53

BZ.AOD=Z.AOC+乙COD=40°+lOt+40°=80°+lOt,

0ZFOD=Z-AOD-Z.AOB=80°+lOt-120°=lOt-40°,

⑦乙BON=\LBOD=3x(10t-40°)=5t-20°,

OZMON=/-MOB+乙BON=100D-5t+5t-20°=80°,

团当/MON=2Z8ON时，liP80o=2x（5t-20o）,解得：t=12,

当匕BON=24M0B时，即5£—20。=2*（100。-5。，解得：t=y>14,应舍去，

当乙MOB=24BON时，即100。-5t=2x（5t-20。），解得：t=y<12,应舍去，

综上所述，/的值为12秒或g秒.

【点睛】此题考查了新定义角度问题，角平分线有关计算，解题的关键是正确分析题目中角

度之间的等量关系，分情况讨论列出方程求解.

12.（2022•天津南开•七年级期末）已知：如图1,点O为直线A8上一点，过点O作射线

OC,使财OC：^BOC=1：5.将一等腰直角三角板的直角顶点放在点。处，一直角边ON

在射线OB上，另一直角边OM在直线48的下方.

（1）将图1中的等腰直角三角板绕点O以每秒3。的速度逆时针方向旋转一周，直角边ON

旋转后的对应边为OM，直角边0M旋转后的对应边为OML在此过程中，经过，秒后，OM

恰好平分团80C，求，的值；

（2）如图2,在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点。以

每秒4。的速度顺时针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC.当射线0。落在射线

OC的反向延长线上时，射线OC和等腰直角三角板同时停止运动.在此过程中，是否存在

某一时刻人使得OC7/MM.若存在，请求出，的值，若不存在，消说明理由：

（3）如图3,在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点。以

每秒5。的速度顺针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC.当等腰直角三角板停止运

动时，射线OC也停止运动.在整个运动过程中.经过/秒后，团MOM的某一边恰好平分财OC,

请直接写出所有满足条件的f的值.

【答案】（1）55；（2）15或咨；（3）/=30或”或曾或也

7111111

【分析】（1）当OM恰好平分站。。时，。”需要旋转90。+揶。C=165。，进而求解；

（2）第一种情况：当。CEW7V时，0C，OM,=0OMW,=45%进而求解；第二种情况：当

OC12MN亦j,团C'OM'=12OA/W'=45°,进而求解；

（3）分四种情况：①当ON，平分国4OU,且OH在直线A8上方时，②当平分阴0。,

且ON在直线A8下方时，③当OAT平分且。VT在直线A8上方时，④当OAT平

分西0C',且0"在直线AB下时，分别画出图形，即可求解.

【详解】解：（1）设财OC=x,则囹B0C=